三角函数性质、最值和w小题归类(解析版)
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这是一份三角函数性质、最值和w小题归类(解析版),共46页。试卷主要包含了热点题型归纳1,最新模考题组练37等内容,欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 图像和性质1:“识图”1
\l "_Tc26924" 【题型二】 图像和性质2:求周期5
\l "_Tc12217" 【题型三】 图像和性质3:正余弦函数的对称轴应用7
\l "_Tc30563" 【题型四】 图像和性质4:正余弦函数的对称中心应用9
\l "_Tc30563" 【题型五】 最值与范围1:辅助角11
\l "_Tc30563" 【题型六】 最值与范围2:一元二次型正余弦函数有界性13
\l "_Tc30563" 【题型七】 最值与范围3:sinx与cngx积、和(差)换元型16
\l "_Tc30563" 【题型八】 最值与范围4:分式型18
\l "_Tc30563" 【题型九】 最值与范围5:绝对值型19
\l "_Tc30563" 【题型十】 三角换元1:圆代换22
\l "_Tc30563" 【题型十一】 三角换元2:双变量消元代换型24
\l "_Tc30563" 【题型十二】 三角换元3:无理根号代换型25
\l "_Tc30563" 【题型十三】 三角换元4:正切代换型26
\l "_Tc30563" 【题型十四】 三角换元5:向量中的三角换元型28
\l "_Tc30563" 【题型十五】 三角函数中W求解题33
\l "_Tc30563" 【题型十六】 数列与三角函数35
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练37
【题型一】 图像与性质1:“识图”
【典例分析】
已知函数,过点,,当,的最大值为9,则的值为( )
A.B.C.和D.
【答案】B
【解析】由图可得,所以,令,转化为求的最大值问题.
【详解】由已知,,所以,,又,,
所以,,故,
所以,
因,所以,,令,则,故,
若,易得,不符合题意;若,易得,解得(舍);
若,易得,解得.故选:B.
【提分秘籍】
基本规律
确定的步骤和方法:
(1)求 :确定函数的最大值和最小值,则 ,;
(2)求:确定函数的周期,则可;
(3)求:常用的方法有代入法和五点法.
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
【变式演练】
1.已知函数(,)的部分图象如图所示,则满足条件的最小正整数为____.
【答案】
【分析】先据图求出解析式,在解得两个可转为特殊角的三角函数值,解不等式验证最小正整数即可.
【详解】由题图可知,(T为f(x)的最小正周期),
得T=π,所以ω=2,所以f(x)=2cs(2x+φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点,
则2×+φ=,得φ=-,所以f(x)=2cs,所以
,所以,
即(f(x)-1)f(x)>0,可得f(x)>1或f(x)<0,所以cs或cs
当x=1时,,,不符合题意;
当x=2时,, cs符合题意,所以满足题意的最小正整数x为2.
故答案为:2
2.如图,点和点分别是函数(,,)图像上的最低点和最高点,若、两点间的距离为,则关于函数的说法正确的是( )
A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增
【答案】C
【分析】首先利用二倍角公式将化简为,再由,分别为的图像上的最低点和最高点得到,再由,两点之间距离为得,从而求得的值,进而求得的值,由题可知的最小正周期为,由此得到的值,再由经过点及的范围求得的值,得到函数的解析式,进而判断函数在区间的单调性.
【详解】
如图,过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,设两垂线的交点为,
连接,可知为直角三角形,,,
则,易知,解得,,∴,,得,,
∴,故,由函数的图像经过点可得,
则,,又,则,∴,
∴的单调递增区间为,得(),
的单调递减区间为,得(),
∴当时在区间上单调递减,故选C.
3.如图是函数的图象的一部分,则要得到该函数的图象,只需要将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】
先由图用求出,由 求出,由 求出,
得到;运用二倍角公式和辅助角公式化简
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】如图知: , , , 又
,,解得:
又,,,
由三角函数图象平移性质得
(技巧:由三角函数图象平移性质得 )所以函数向右平移个单位长度得到.故选:B
【题型二】 图像与性质2:求周期
【典例分析】
已知函数,则的最小正周期为
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】
,则的最小正周期为,故选C.
【提分秘籍】
基本规律
1.化一法,直接利用正余弦最小正周期定义求解
2.利用图像观察求解。
3.定义证明:f(x+T)=f(x)
4.经验推论:如果是多项式和与差型,则各项的最小正周期的公倍数是周期(需要证明是否是最小正周期)
【变式演练】
1.函数的最小正周期为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】
画出图象,再利用图象翻折得到观察图象可得周期.
【详解】
由的图象可知,.
故选:B.
【点睛】
本题考查三角函数型的图像与性质.
三角函数周期的求解公式法:或的最小正周期为,的最小正周期为
2.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.
解:由于在区间有三个零点,,,
当时,,∴由对称轴可知,满足,
即.同理,满足,即,
∴,,所以最小正周期为:.故选:C.
3.已知函数,则
A.的最小正周期为,最小值为1
B.的最小正周期为,最小值为-3
C.的最小正周期为,最小值为1
D.的最小正周期为,最小值为-3
【答案】D
【分析】首先利用余弦倍角公式,将式子进行化简,使得解析式中只有一个函数名,之后进行配方,结合正弦函数的周期和值域,求得函数的周期和最值,对选项逐一分析判断,得出结果.
【详解】化简函数解析式可得,
可以求得其最小正周期为,
其最大值为,最小值为,故选D.
【题型三】 图像与性质3:正余弦函数的对称轴
【典例分析】
设函数,若方程恰好有三个根,分别为 ,则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
作图像,由图像可得, 的取值范围是
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦与水平线交点的中点,是函数的对称轴。
2.一般情况下,的最大值或者最小值,必在对称轴处。
3.对称轴之间的距离,是半个周期的整数倍。
【变式演练】
1.若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称,则函数在上的最大值为( )
A.2B.C.1D.
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的变化规律求得:,利用对称性求得,由时,可得,由正弦函数的单调性可得结果.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后,
图象所对应解析式为:,由关于轴对称,则,
可得,,又,所以,即,
当时,,所以当时,即时,.
故选:A.
2.已知函数,直线,是图象的任意两条对称轴,且的最小值为,若关于的方程在区间上有两个不同的实数解,则实数的取值范围为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】化简;由题意知;从而可得,利用数形结合的方法求解即可.
解:;的最小值为,
;;;,作在,上的图象如下,
,;关于的方程在区间,上有两个不同的实数解,
;;故选:C.
3.已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为,且恒有,若存在成立,则b的取值范围为________.
【答案】
【分析】利用三角恒等变换可得,结合其性质求得,,即可得,根据正弦函数的性质确定的最值,最后由不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】由题设,,
由相邻两个对称轴之间的距离为,故,
又关于对称,即,故,解得,∴,
当时,,此时的最大值为,最小值为,
若存在,使成立,则只需,
∴.故答案为:
【题型四】 图像和性质4:对称中心
【典例分析】
已知函数fx=3sinωx-π6ω>0图象对称中心和函数gx=3cs2x+φ的图象的对称中心完全相同,若,则函数的取值范围是____________
【答案】-32,3
【分析】化简得到fx=3csωx-2π3,根据对称中心相同得到,故fx=3sin2x-π6,当,2x-π6∈-π6,5π6,得到范围.
【详解】fx=3sinωx-π6,gx=3cs2x+φ,两函数对称中心完全相同,故周期相同,
故,故fx=3sin2x-π6,
当,2x-π6∈-π6,5π6,故fx=3sin2x-π6∈-32,3.
故答案为:-32,3.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下, 两个点关于中心对称,则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离,是四分之一周期的整数倍。
【变式演练】
1..已知函数的最小正周期,且是函数的一条对称轴,是函数的一个对称中心,则函数在上的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】依题意求出的解析式,再根据x的取值范围,求出的范围,再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】函数的最小正周期,∴,解得:,
由于是函数的一条对称轴,且为的一个对称中心,
∴,(),则,(),则,
又∵,,由于,∴,故,
∵,∴,∴,∴.
故选:B.
2.已知定义在上的奇函数在上单调递增,且满足,则关于的不等式的解集为( ).
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】令,利用奇偶性定义可知为奇函数,并可确定在,上单调递增,由知,结合不成立可确定与大致图象,由图象可确定解集.
【详解】为上的奇函数,,
令,则,
为上奇函数;
在上单调递增,在上单调递增,
在上单调递增,由奇函数性质知:在上单调递增;
,,则,
又,当时,,
当时,不成立,即不成立,
由此可在坐标系中画出与大致图象如下图所示:
由图象可知:当时,,
即当时,.故选:C.
3.设函数.若,且,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】由函数的图象可得,x2,x1关于点(,0)对称,|x2﹣x1|最小,进而可得结果.
【详解】根据函数f(x)=sin(2 x +)∵f(x1)+f(x2)=0,可得f(x1)=﹣f(x2),
令x2>x1,根据图象,可得x2,x1关于点(,0)对称时,|x2﹣x1|最小,
∵x1x2<0,∴x2>0,则x1.∴可得|x2﹣x1|,故选:B.
【题型五】 最值与范围1:辅助角
【典例分析】
已知函数,周期,,且在处取得最大值,则使得不等式恒成立的实数的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质,以及同角的三角函数的关系可得,①,再根据,可得,②,通过①②求出的值,再根据三角函数的性质可得,,求出,根据不等式恒成立,则,即可求出答案.
【详解】,其中,处取得最大值,,即,,,①,,
,,,②,
①②得,,即,解得,(舍去),
由①得,,,在第一象限,取,,
由,即,,,,,
使最小,则,即,若不等式恒成立,则,故选:B
【提分秘籍】
基本规律
要让学生学会推导一下过程,并且要学会非特殊角特殊值的推导。
【变式演练】
1.若,函数()的值域为,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】利辅助角公式可得(其中),再利用换元法令,从而得到的取值范围.
【详解】因为(其中).
令,因为,所以.
因为,且,所以,故,即.
当时,单调递减,
因为,
所以.故选D.
2.已知当时,函数取到最大值,则是( )
A.奇函数,在时取到最小值;B.偶函数,在时取到最小值;
C.奇函数,在时取到最小值;D.偶函数,在时取到最小值;
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得,根据时有最大值可得
,求出,再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】,取,
当时,有最大值,即,所以,可得,
所以,,则,
因为,所以,为偶函数,
,,故B正确,故选:B.
3.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根,则正整数n的最小值是______.
【答案】4
【分析】化简,因为,则,在上有两个不等实根,转化为在上有两个不等实根,故,即可得出答案.
【详解】,
其中,,
因为,则,+
在上有两个不等实根,
在上有两个不等实根,
则,所以
①对任意,,恒成立.由②得,存在,成立,
所以,,所以.故答案为:4
【题型六】 最值与范围2:一元二次正余弦有界性
【典例分析】
.关于的不等式在区间上恒成立,的最大值为,则实数的取值范围( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】
根据题中条件,得到,求出,根据特殊值验证,分别取,,,结合正弦函数的性质,即可得出结果.
【详解】
由得,
即,则,
为使不等式有解,必有;
所以,即,
若,则,即,则,
又显然恒成立,所以,
解得,;
由题意可得,是的子集,此时的最大值为,不满足题意,故排除AB选项;
若,则,即,显然对任意恒成立,此时无最大值;故C错;
若,则,即,
因为显然恒成立,所以,
解得,;
由题意可得,是的子集,此时的最大值为,满足题意,故D正确;故选:D.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下,正弦余弦有一次二次,要以“一次”为变量
2.消元或者换元,要注意旧元与新变量之间的范围限制,包括互相限制。
【变式演练】
1.已知,则函数的值域是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】把转化为关于的二次函数即可求得.
【详解】因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以,所以,所以.
故函数的值域是.故选:A.
2.已知且对任意,不等式无解,当实数取得最大值时,方程的解得个数为__________.
【答案】322
【分析】
根据余弦函数的二倍角公式将不等式转化为,再令则,可得不等式在无解,可得,解之可得的最大值,再代入方程中,可将方程化为,解之可得解的个数.
【详解】
根据余弦函数的二倍角公式将不等式转化为即,
令则,所以由题意得不等式在无解,
所以,解得,所以的最大值为,
所以方程化为,即,
所以,解得,所以整数的个数有322个,
所以当实数取得最大值时,方程的解得个数为322.
故答案为:322.
3.已知,若对任意实数恒成立,则实数应满足的条件是__________.
【答案】
【分析】不等式变形为令,即上式变形为关于的一元二次不等式,对应的二次函数为,根据题意,若满足时不等式恒成立,则需时,恒成立,分类讨论,当或或时,判断函数单调性,解不等式,求解即可.
【详解】.
设,.由题意可知,时,恒成立.
当对称轴时在上单调递减,则,即
当对称轴时,。解得即
当对称轴时在上单调递增,
则,即
综上所述:故答案为:
【题型七】 最值与范围3:sinx与csx积和(差)换元型
【典例分析】
函数的值域为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】将原式化简为,再令,将转化为关于的二次函数,利用二次函数的性质求解值域.
解:
则且,令,则,则,,
当时,,
当时,,
故的值域为.故选:D.
【提分秘籍】
基本规律
之间的互化关系
1.
2.
【变式演练】
1.函数的最大值为( )
A.B.3
C.D.4
【答案】C
【分析】令,则,将原函数变形为,再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得;
解:根据题意,设,则,
则原函数可化为,,
所以当时,函数取最大值.故选:C.
2.函数fx=sinxcsx+2sinx-π4的值域为________.
【答案】-12-2,1
【分析】令sinx-csx=t,函数化为y=-12(t-1)2+1,利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
由于fx=sinxcsx+2sinx-π4=sinxcsx+sinx-csx,
令sinx-csx=t,则sinxcsx=1-t22,于是函数化为y=1-t22+t=-12(t-1)2+1,
而t=sinx-csx=2sinx-π4∈[-2,2] ,
所以当时,函数取最大值1,
当t=-2时,函数取最小值-12-2,故值域为-12-2,1.
故答案为:-12-2,1.
3.函数y=sinx-csx+sinxcsx的值域为________.
【答案】-12-2,1
用换元法,设t=sinx-csx,则sinxcsx=1-t22,且-2≤t≤2,问题转化为求二次函数在某个区间上的值域.
【详解】设t=sinx-csx,则t2=sin2x+cs2x-2sinx·csx,sinxcsx=1-t22,
t2=1-sin2x∈[0,2],∴-2≤t≤2.∴y=-t22+t+=- (t-1)2+1,t∈[-,].
当t=1时,ymax=1;
当t=-时,ymin=-12-2.
∴函数的值域为-12-2,1.
【题型八】 最值与范围4:分式型
【典例分析】
函数的最小值是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】对变形,得到,当时,利用的几何意义求解其取值范围,进而得到,当时,,从而求出的最小值.
【详解】
当,
当时,因为,
令,的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率,所以,所以
所以,即,综合得,, 故最小值为:.
故选:B.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以用正余弦有界性:
2.可以用辅助角:
3.可以用外能公式代换:参考题型十
【变式演练】
1.设函数的最大值为,最小值为,则( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】
将函数整理为,再由辅助角公式和正弦函数的值域,得到不等式,结合韦达定理,即可得到答案.
【详解】因为,所以有,即,为辅助角,因为,所以,
化简得:,
由于恒成立,则判别式:
恒成立,
即有不等式的解集为由韦达定理可得故选:D
2..已知函数,则的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间的最小值,最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
,
令,则,
因此函数的最小值与函数在区间的最小值相同,
又因为,当且仅当即时等号成立,
所以函数的最小值2.
故选:B
3.函数的最大值为_________.
【答案】.
试题分析: 令,则,,(其中)
,由于,,,
解得:故答案应填:.
【题型九】 最值与范围5:绝对值型
【典例分析】
若函数f(x)=a+bcsx+csinx的图象经过点(0,1)和π2,1,且当时,|f(x)|≤2恒成立,则实数a的取值范围是__________.
【答案】-2≤a≤4+32.
【分析】
由的图象经过(0,1)和π2,1两点,可得b,c与的关系,将原函数转化为只含有变量的函数,对的取值分a>1,a=1,a
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