四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上期期末考试理科数学试卷

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（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2.已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4. 的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．5D．15
5.函数部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．或D．或
7. 已知函数是偶函数，当x<0时，，则曲线在x=1处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的，则输出的的概率为（ ）
A．B．
C．D．
10.若，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C． D．
11. 已知长方体在球O的内部，球心O在平面ABCD上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（ ）
A．4 B． 8 C．12D．18
12．曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若、满足约束条件，则的最大值为__________．
14. 设，则不等式的解集为__________．
15．已知，则的值为__________．
16．如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为__________．
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
参考数据及公式：，，，，，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2)小明的父亲身高178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.
(1)求证：面面；
(2)若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.
19.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界AB与AD的长度都是14米，，.
(1)若的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
20．已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点F为抛物线的焦点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于P,Q两点，过 分别作直线的垂线，垂足为M、N，l与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围.
21.已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，设关于的不等式对恒成立时k的最大值为，求的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.已知圆C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若直线的参数方程是(t为参数，为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点， ，求l的斜率.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范围.父亲身高
160
170
175
185
190
儿子身高
170
174
175
180
186