备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题10 对数与对数函数（原卷版）

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题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
题型二：对数函数的图像
题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））
题型四：对数函数中的恒成立问题
题型五：对数函数的综合问题
【考点预测】
1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【方法技巧与总结】
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【典例例题】
题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
【方法技巧与总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
5．（2023春·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南许昌·统考三模）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则m＝________.
9．（2023·全国·高三专题练习）求值或化简：
(1) ；
(2) .
(3) .
(4)
(5) .
(6) .
10．（2023春·陕西西安·高三校考期中）解下列不等式和方程：
（1）
（2）
11．（2023·上海·高三专题练习）解下列对数方程：
（1）；
（2）.
12．（2023春·甘肃兰州·高三兰州市第五十五中学校考开学考试）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
题型二：对数函数的图像
【方法技巧与总结】
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
1．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ）
A．①②③B．③①②
C．③②①D．①③②
2．（2022春·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022春·江西九江·高三校考阶段练习）函数过定点（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知图中曲线分别是函数，，，的图像，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））
【方法技巧与总结】
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
7．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·北京·高三北京四中校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·湖北·高三校联考期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）函数在单调递增，求a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1，则实数的值为（ ）
A．2B．4C．或4D．或2
题型四：对数函数中的恒成立问题
【方法技巧与总结】
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
14．（2022·北京·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
17．（2022春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若，求该函数的值域；
(2)证明：当时，恒成立.
18．（2022春·江苏连云港·高三连云港高中校考开学考试）已知函数（为常数）是奇函数.
（1）求的值与函数的定义域.
（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.
题型五：对数函数的综合问题
19．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在上的函数和，满足，且，其中.
(1)若，求的解析式;
(2)若不等式的解集为，求的值.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且点在函数的图象上.
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
22．（2023·全国·高三专题练习）函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的零点；
(3)若函数的最小值为，求的值
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为 ，若添加推进剂，火箭的最大速度为，若添加推进剂，则火箭的最大速度约为（参考数据：)（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝lga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．∪[2，＋∞)B．∪(1，2]
C．∪[2，＋∞)D．∪(1，2]
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，当时，，则（ ）
A．1B．C．2D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则（ ）
A．3B．3C．1D．1
7．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象过点，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图象关于y轴对称
B．函数的最小值是
C．函数在上单调递增，在上单调递减
D．函数的单调递增区间是和
12．（2023·全国·高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______
15．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域_____________
16．（2023·全国·高三专题练习）化简___________.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是________．
19．（2023·上海·高三专题练习）方程的解为 __________ .
20．（2023·全国·高三专题练习）方程的实数解为_________.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解集为______．
四、解答题
23．（2023·全国·高三专题练习）计算：
(1)
(2)
24．（2023·全国·高三对口高考）已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断在内的单调性，并证明你的结论；
25．（2023·上海·高三专题练习）已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的值.
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，