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    2024太原高三上学期期末学业诊断试题数学含答案

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    2024太原高三上学期期末学业诊断试题数学含答案

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    这是一份2024太原高三上学期期末学业诊断试题数学含答案,共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    (考试时间:上午8:00—10:00)
    说明:本试卷为闭卷笔答,答题时间120分钟,满分150分。
    一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知复数满足,则在复平面内对应的点的坐标为( )
    A.B.C.D.
    3.圆的圆心坐标为( )
    A.B.C.D.
    4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间,甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务,每名志愿者只去一个场地,每个场地至少一名志愿者,若甲不去游泳场地,则不同的安排方法种数为( )
    A.18B.24C.32D.36
    5.已知,,且,,则( )
    A.B.C.D.
    6.如图是函数的部分图象,则的解析式为( )
    A.B.
    C.D.
    7.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点为上异于长轴端点的任意一点,的角平分线交线段于点,则( )
    A.B.C.D.
    8.若实数,,满足,,,则( )
    A.B.C.D.
    二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
    9.已知数列中,,,数列的前项和为,则下列结论正确的是( )
    A.是等比数列B.
    C.D.
    10.已知函数,则下列结论正确的是( )
    A.
    B.的图象关于点对称
    C.在区间上单调递增
    D.将的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
    11.已知函数,若方程有四个不同的实数解,,,,且满足,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    12.在棱长为1的正方体中,为线段的中点,点和分别满足,,其中,,则下列结论正确的是( )
    A.当时,三棱锥的体积为定值
    B.当时,四棱锥的外接球的表面积是
    C.当时,不存在使得
    D.的最小值为
    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.双曲线的渐近线方程为______.
    14.的展开式中常数项为______.
    15.已知非零向量,夹角为,则的最小值为______.
    16.已知实数,分别满足,,其中是自然对数的底数,则______.
    四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题10分)
    已知在等差数列中,,,是数列的前项和,且满足.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)设,求数列的前项和.
    18.(本小题12分)
    在中,,,分别为内角,,的对边,点在线段上,,,的面积为.
    (1)当,且时,求;
    (2)当,且时,求的周长.
    19.(本小题12分)
    “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体,即其底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,四棱锥中,四边形是边长为3的正方形,,,.
    (1)证明:四棱锥是一个“阳马”;
    (2)已知点在线段上,且,若二面角的余弦值为,求直线与底面所成角的正切值.
    20.(本小题12分)
    为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校食堂从开学第1天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,如果他第1天选择了米饭套餐,那么第2天选择米饭套餐的概率为;如果他第1天选择了面食套餐,那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
    (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率;
    (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为,
    (i)证明:为等比数列;
    (ii)证明:当时,.
    21.(本小题12分)
    已知抛物线的准线与轴相交于点,过抛物线焦点的直线与相交于,两点,面积的最小值为4.
    (1)求抛物线的方程;
    (2)若过点的动直线交于,两点,试问抛物线上是否存在定点,使得对任意的直线,都有.若存在,求出点的坐标;若不存在,则说明理由.
    22.(本小题12分)
    已知函数,.
    (1)当时,求的最小值;
    (2)当时,不等式恒成立,求实数取得的最大整数值.
    2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷
    参考答案及评分标准
    一.单项选择题:CBABCCAA
    二.多项选择题:9.BD10.AC11.ACD12.ABD
    三.填空题:13.14.2515.16.
    四.解答题:
    17.解:(1)设的公差为,由题意得

    当时,则,,
    当时,则,,,
    是以1为首项,3为公比的等比数列,;
    (2)由(1)得,
    ,①
    ,②
    ①-②得,
    .
    18.解:(1)由题意得,
    ,,,
    ,,
    ,,;
    (2)由题意得,,

    ,,
    ,,
    ,,,
    ,,
    ,的周长为.
    19.(1)证明:四边形是正方形,,
    ,,平面,,
    同理可证,,平面,
    四棱锥是一个“阳马”;
    (2)由(1)得平面,,
    ,,,
    以点为原点,,,所在的直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    由题意可得,,,,,
    ,,
    设是平面的一个法向量,则
    令,则,,
    设是平面的一个法向量,则
    令,则,,
    ,,
    ,,
    平面,直线与底面所成角的正切值为.
    20.解:(1)设“第天选择米饭套餐”,则“第天选择面食套餐”,
    根据题意,,号,,
    由全概率公式,得

    (2)(i)设“第天选择米饭套餐”,
    则,,,,
    由全概率公式,得,
    即,,
    ,是以为首项,为公比的等比数列;
    (ii)由(i)可得,
    当为大于1的奇数时,;
    当为正偶数时,.
    21.解:(1)由题意得,,
    设直线的方程为,,,
    由得,
    ,,

    面积,
    当时,取最小值,,
    抛物线的方程为;
    (2)由(1)得抛物线,假设存在定点,
    设直线的方程为,,,则,,
    由得,
    ,,
    ,,

    ,,
    当时,即时,恒成立,存在定点.
    22.解:(1)当时,,,则,
    令,则;令,则,
    在上单调递减,在上单调递增,
    在处取得最小值;
    (2)①当时,则,显然成立;
    ②当时,原不等式等价于,
    令,,则,
    令,,则,在上单调递增,
    ,,
    ,,即,,
    当时,,,在上单调递减,
    当时,,,在上单调递增,
    在处取得最小值为,
    ,且,
    综上,实数的最大整数值为3.

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