江西省赣州市崇义县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省赣州市崇义县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】
A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件
2．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
3．若方程的两根为和，则的值为（ ）
A．B．1C．D．9
4．如图，中，弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，等边三角形和正方形都内接于，则（ ）．

A．B．C．D．
6．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ）．
A．B．3C．D．4
二、填空题
7．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．
8．点关于原点的对称点的坐标是 ．
9．若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ．
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦所在直线的距离是2，则的半径长为 米．
11．如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．

12．已知抛物线，M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作．当与x轴相切时，点M的坐标为 ．
三、解答题
13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)请选择一个你喜欢的m的值，使这个方程的解为整数，并解出这个方程．
14．如图．在中，，将绕点C逆时针旋转得到，于点D．求的度数．

15．如图，已知每个小正方形的边长为，O，A，B都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．求这个圆锥的底面半径．
16．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为时，甲获胜；数字之和为时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．

(1)用画树状图或列表法求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
17．如图，点A，B在上，点O是的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中分别画出以点B为顶点，与互余的圆周角（保留作图痕迹）

(1)图1中，点C在上；
(2)图2中，点C在内．
18．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
(2)按照这样的围法，羊圈能达到的最大面积是多少？
19．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到）
(2)盒子里白色的球有____________个；
(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求m的值．
20．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，、关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)直接写出点A点和C的坐标，并求抛物线的表达式；
(2)分别延长交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．
21．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求的半径；
(3)若，的半径为2，求阴影部分面积．
22．如图①，和都是等腰直角三角形，，当点B在线段上，点C在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
图① 图② 图③
(1)如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
(2)如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在的延长线上，连结．若，，求线段的长；
(3)若P为中点，连接，，，当绕点A逆时针旋转时，直接写出的最大值__________．
23．已知二次函数．
(1)有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号）
①二次函数的图象开口向上；
②二次函数的图象的对称轴是直线；
③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）；
④函数值y随着x的增大而减小．
(2)当时，①抛物线的顶点坐标为______；
②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______；
(3)设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
参考答案：
1．B
【详解】随机事件.
根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断：
抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.
2．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求解即可．
据此
【详解】解：∵方程的两根为和，
∴，，
∴
，
故选：A．
4．D
【分析】由弦BC，可得，，，可判断A，B，C，连接，证明，结合，可判断D．
【详解】解：∵弦BC，
∴，，，
故A，B，C不符合题意；
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，熟练的利用垂径定理进行推理判断是解本题的关键．
5．D
【分析】连接，，根据正方形的性质可知，得出是的直径，即可求出，再根据圆和等边三角形的对称性可求，然后根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据得出答案．
【详解】连接，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是的直径，
∴．
∵等边三角形内接于，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形，正方形（等边三角形）的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等，构造辅助线是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数图象可以发现：整个函数图象，每隔个单位长度，函数值就相等，，得到m的值与时的函数值相同，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴整个函数图象，每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值与时的函数值相同，
∵在上，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
当时，；
故选A．
7．
【分析】设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义（反映随机事件出现的可能性大小）计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个墙的面积为9，
黑色区域的面积为3，
∴最终停在黑色区域上的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率．
8．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
9．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式，正确得出一元二次方程只有一个实数解是解题关键．
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，解得，
故答案为：．
10．5
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接交于点E．利用垂径定理得，再利用勾股定理即可求出半径．
【详解】解：连接交于点E．设，
由题意，
∴（米），
∵，
∴，
在中，，
∴米，
故答案为：5．
11．14
【分析】根据切线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵是的内切圆，且与相切于点G；

根据切线长定理，设，，，；
∵，
∴．解得，
∴的周长，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，三角形周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
12．或或
【分析】本题考查切线的性质，抛物线的性质，解一元二次方程，根据当的半径是1，与x轴相切，则M的纵坐标是1或即可求解．
【详解】解：∵与x轴相切，
∴M到x轴的距离为1，
当时，，解得：，
∴；
当时，，解得：，
∴点M坐标为或；
故答案为：或或．
13．(1)
(2)当时，方程的解为整数，这个方程的解为（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，由方程根的情况得到根的判别式的符号是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的情况得，即可求出的取值范围；
（2）根据（1）的取值范围，即可得到，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得；
（2）解：由（1）知：
∴当时，
故方程为，
，
解得．
∴当时，方程的解为整数，这个方程的解为（答案不唯一）．
14．
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由旋转的性质，可得．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
15．
【分析】本题主要考查了求圆锥的底面半径，勾股定理和勾股定理得逆定理，求弧长等等，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，进而利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴是直角三角形，且
∴扇形的弧长为，
∴这个圆锥的底面半径为．
16．(1)；
(2)该游戏规则对甲、乙双方公平，理由见解析．
【分析】（）首先根据题意画出树状图或列表，然后由树状图或列表求得所有等可能的结果与数字之和为情况，再利用概率公式即可求得答案；
（）分别求得甲胜、乙胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平；
本题考查了用树状图法或表格法求概率，以及游戏公平性的判断，解题的关键是掌握用树状图法或表格法求概率．
【详解】（1）列表如下：
由上表可知，共会产生种结果，它们出现的机会相等，其中和为的共有种结果，
∴；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平．
理由：由（）知，，
，
∵，
∴该游戏规则对甲、乙双方公平．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）连接，并延长交于点D，连接即可；
（2）延长交于点E ，利用（1）的方法画图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，，即为所求

18．(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系和求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键．
（1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据题意求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得，
化简，得，
解得，，
当时，，
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈；
（2）解：设羊圈的面积为，则矩形的边，
根据题意，得，
∵
∴当时，y有最大值，最大值为648．
∴当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是．
19．(1)
(2)18
(3)
【分析】（1）根据从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，即可得到答案；
（2）利用黑、白两种颜色的球总数乘以（1）中白球的概率的估计值即可得到答案；
（3）根据“随机摸出1个球是白球的概率是”列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）解：从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，
∴摸到白球的概率的估计值为，
故答案为：
（2）（个），
即盒子里白色的球有个；
（3）由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的根．
∴m的值为．
【点睛】此题考查了频率估计概率、分式方程的应用等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键．
20．(1)点A的坐标为、点C的坐标为，
(2)10
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解答本题的关键．
（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段长．
【详解】（1）解：点A的坐标为、点C的坐标为，
设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由（1）得，①，
设直线解析式为,
将坐标代入得,
解得，
∴直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（舍去），，
即点，
则．
21．(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可；
（2）由勾股定理可得出答案．
（3）先利用等腰三角形的性质与角平分线，三角形内角和定理，求出，从而求得，即可由扇形面积公式得，再由直角三角形的性质与勾股定理求出，从而求得，即可由求解．
【详解】（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，是的切线，
∴
∴
设，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
（3）解：如图，连接，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知，是的切线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，等腰三角形的性质，三角形外角性质，角平分线，三角形内角和定理等知训．熟练掌握切线的判定定理和勾股定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用证明，得；
（2）证明得，，则，再利用勾股定理可得答案．
（3）连接，，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点A逆时针旋转时，，所以当A、B、P三点共线时，最大，最大值等于，即可求解．
【详解】（1）解：成立，和都是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
， ，
，
，，
，
，
；
．
（3）解：连接，，如图，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵P为中点，
∴，
当绕点A逆时针旋转时，
，
∴当A、B、P三点共线时，最大，最大值等于，
∵，
∴最大值．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，证明是解题的关键．
23．(1)②③
(2)①（1，2）；②；
(3)存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，m的值为1或
【分析】（1）根据二次函数图形的性质判断；
（2）①代值计算即可；②根据翻折的后的顶点坐标直接解出函数解析式；
（3）根据正方形的性质找到点的坐标之间的关系，列方程求解即可．
【详解】（1）当时，抛物线的开口向上，故①不一定正确；
抛物线的对称轴为直线，故②正确；
在中，时时，即抛物线经过定点（0，3）和（2，3），故③正确；
二次函数的值在对称轴两侧的增减性恰好相反，故④不正确；
故答案为：②③；
（2）当时，，
①∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②∵将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，
∴抛物线的顶点为（1，﹣2），
∴抛物线的表达式为，
故答案为：；
（3）存在实数m，使得以点为顶点的四边形为正方形，理由如下：
如图：
在中，令得，
∴E（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线，
∴F（2，3），
在中，令得，
∴P（1，3﹣m），
∵P，Q关于直线对称，
∴Q（1，3+m），
由对称性知EF，PQ互相平分，且，
∴以点为顶点的四边形为正方形，只需，
∴，
解得或，
∴m的值为1或．
【点睛】此题考查二次函数的几何综合，解题关键是找到特殊点的坐标代值计算，解题技巧是根据正方形的推论出边长的关系，转化成点的坐标直接计算．