江西省赣州市定南县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省赣州市定南县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫并积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． 有症状早就医B． 防控疫情我们在一起C． 打喷嚏捂口鼻D． 勤洗手勤通风
2．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．（x+1）2＝x2+1C．（﹣2x2）3＝﹣2x6D．a8÷a2＝a6
4．如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．若分式有意义，则的取值范围是 ．
8．在平面直角坐标系中，点P（−2，5）关于y轴的对称点的坐标为 ．
9．某种新冠病毒的直径为0.0000076cm，将数字0.0000076用科学记数法表示为
10．已知，，则 ．
11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
12．在锐角中，，垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则 ．
三、解答题
13．（1）因式分解：；
（2）计算：．
14．解方程：．
15．计算：．
16．如图，请仪用无刻度的直尺按下列要求画图：
(1)如图，在中，，M、N分别是边上的两点，且，请画出的对称轴；
(2)如图，在等腰梯形中，，请画出等腰梯形的对称轴．
17．如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE

18．先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
19．为改善黄冈市遗爱湖景区公园周边环境，相关部门决定对遗爱湖周边部分路段进行维修施工．施工全长6000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前8天完成这一任务，求原计划每天施工多少米？
20．如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
(1)求证：△AEF是等边三角形；
(2)求证：BE=EF．
21．“羊村”进行放风筝比赛，懒羊羊做了一个如下图所示的“筝形”风筝．（如图，四边形，中：，．我们把这种两组邻边分别相等的圆边形叫做“筝形”．）
(1)麻烦你帮懒羊羊猜想风筝的对角线与有什么位置关系？并用你所学的知识证明你的猜想；
(2)过点D作交于点E，若，，请帮懒羊羊求出的长．
22．在“狼堡”密室里，灰太狼发现完全平方公式：经经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．
解：∵，，∴，，
∴，∴．
根据上面灰太狼的解题思路与方法，请解决下列问题：
(1)①若，，则_____________；
②若，，则_____________；
③若，，则_____________；
(2)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积．
23．
(1)【自主学习】填空：
如图1，点是的平分线上一点，点A在上，用圆规在上截取，连接，可得 ，其理由根据是 ；
(2)【理解运用】如图2，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此作答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3．D
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】∵x2•x3=x5，故选项A错误，
∵（x+1）2=x2+2x+1，故选项B错误，
∵（-2x2）3=-8x6，故选项C错误，
∵a8÷a2=a6，故选项D正确，
故选D．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
4．A
【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵与关于直线AD对称，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算．
5．B
【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，
根据题意，可列方程：，
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
6．D
【分析】由图1可得：阴影部分的面积为： 由图2可得：阴影部分的面积为： 再利用阴影部分的面积相等可得答案.
【详解】解：由图1可得：阴影部分的面积为：
由图2可得：阴影部分的面积为：
由阴影部分的面积相等可得：
故选D
【点睛】本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键.
7．
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0.
8．（2，5）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】点P（-2，5）关于y轴的对称点的坐标为（2，5）．
故答案为：（2，5）．
【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
9．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．易错点在于容易弄错次数．
10．72
【分析】根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：72．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解决此题的关键．
11．8
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
12．/度
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，首先根据题意作图，然后由的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，即可得，，即可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得．
【详解】解：∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，
∴，，
∴．
∵，
∴，

故答案为：．
13．（1）；（2）．
【分析】本题考查了因式分解，实数的混合运算；
（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）根据零指数幂，负整数指数幂，算术平方根进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
（2）
14．无解
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：
整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，
故此方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
15．．
【分析】本题考查了平方差公式与完全平方差公式的运用，解题的关键是正确写出公式的表达式．
先用平方差公式与完全平方差公式将原式展开，然后合并同类项即可．
【详解】解：
另解：
．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，，和交于点O，利用证明，推出，可知点O在线段的垂直平分线上，即可证明为的对称轴．
（2）连接，，和交于点F， 作、的延长线交于点E，作直线．结合等腰梯形的性质可证为等腰梯形的对称轴．
【详解】（1）解：如图，即为的对称轴．
作法：连接，，和交于点O，连接．
证明：，
，
在和中，
，
，
，
，
点O在线段的垂直平分线上，
又，
点A也在线段的垂直平分线上，
为的对称轴．
（2）解：如图，为等腰梯形ABCD的对称轴．
作法：连接，，和交于点F， 作，的延长线交于点E，作直线．
证明：在等腰梯形中，，
，
在和中，
，
，
，
，
点F在线段的垂直平分线上，
，
，
点E在线段的垂直平分线上，
为等腰梯形的对称轴．
【点睛】本题主要考查作轴对称图形的对称轴，涉及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、等腰梯形的性质等，解题的关键是掌握轴对称图形的特点．
17．见解析.
【分析】利用SAS证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得.
【详解】∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBE，
又AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE(SAS)，
∴CF＝DE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.
18．，当时，原式（当时，原式）
【分析】先将原式化简，然后从0，1，2，3四个数中选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的分式即可解答本题．
【详解】解：原式＝
由题意可知：，
∴
当时，原式（当时，原式）
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义，即的值不等于1，3．
19．米
【分析】设原计划每天施工米，则实际工效为，根据题意列出分式方程，解方程即可．
【详解】设原计划每天施工米，则实际工效为，
由题可得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
答：原计划每天施工米．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是读懂题意正确列出分式方程并求解．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，易得∠BAD＝∠C＝30°，∠CAD＝60°，又由BF平分∠ABC，可得∠ABF=∠CBF=30º即可证得∠AFB＝∠AEF，继而证得：△AEF为等边三角形．
（2）由△AEF是等边三角形可得EF=AE，通过等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90º，∠C=30º
∴∠ABC=60º
∴∠BAD=30º
∴∠CAD=60º
又∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF=30º
∴∠AFB=∠C+∠CBF=60º(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∠AEF=∠BAD+∠ABF=60º(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠CAD=∠AFB=∠AEF
∴△AEF是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)
（2）证明：∵△AEF是等边三角形
∴EF=AE
又∵∠BAD=∠ABF=30º
∴BE=AE(等角对等边)
∴BE=EF(等量代换)
【点睛】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．(1)，证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是能够灵活运用这些性质．
（1）先用证明，则等腰三角形的顶角，利用“三线合一”可知，．
（2）利用及可知，于是，由于可求，故可求．
【详解】（1）解：，
证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴（等腰三角形三线合一）．
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴
∵，，
∴
∴，
∴的长为6
22．(1)①13；②4；③20
(2)
【分析】（1）①根据完全平方公式代入求值即可；
②根据完全平方公式可得，整体代入求值即可；
③根据完全平方公式可得，整体代入求得，再利用完全平方公式整体代入求解即可；
（2）设，，可得，，求出即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
故答案为：13；
②∵，，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：4；
③∵，，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：20
（2）解：设，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴；
23．(1)，SAS
(2)，证明见解析
(3)5
【分析】（1）由角平分线的定义得出，根据可证明；
（2）先截取，连接，根据判定，得出，，，进而得出结论；
（3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可求出答案．
【详解】（1）解：点是的平分线上一点，
，
在和中，
，
，
故答案为：；；
（2）．
证明：在上截取，
平分，
，
在和中，
，
，
，AD=DE，
，
，
，
即，
，
，
，
．
（3）在上取一点，使，
在中，，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．