湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列长度的4条线段中，能与长，的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D．两点之间线段最短
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若一个正多边形的内角和是，则该正多边形的一个内角是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，方格纸中的和的大小关系是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，分别以点A、为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线交于点，连接；再如图所示作射线，交于点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，自行车的车身为三角形结构，这样做根据的数学道理是 .
12．因式分解： ．
13．若分式有意义，则字母x需满足的条件是 ．
14．若，则 ．
15．如图：为的角平分线，且，，则和的面积之比为 ．
16．如图，O是直线上一点，，平分，交于点M，，于点D，则 ．
三、解答题
17．计算：
18．解分式方程：．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证：
(1)；
(2)．
21．某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
(1)求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
(2)若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为、、．

(1)若与关于x轴成轴对称，作出；
(2)若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P；
(3)计算的面积．
23．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
(1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：．
24．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则．
(1)若多项式的值与x的取值无关，求a的值；
(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．
25．（1）动手操作：如图①，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么度数为______；
（2）观察发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图③）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由；
（3）实践运用：将矩形纸片按如下步骤操作：将纸片对折得折痕，折痕与边交于点E，与边交于点F；将矩形与矩形分别沿折痕和折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有（如图④），求的大小．
参考答案：
1．C
【分析】关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标变为其相反数，根据这一特点即可完成．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
【点睛】本题考查了坐标与图形中关于x轴对称的点的坐标特征，掌握这一特征是关键．
2．C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围即可得到答案．
【详解】解：第三边，
故选：C．
3．D
【分析】根据最简分式的定义：分子和分母中不含公分母的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案．
本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．掌握相关知识是解题的关键．
【详解】A、，故A选项不是最简分式，不符合题意；
B、，故B选项不是最简分式，不符合题意；
C、，故C选项不是最简分式，不符合题意；
D、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故D选项正确．
故选：D
4．A
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和乘法公式，熟练掌握运算性质是解题的关键．分别根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和完全平方公式对各选项计算后即可得解．
【详解】A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误；
故选：B．
6．C
【分析】先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
本题考查了多边形的内角和定理：多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键．
【详解】设此多边形为n边形，根据题意得，
，
解得：，
∴这个正多边形的每一个内角等于：．
故选：C．
7．D
【分析】如图，证明，得到，再根据邻补角即可得出结论．
【详解】解：如图，由图可知：，

∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
8．D
【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
【详解】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
，
故选D．
【点睛】本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．
9．C
【分析】由题意可知点D在线段AC的垂直平分线上，BP平分，即可直接判断选项A和B；假设，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，，即又说明与题干不符，可判断C；根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可求出，，即可求出．最后由三角形内角和定理可求出，故可判断D．
【详解】由作图可知，点D在线段AC的垂直平分线上，BP平分，
∴，，故A、B正确，不符合题意；
假设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与题干不符，故C错误，符合题意；
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，故D正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，作图—角平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．
10．A
【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可．
【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
11．三角形具有稳定性
【详解】自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有稳定性.
故答案为三角形具有稳定性.
12．
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
13．
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分母不等于零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据题意得到即可得到答案．
【详解】解：要使分式有意义，
即，
解得．
故答案为：．
14．3
【分析】本题主要考查负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得：，从而可得答案．
本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】如图，过点D作于点E，于点F，
∵为的角平分线，
，
．
故答案为：．
16．5
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，含角直角三角形的特征，过点M作于点N，根据，得出，进而得出，则，再根据含角直角三角形的特征以及平行线间的距离处处相等，即可解答．
【详解】解：过点M作于点N，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
17．0
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂、平方差和乘方，再进行加减计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、平方差和乘方运算是解题的关键．
【详解】
18．
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验．
19．；14
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，然后将a、b的值代入计算即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
【详解】
，
当时，
原式=．
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据三角形内角和定理即可求证；
（）由，通过角度和差得出，证明，由全等三角形的性质即可求证；
此题考查了对三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．
【详解】（1）∵，，
又∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴.
21．(1)种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料
(2)4台
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意正确的列等式、不等式是解题的关键．
（1）设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，依题意得，，计算求出解，然后作答即可；
（2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出；
（2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，点P即为所求．
（3）
【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解： 由题意得，加入克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；．
（2）解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为；
假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明：
，其中，
∴，
∴，即，
故答案为：；．
（3）证明：由（2）可知
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查合并同类项，代数式求值，熟练掌握合并同类项是解题的关键．
（1）根据题意得到即可得到答案；
（2）设，根据题意列出代数式，在根据题意得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
多项式的值与x的取值无关，
，
；
（2）解：设，
由题意得，
，
的值与无关，
，
．
25．（1）；（2）同意，见解析；（3）
【分析】本题考查了图形的折叠、等腰三角形的性质、轴对称等知识点，熟练理解折叠的性质是解题的关键．
（1）由折叠的性质得对应角相等，结合三角形内角和定理与平角的定义即可得出答案；
（2）由折叠的性质得对应角相等，结合三角形内角和定理可推出两角相等，结合等腰三角形的判定即可得出答案；
（3）由折叠和对称的性质得对应角和对应线段相等，从而得出三角形全等，全等三角形的对应角相等和两直线平行同旁内角互补，即可得出答案．
【详解】解：（1）
由折叠可得：
∴
（2）同意．
如图，设与交于点．
由折叠知，平分，所以．
由折叠知，
所以，
所以．所以，
即为等腰三角形．
（3）由题意得：
，
由对称性可知，
而由题意得出：，
在和中，
而
即
．