湖南省株洲市天元区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省株洲市天元区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2023的倒数是（ ）
A．B．C．D．2023
2．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是( ) ．
A．B． C．D．
4．2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球.将384000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的m（m为0~14的整数），下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．平均数、方差C．众数、中位数D．众数、方差
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小
9．如图，矩形的边，分别在轴、轴的正半轴上，点在的延长线上．若，，以为圆心、长为半径的弧经过点，交轴正半轴于点，连接，、则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连接CE，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．使有意义的x的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．已知二次函数的顶点坐标是 .
14．如图，，，则的度数为 ．

15．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ．
16．已知：如图，菱形在直角坐标系中，点的坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论，其中正确的结论是 .
双曲线的解析式为；；点的坐标是；.
三、解答题
17．计算：.
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
19．如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当无人机飞行到小明头顶一定高度D点处时，无人机测得楼房BC顶端点C处的俯角为30°，已知小明A和小区楼房BC之间的距离为36米，楼房BC的高度为米．
(1)求此时无人机离地面的高度；
(2)在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了小明的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内）
20．年月日“神州十七号”成功发射，展示了国家科技实力的飞跃，某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校名学生进行了“航天知识竞赛”，活动组织部门从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分，每名学生的成绩记为分）分成组、组、组、组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解下列问题：
(1)的值为_______；
(2)扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数为_______；
(3)若规定学生竞赛成绩为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数.
21．2023年12月8日，中国国际轨道交通和装备制造产业博览会在株洲国际会展中心开幕，株洲为此次展出推出30多款具有株洲特色的文创产品.某商家用3200元购进了一批文创品，上市后供不应求：商家又用7200元购进了第二批这种文创品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元
(1)该商家购进的第一批文创品单价是多少元?
(2)若两批文创品按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，若两批文创品全部售完利润不低于3520元（不考虑其他因素），那么每件文创品的标价至少是多少元?
22．如图，在中，过点B作于E，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
23．如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径长及的值．
24．如图，点为反比例函数的图象在第一象限内一点，在轴正半轴上有一点，且，连接，且，在轴上有一点，直线交轴于点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点是轴上一动点，过点作交直线于点，连接，设，
用含的代数式表示；
求取最大值时点坐标．
25．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若，求点D的坐标；
(3)如图2，经过定点P作一次函数与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值?请说明理由.
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
12
15
m
9
分组
频数
组：
组：
组：
组：
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了倒数．根据“乘积为1的两个数互为倒数”，即可求解．
【详解】解：2023的倒数是．
故选：C
2．B
【分析】利用轴对称图形定义进行依次分析即可．
【详解】A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：，错误，故A不符合要求；
，错误，故B不符合要求；
，错误，故C不符合要求；
，正确，故D符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
【详解】∵长方形对边，
∴，
∴，
由翻折的性质得：，
∴，
故选：．
6．C
【分析】分别求解平均数，众数与中位数，再根据方差受到平均数的影响，从而可得答案．
【详解】解：总人数为：人，
平均数为：
，
∴变化，平均数变化，
∵50个数据，排在最中间的两个数据分别为第25个，第26个，都为14岁，
∴中位数为：，
∴中位数不会变化；
∵，
∴出现次数最多的数据是14岁，则众数是14岁，
∴众数不会变化；
∵方差受到平均数的影响，平均数变化，
∴方差会变化，
故A，B，D不符合题意；C符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义与计算，理解题意，熟记概念是解本题的关键．
7．D
【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作于C，求得，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角，
过A作于C，则，
∵，
∴，
∴这个圆内接正八边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形是解答的关键．
8．B
【详解】试题分析：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0），因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误．
故选B．
9．C
【分析】连接OB，由题意易得∠BOD=60°，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出，在结合题意可得，即证明，从而得出，即易证，得出．再由等腰三角形的性质可知，，即证明，从而可间接推出．最后由，即可求出的值，即的值．
【详解】∵在中，点D是边BC的中点，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
11．
【分析】二次根式有意义的条件．
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
．
故答案为：．
12．
【分析】先提取公因式x，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
故答案为．
【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和平方差公式进行因式分解是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式的特点求解即可，解题的关键是熟知二次函数的顶点坐标为．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
14．/28度
【分析】根据等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质可得：，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
由题意可得：
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
15．或2/2或
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可．
【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为，
，
解得：，，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
16．
【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，过点作轴于点，结合菱形的性质以及三角形的面积公式找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】过点作轴于点，如图所示，
∵点的坐标为，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，解得：，
∴双曲线的解析式为，故不正确；
∵点在双曲线上，且的纵坐标为，
∴，故正确；
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，故正确；
在中，，，
∴，
∵，
∴，，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，先求负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，然后进行加减运算即可，准确熟练地化简各式是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
18．．
【分析】先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解.
【详解】解：原式＝，
=，
＝，
当x＝3时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式的运算法则.
19．(1)米
(2)18秒
【分析】（1）过点C作CE⊥AD，根据题意可得：四边形CEAB为矩形，∠DCE=30，EC=AB=36，AE=BC=，在Rt∆CDE中，利用正切函数解三角形得出DE，即可得出结果；
（2）长AC交无人机的飞行方向于点F，下一时刻，无人机将离开小明视线，在Rt∆ABC中，可得，由平行线性质得出，继续使用正切函数求解得出DF=72，然后计算时间即可．
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AD，
根据题意可得：四边形CEAB为矩形，∠DCE=30，
∴EC=AB=36，AE=BC=，
在Rt∆CDE中，
，
∴DE=，
AD=AE+DE=，
∴无人机的高度为米；
（2）如图所示，延长AC交无人机的飞行方向于点F，下一时刻，无人机将离开小明视线，
在Rt∆ABC中，
，
∵AB∥DF，
∴，
，
∴DF=72，
∴t=72÷4=18秒，
故经过18秒，无人机刚好离开了小明的视线．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线，掌握运用三角函数解三角形是解题关键．
20．(1)；
(2)；
(3)全校竞赛成绩达到优秀的学生人数约为人．
【分析】此题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，
（）由的人数除以所占百分比得出的值，即可求出 的值；
（）由（）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“”所占的比例即可；
（）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可．
【详解】（1）由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）表示“”的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
（3），
全校竞赛成绩达到优秀的学生人数（人），
答：全校竞赛成绩达到优秀的学生人数约为人．
21．(1)该商家购进的第一批纪念衫单价是80元
(2)每件纪念衫的标价至少是120元
【分析】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用：
（1）设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，根据购进了第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件，设每件纪念衫的标价是y元，由题意列出不等式，求出不等式的解集确定出y的最小值即可．
【详解】（1）解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元；
（2）解：根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件，
设每件纪念衫的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
则每件纪念衫的标价至少是120元．
22．(1)见解析
(2)
【分析】(1)由平行四边形的性质结合条件可得到，，据此即可证得结论；
(2)由平行线的性质可知，在中，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，再根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，
在中，，
得，
解得(负值舍去)，
，
，
得，
解得，
故的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)的半径为；
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得是角平分线，进而得出，由三角形的内角和定理得出即可；
（2）过点作，垂足为，由锐角三角函数可求出进而得出半径的值，再根据平行线分线段成比例，求出，，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，即，
，
，
平分，即，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作，垂足为，
，
由可得，
，
，
，
即的半径为；
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是解题的关键．
24．(1)；
(2)；．
【分析】（）过作轴于点，根据等腰三角形的性质得出，求出，用待定系数法即可求解；
（）先根据直线解析式求出点坐标，则、、、的长度均可表示出来，由及可得，进而列出比例式可表示出，进而可表示出，
在将化简可得取得最大值时的值，进而求出点坐标；
本题主要考查了函数解析式的求法，一次函数与几何图形结合的问题，二次函数最值情况，熟练掌握数形结合处理函数应用问题是解题的关键．
【详解】（1）过作轴于点，

∵，，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）由（）得：，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点，
∵
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，，，
∴，
在中，
∴，
整理得：；
由得，
当时，有最大值，
此时点．
25．(1)
(2)，
(3)是定值，理由见解析．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）以为顶点，在下方作，连交抛物线于点，过作交于，过点作轴于点，求出知是等腰直角三角形，可得，，故，，可得，，直线解析式为，联立方程组得，得，；
（3）根据题意先确定点的坐标为，，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、、，证出，最后可求．
【详解】（1）抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）如图1，以为顶点，在下方作，连交抛物线于点，过作交于，过点作轴于点，
，令，得，
，又，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
设直线解析式为，把，，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
，，
（3）是定值．理由如下：
设，，，，
由得，
，，
，，
，
，
点是直线上一定点，
，，
，
，
，
，
是定值．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用．