2020学而思教材讲义高二文科数学暑假

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导数1级
导数的概念与运算
导数3级
导数的运算与几何意义
导数2级
导数在研究函数中的简单应用
新课标剖析

导数的引入
我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数．比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的．我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度．就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度．有些社区还会组织婴儿爬行比赛．回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解），必修一的《函数单调性》这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题．现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“怎么走”“走多快”的问题．为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念．在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：平均变化率．
8.1导数的概念
知识点睛
１．函数的平均变化率：
一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，
，
则当时，商称作函数在区间（或）上的平均变化率．
【教师备案】讲变化率的时候可以和速度结合到一起，比如小车问题（课件中有图）
有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔1秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图：
时：
这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：速度就是位移的变化率．那么平均速度也就是位移的平均变化率．我们也可以把时间间隔变成秒，就会变成下图：
时：
比如我们要计算1到秒间的平均速度，也需要用位移差．
如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念．
建议老师可以换一个例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手．
很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是
我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而是越变越快．这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的价格增长大．
平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从到的平均速度是，但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是．蛋糕问题也是一样的，比如我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一个神奇的小狗，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕．那么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实际过程中有很复杂的变化．平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了．
还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了块钱，一年之后收回块钱，那么这一年中的平均变化率就是，但是这一年中肯定有起伏的变化．老师可以选取自己比较擅长的例子进行讲解
产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个上的平均情况，只考虑起点和终点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的可以指时间，也可以指刚才提过的半径变化）．而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让无限的小．此时得出的变化率就是瞬时变化率．
我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果就是瞬时速度．圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是，当趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了．这样我们就可以从平均变化率的问题引入到瞬时变化率的问题
【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例1⑴．尖子班学案1也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做．建议老师在让学生计算平均变化率之前多举一些简单的例子，可以参考铺垫题中使用具体的某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用解平均变化率的题．对于学生来说，一个比较合理的学习顺序是这样的：
最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义．然后就可以进入第二板块：导数的运算了．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．
如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数，那么常数称为函数在点的瞬时变化率．
“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：
“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．
函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．
这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当时，”或“”．
经典精讲
考点1： 导数的定义
【铺垫】求下列函数在区间和上的平均变化率
① ②
①在区间上的平均变化率为；
在区间上的平均变化率为；
②在区间上的平均变化率为；
在区间上的平均变化率为；
【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变化是一直不变的；二次函数的变化是越来越快的．
【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的区间引申出一般区间的平均变化率，然后讲例1⑴．
平均变化率与瞬时变化率
⑴ 求下列函数在区间上的平均变化率．
① ② ③ ④ ⑤
⑵ 求下列函数分别在，和处的瞬时变化率．
① ② ③ ④ ⑤
【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．
【教师备案】求例1⑵的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在处的瞬时变化率
⑥ ⑦
⑴ ① ；
② ；
③ ；
④；
⑤.
⑵①在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；
在处的瞬时变化率为．
②在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；
在处的瞬时变化率为．
③在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；
在处的瞬时变化率为．
④在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；
在处的瞬时变化率为．
⑤在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；
在处的瞬时变化率为．
【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快，也是在增长的，只不过增长速度越来越慢．
【教师备案】⑥⑦只求在处的瞬时变化率，解析为：
⑥
，
在处的瞬时变化率为
⑦，
在处的瞬时变化率为
．
【教师备案】⑥⑦的解析用到了的思想：
证明：
为偶函数，只考虑的情形，
，从图上直接读出 ；容易证明 ；
于是由夹逼定理，于是．
（这个证明过程是不严格的，只从对极限的直观上作个说明）
提高班学案1
求函数在上附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．
函数在上附近的平均变化率为：，
在处的瞬时变化率与导数相等，为．
尖子班学案1
【拓2】已知，且在区间上的平均变化率是，则＿＿＿＿．
【总结】一次函数的平均变化率就是斜率．
目标班学案1
质点按规律作直线运动，若质点在时的瞬时速度为，求的值．
若在处可导，则（ ）．
A． B． C． D．0
此题很容易出错．教师可以引导学生根据导数的定义来求解，从而加深学生对导数定义的真正理解，原来的是，跟是一回事，所以这里用给学生讲更直观，建议板书：
函数值的差
自变量的差
自变量趋近相等
【教师备案】在讲完易错门诊后，学生对导数的定义可能还有一些模糊，这时老师可以选择下面的４道小题让学生做做，让学生把导数的定义理解透彻．
⑴若函数在区间内可导且，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
⑵设，则（ ）
A．B．C．D．
⑶若，则等于（ ）
A． B． C． D．
⑷设在可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
⑴C
⑵
⑶
⑷
8.2导数的运算
知识点睛
现在我们要做的是从某一个点处的导数向一个函数的导数过渡．
延续我们刚才的学习顺序：
关于求导公式：常见的求导公式我们可能并不会推导，但是建议和学生提及一下推导的要点，并说明这个推导并不是高中知识范畴之内的．这样可以让学生比较信服，也可以和学生强调公式是前人推导出来给我们做题用的．
1．可导与导函数：
如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
2．常用函数的导数推导．
【教师备案】常用函数的推导过程如下：
；
；
；
；
．
3．基本初等函数的导数公式
⑴若（为常数），则；
⑵若，则；
⑶若，则；特别地， 若，则；
⑷若，则；特别地，若，则；
⑸若，则；
⑹若，则．
【教师备案】基本初等函数的推导过程不要求学生掌握，学生只需把导数公式记住就行，老师在讲完
导数公式后可以让学生做例2⑴，本题可以老师带领学生一起做．
4．导数的四则运算法则：其中都是可导函数，为常数：
；；
；（）．
【教师备案】这里只证一个加法的四则运算
设，则
，，即
我们也可以换一种方式来解释这个公式
基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把看做是时间，看做是船的位移，看做是水的位移，那么和分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．总的位移，就是总的速度，自然等于右边，也就是船速加水速．
四则运算记忆法则：①加法的导数等于导数的加法；
②常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；
③乘法的导数等于第一个导数乘以第二个第二个导数乘以第一个；
④除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．
【教师备案】讲完导数的四则运算，可以让学生做例2⑵⑶；例2⑵属于简单函数的四则运算，例2⑶
属于需要先把函数化简，再用四则运算；对于目标班的学生，因为程度比较好，所以可以让学生做做目标班学案2；在例2的后边还有一个【挑战十分钟】，【挑战十分钟】的主要目的是让学生熟练导数的四则运算，可以让学生在规定的时间内做做．
经典精讲
考点2： 导数的运算
导数的运算
⑴ 求下列函数的导数
① ② ③ ④
⑵ 求下列函数的导数
① ② ③
④ ⑤
⑶ 求下列函数的导数
① ② ③
⑴ ①； ②； ③； ④．
⑵ ①；② ；③；④ ；
⑤
⑶ ① ；
② ．
③．
【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则
求下列函数的导数
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；
⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾
⑿；⒀；⒁；⒂；⒃；⒄；
⒅；⒆；⒇．
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；
⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂；
⒃；⒄；⒅；⒆；⒇．
提高班学案2
【拓1】设函数，，则 ．
尖子班学案2
【拓2】已知，若，则 ．
【例3引入】导数实际也是一个函数，和原函数密切相关，关于导函数的单调性、奇偶性等等我们会
在春季课上重点介绍．在预习课里我们先介绍一个函数的基本性质．
在函数中我们有这样的结论：是一个函数，是可以“动”的，而就是一个数，因为自变量已经取定了，他就不能“动”了．所以在函数考察中曾经有过这样的问题：“，求”，我们的做法很简单，就是把代入，求出的值即可．解这类题的关键就在于理解其实是一个固定的数．例3就是这类题在导数中的考察．比如例3（1）中的表示的就是这个函数在处的导数，这是一个固定的数．这类题解法的基本过程是：通过求导把原式转化为一个导函数的等式，然后代入需要求的值．强调这个概念的目的是防止学生在计算导数的时候把它当做两个函数相乘求导．
实际是一个数
⑴已知，则______
⑵已知函数，则的值为 ．
⑶已知函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D． 不能确定
⑴
⑵
⑶
8.3导数的几何意义
知识点睛
设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线在点的切线，即切线的斜率，简单地说，曲线上某一点处切线的斜率就反映了曲线在这点处的变化率，所以说切线的斜率就是导数．
【教师备案】切线的定义：
“直线与曲线有一个交点”，是“直线是曲线的切线”的________条件
既不充分也不必要
一方面：只有一个交点不见得是切线，如图1；另一方面：切线不见得只有一个
交点，如图2；更加强，切线与函数可能会有无数个交点，如图3：
图1 图2 图3
对于程度很好的学生可以进一步解释：相切只是局部概念，不是整体概念，比方说知识点睛中的图只是在点附近割线逼近的情况，至于这个范围以外的部分和切线无关．
什么是切线的的斜率，举个例子：
函数的图象在处与轴相切，在于处的切线分别为，其中，的坐标分别为，，，，如图，则 ； _____；
_____．
【教师备案】例4主要讲导数与切线斜率之间的关系，让学生从图象上充分了解导数与切线斜率之间
的关系，老师在讲完导数的几何意义后可以让学生做例4；在学生理解导数与切线斜率之间的关系后讲切线方程，例5主要是求切线方程，例5后边有一个【挑战十分钟】，老师可以以例5为例讲切线方程，以【挑战十分钟】为练习让学生熟练的求切线方程；例6主要讲切点的核心作用，让学生灵活的运用导数与切线之间的关系，对于目标班的学生，因为程度很好，可以让学生做做目标班学案3．
经典精讲
考点3： 导数的几何意义
导数等于切线斜率
⑴ 如图，直线是曲线在处的切线，则 ．
⑵ 如图，曲线在点处的切线方程
是， ．
⑶ 函数的图象上一点处的切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
⑷ 设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．
⑴
⑵
⑶ D
⑷
切线方程
⑴已知曲线上一点，求曲线在点A处的切线方程．
⑵（2010丰台一模文12）函数的图象在点处的切线方程是 ．
【追问】求在处的切线方程，并且计算切线和轴交点的坐标．由此找出指数函数切线的小性质——切线和轴交点横坐标和切点的横坐标之间的差是一个定值，这个定值只受指数函数的底影响．最后由此性质类比可以得到对数函数的相关性质．
⑴在点A处的切线方程为．
⑵
斜率=导数
【总结】
切线方程：，本质就是点斜式
点坐标
点坐标
【追问】，令得，故横截距与切点横坐标之差为.
【挑战十分钟】学生在学完切线方程后，对切线方程可能还不是很熟悉，老师可以选择以下十个小题让学生多练练．
①求曲线在点处的切线方程；
②求函数在点处的切线方程；
③求曲线在点处的切线方程；
④求函数在点处的切线方程；
⑤求曲线在点处的切线方程；
⑥求曲线在点处的切线方程；
⑦求曲线在点处的切线方程；
⑧求曲线在点处的切线方程；
⑨求曲线在点处的切线方程；
⑩求函数在处的切线方程．
①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧；⑨；
⑩．
切点的应用
⑴曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
⑵ 若曲线与在处的切线互相垂直，则等于（ ）．
A． B． C． D．或
⑶ 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
⑴
⑵ A
⑶ B
【总结】切线的相关问题绝大多数都是围绕切点做的，这是由于切点是曲线和切线的结合点，它的坐标可以同时影响曲线和切线．一般来说，只要题目中出现了切点或切线，我们都需要设出切点坐标，然后利用切点的三个性质：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率，列出三个方程．解出切点坐标后基本就k了．所以建议老师在课上强调切点的重要性，至少让学生见到类似问题的时候可以想到“切点”这个核心要素．
例如：例6的（3），我们一开始就要明白这个题的关键是解出切点坐标，我们就可以列出：
提高班学案3
⑴曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为 ．
⑵曲线上切线平行于轴的点的坐标 ．
⑴
⑵或
尖子班学案3
⑴ 设函数．若曲线在点处与直线相切，求
的值．
⑵ 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
⑴．
⑵ D
目标班学案2
已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑴ 取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
⑵ 若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
⑴ 函数的导数，曲线在点的切线方程是
，即①．
函数的导数，曲线在点的切线方程是，即②．
如果直线是过和的抛物线，的公切线，则①式和②式都是的方程．
所以，消去得方程．
若判别式时，即时解得，此时点与是唯一确定的，即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为．
⑵ 由⑴可知，当时，和有两条公切线，设一条公切线上切点为
，，其中在上，在上，则有，
．
线段的中点为，同理，另一条公切线段的中点也是．
所以公切线段和互相平分．
若曲线与在处的切线互相平行，则 ．
实战演练
【演练1】⑴ 若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ）
A．1 B． C．2 D．
⑵已知函数，则等于（ ）．
A． B． C． D．1
⑴ D
⑵ C
【演练2】若，则等于（ ）．
A．2B．C．D．
C
【演练3】⑴下列函数中，满足的函数是（ ）．
A． B．C．D．
⑵是的导函数，则的值为________．
⑶设，若，则（ ）．
A． B． C．D．
⑴ C
⑵
⑶ B
【演练4】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【演练5】求曲线在点处的切线方程
大千世界
（2011北大保送）函数上有两个点处的切线互相垂直，求的值．
，
设在与处的切线互相垂直，则有．（*）
于是．
将它看成关于的一元二次方程，则此方程有解，
于是判别式，即．
又，故，
于是，故，或．
代入（*）式得．
阅读材料
从学而思钟的10点钟说起
？
这两个数相等吗？有人认为不相等，怎么着这俩数也有那么点差距啊；其实这个问题可以转化为一个更加广为传播的问题：吗？有人认为相等，理由很有意思：
证明：，两边同时乘以三，结果就是：
那么这两个数究竟相等吗？这就涉及到极限的概念．我们先弄明白什么叫．观察下面的式子：，，，所以我们可以得到一个式子就是，那么无限循环小数就可以写成：．根据我们学过的极限的概念，等式右侧中的的极限是零，所以右侧极限值为．
可能还有同学没有明白，这主要是“极限”的概念在高中阶段给的极为模糊．实际极限的定义是非常严格的，我们先看一个简单的例子：
怎么理解这个式子呢？其实可以理解为，随着无限的变大，的值和之间的差距可以做到“要多小有多小”．比如你说很小了，那我就能比你小；你再说已经很小了，那我就能比你小．无论你说多么小的数，我都能比你小．那么我们就可以说随着逐渐变大，的极限是．
刚才那个例子也是一样的，你说和之间的差距能有多少呢？我们可以想到，这就是所谓的要多小有多小．你随便说一个数，他们的差距都能比它小．所以我们可以认为他们是相等的．
更进一步，我们在研究导数的时候，极限的概念往往是直接应用的，常见的技巧是解决的形式．比如我们在推导数的时候，用的是：，本来是一个的形式，但是我们可以把约掉，变成：，这样就打破这个的形式了．所以我们在推导数的公式或者求瞬时变化率的时候，比较关键的一个步骤就是消灭掉，解决了分母上的，其他的就好办了．
当然，也有不能约的情况，同学们如果有兴趣的话可以思考下面的问题：
⑴⑵
当前形势
导数及其应用在近五年北京卷（文）中考查13～18分
高考
要求
内容
要求层次
具体要求
A
B
C
导数概念及其几何意义
导数的概念
√
通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵
导数的几何意义
√
通过函数图象直观地理解导数的几何意义
导数的运算
根据导数定义求简单函数的导数
√
根据导数定义求函数，，，，，的导数
导数的四则运算
√
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
导数公式表
√
会使用导数公式表
北京
高考
解读
2008年
2009年
2010年（新课标）
2011年（新课标）
2012年（新课标）
第13题 5分
第17题13分
第18题14分
第18题13分
第18题13分
第18题13分