备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题16 极值与最值（原卷版）

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题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数
题型三：求函数的最值
题型四：根据最值求参数
题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用
题型六：不等式恒成立与存在性问题
【考点预测】
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【方法技巧与总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
【方法技巧与总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
例2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）设的导数满足，其中常数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求函数的极值.
题型二：根据极值、极值点求参数
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（ ）
A．6B．C．或15D．6或
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的极小值为，则（ ）
A．B．1C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．(－∞，0]∪[1，＋∞)C．[0，2]D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三：求函数的最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为__________．
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
题型四：根据最值求参数
例10．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（ ）
A．7B．C．3D．4
变式13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用
例13．（2023·黑龙江大庆·校联考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A．在上是增函数B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
例14．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线恰好经过点．
(1)求；
(2)已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的一个极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
题型六：不等式恒成立与存在性问题
【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
例17．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的极值点的个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
6．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．是的极大值点
C．有三个零点
D．在上最大值是
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
12．（2023·全国·高三专题练习）【多选题】已知函数，则（ ）
A．时，的图象位于轴下方
B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点
D．在区间上有最大值
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
15．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则____________．
16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取极值，则__________．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值．
(1)求，的值；
(2)求函数在区间上的最大值．
18．（2023·上海·高三专题练习）设，函数.
(1)若函数为奇函数，求实数a的值；
(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值及在上的解析式；
(2)若在区间上有极值，求的取值范围.