专题07 抛体运动模型-2024年新课标高中物理模型与方法

这是一份专题07 抛体运动模型-2024年新课标高中物理模型与方法，文件包含专题07抛体运动模型原卷版docx、专题07抛体运动模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12336" 【平抛运动模型的构建及规律】 PAGEREF _Tc12336 \h 1
\l "_Tc2432" 【三类常见的斜面平抛模型】 PAGEREF _Tc2432 \h 4
\l "_Tc3593" 【半圆模型的平抛运动】 PAGEREF _Tc3593 \h 9
\l "_Tc4719" 【平抛与圆相切模型】 PAGEREF _Tc4719 \h 11
\l "_Tc17641" 【台阶平抛运动模型】 PAGEREF _Tc17641 \h 12
\l "_Tc19818" 【体育生活中平抛运动的临界模型】 PAGEREF _Tc19818 \h 13
\l "_Tc30539" 【对着竖直墙壁的平抛模型】 PAGEREF _Tc30539 \h 14
\l "_Tc1518" 【斜抛运动模型】 PAGEREF _Tc1518 \h 18
【平抛运动模型的构建及规律】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：即，
方向：v与水平方向夹角为，即
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为，即
一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示:
3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
【模型演练1】.(2020·全国名校11月大联考)如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点．质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线．M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点．已知平抛的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．QM的长度为10 m
B．质点从O到P的运动时间为1 s
C．质点在P点的速度大小为40 m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
【模型演练2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.eq \f(E2,E1)等于( )
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
【模型演练3】(2020·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，g取10 m/s2)( )
A.(3 m，3 m)B.(2 m，4 m)
C.(1 m，1 m) D.(1 m，2 m)
【模型演练4】（2021届辽宁省营口市高三模拟）如图所示，轴在水平地面上，轴在竖直方向，图中画出了从轴上不同位置沿轴正向水平抛出的三个小球、和的运动轨迹。小球从抛出，落在处；小球、均从抛出，分别落在和处。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．和的初速度相同 B．和的运动时间相同
C．的初速度是的2倍 D．的运动时间是的2倍
【模型演练5】(2021·云南保山一模)如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 ( )
A．小球通过B点的速度为12 m/s
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从A点运动到B点的时间为1 s
D．A、B之间的距离为6eq \r(7) m
【三类常见的斜面平抛模型】
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
v0
θ(
)α
)α
x＝v0t ，
y＝eq \f(1,2)gt2，
tan θ＝eq \f(y,x)，
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g)。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．
法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示
vx＝v0cs θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcs θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcs θ·t＝0，即t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2)当t＝eq \f(v0tan θ,g)时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝eq \f(2v0tan θ,g)，
A、B间距离s＝v0cs θ·T＋eq \f(1,2)gsin θ·T2＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P，
则tan θ＝eq \f(y,\f(1,2)x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,\f(1,2)v0t)，
t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2) eq \x\t(AC)＝y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(veq \\al(2,0)tan2 θ,2g)，而eq \x\t(AC)∶eq \x\t(CD)＝1∶3，所以eq \x\t(AD)＝4y＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan2θ,g)，A、B间距离s＝eq \f(eq \x\t(AD),sin θ)＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)，得t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan θ＝eq \f(y,x)，y＝xtan θ①
y＝eq \f(1,2)gt′2②
x＝v0t′③
由①②③式得：t′＝eq \f(2v0tan θ,g)
而x＝v0t′＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,g)，
因此A、B间的距离s＝eq \f(x,cs θ)＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)，
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
)θ
H
H-y
x
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
v0
)θ
θ

过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcs θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcs θ·cs θ＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝ eq \r(\f(gh,2))sin θ，t＝eq \r(\f(2h,g))cs θ.
【模型演练1】(2020·东北师大等联盟学校检测)如图，倾角为α＝45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度v0和2v0向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、P1与P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响．下列说法正确的是( )
A．t1∶t2＝1∶1
B．l1∶l2＝1∶2
C．两球刚落到斜面上时的速度比为1∶4
D．两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1
【模型演练2】(2020·金华一中模拟)如图14所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上的A、B两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直．忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是( )
A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2 θ∶1
B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan2 θ∶1
C．甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2 θ∶1
【模型演练3】.(2020·河南郑州市一模)甲、乙两个同学打乒乓球，某次运动中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示．设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打拍面前后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的拍面时的速度大小v1与乒乓球击打乙的拍面时的速度大小v2的比值为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
【模型演练4】(2020·河南顶尖名校4月联考)随着北京冬奥会的临近，滑雪项目成了人们非常喜爱的运动项目。如图，运动员从高为h的A点由静止滑下，到达B点水平飞出后经过时间t落到长直滑道上的C点，不计滑动过程的摩擦力和空气阻力，关于运动员的运动，下列说法正确的是( )
A．若h加倍，则水平飞出的速度v加倍
B．若h加倍，则在空中运动的时间t加倍
C．若h加倍，运动员落到斜面上的速度大小不变
D．若h加倍，运动员落到斜面上的速度方向不变
【模型演练5】(多选)(2020·山东日照市上学期期末)如图，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球均落在斜面上．忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等
B．小球的运动时间与初速度的平方成正比
C．所有小球落到斜面上时的速度方向都相同
D．小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半
【模型演练6】(2020·河南洛阳市期末调研)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．2∶3
【模型演练7】如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则( )
A．小球平抛的初速度v0＝eq \r(\f(gh,2))sin θ
B．小球平抛的初速度v0＝sin θeq \r(\f(gh,2cs θ))
C．飞行时间t＝eq \r(\f(2h,g))cs θ
D．飞行时间t＝eq \r(\f(2h,g)·cs θ)
【模型演练8】车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d的河流．在河岸左侧建起如图所示高为h、倾角为α的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越．已知h＞H，当地重力加速度为g，汽车可看成质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力．根据题设条件可以确定( )
A．汽车在左侧斜坡上加速的时间t
B．汽车离开左侧斜坡时的动能Ek
C．汽车在空中飞行的最大高度Hm
D．两斜坡的倾角满足α＜θ
【半圆模型的平抛运动】
在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝eq \f(1,2)gt2，R±eq \r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+csθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。

【模型演练1】(2020·大教育名校联盟一模)如图所示，几位同学利用课余时间测一干涸的半球形蓄水池的直径．身高为1.80 m的小张同学站在池边从头顶高处水平向池中投掷小石子，石子刚好落到池底的正中央，小李同学用手机的秒表记录的小石子运动时间为1.6 s，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2.可知水池的直径为( )
A．3.6 m B．11 m
C．12.8 m D．22 m
【模型演练2】(2021·四川宜宾市第二次诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【模型演练3】（2021沈阳重点高中8月检测）如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 ( )
A．tan α B．cs α
C．tan αeq \r(tan α) D．cs αeq \r(tan α)
【平抛与圆相切模型】

【模型演练1】(2020·湖北荆州市高三上学期质量检测)如图所示，OAB为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，则C点到B点的距离为(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)( )
A.eq \f(4R,15) B.eq \f(2R,15) C.eq \f(R,2) D.eq \f(R,3)
【模型演练2】(2021·海南琼海市嘉积中学高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
A.eq \f(tan θ2,tan θ1)＝2 B.eq \f(1,tan θ1tan θ2)＝2
C.tan θ1tan θ2＝2 D.eq \f(tan θ1,tan θ2)＝2
【模型演练3】如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t；
(2)小球从A点水平抛出的速度大小v0和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l；
(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；
(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。
【台阶平抛运动模型】
【模型演练1】(2020·浙江金丽衢十二校联考)如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的eq \f(1,4)，取g＝10 m/s2，则小球( )
A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m
B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m
C．抛出时的初速度为1.0 m/s
D．会与第5级台阶相撞
【模型演练2】一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是( )
A．eq \r(6) m/s＜v≤2eq \r(2) m/s B．2eq \r(2) m/s＜v≤3.5 m/s
C．eq \r(2) m/s＜v＜eq \r(6) m/s D．2eq \r(2) m/s＜v＜eq \r(6) m/s
【体育生活中平抛运动的临界模型】
1． 平抛运动中的临界速度问题
h1
v2
s2
h2
s1
v1
从网上擦过的临界速度
h1
s2
h2
s1
出界的临界速度
2． 既擦网又压线的双临界问题
根据，可得比值：
【模型演练1】(多选)(2020·安徽皖江联盟名校联考)如图所示，某网球运动员正对球网跳起从同一高度O点向正前方先后水平击出两个速度不同的排球，排球轨迹如虚线Ⅰ和虚线Ⅱ所示．若不计空气阻力，则( )
A．两球下落相同高度所用的时间是相同的
B．两球下落相同高度时在竖直方向上的速度相同
C．两球通过同一水平距离，轨迹如虚线Ⅰ的排球所用的时间较少
D．两球在相同时间间隔内，轨迹如虚线Ⅱ的排球下降的高度较小
【模型演练2】(2020·浙江宁波“十校”3月联考)如图所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌面h，网到桌边的水平距离为L.在某次乒乓球训练中，从桌面左侧距网水平距离为eq \f(1,2)L处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘．设乒乓球的运动为平抛运动，下列说法正确的是( )
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左右两侧运动的时间之比为1∶3
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时的速率之比为1∶3
D．乒乓球在网左右两侧的速度变化量之比为1∶2
【模型演练3】(2020·浙江稽阳联谊学校3月模拟)如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h.重力加速度为g.打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，eq \r(2gh)≤v0≤2eq \r(2gh).设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计．若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是( )
A．2πh2 B．3πh2 C．4πh2 D．8πh2
【模型演练4】(2020·山东德州市二模)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图4所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则Leq \r(\f(g,2h))