专题13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型-2024年新课标高中物理模型与方法

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29113" 【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型 PAGEREF _Tc29113 \h 1
\l "_Tc26678" 1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型 PAGEREF _Tc26678 \h 1
\l "_Tc11748" 2.交变电场中的直线运动 PAGEREF _Tc11748 \h 4
\l "_Tc19734" 3.带电体在电场中的直线运动 PAGEREF _Tc19734 \h 5
\l "_Tc7104" 【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型 PAGEREF _Tc7104 \h 8
\l "_Tc29744" 【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型 PAGEREF _Tc29744 \h 11
\l "_Tc518" 【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型 PAGEREF _Tc518 \h 14
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型
受力分析：
与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
运动过程分析：
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动.
两种处理方法：
= 1 \* GB3 ①力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确定带电粒子的速度、时间和位移等.
= 2 \* GB3 ②功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿出时的速度v是多大？
解法一、动力学：由牛顿第二定律： ①
由运动学知识：v2－v02=2ad ②
联立①②解得：
解法二、动能定理： 解得
讨论：
（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=mv2-mv02 解得v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，质量为m的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.
①若v0>，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，
有 -qU=mv2-mv02 解得v=
②若v01)，电压变化的周期为2τ，如图乙所示．在t＝0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动．若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用．若k＝eq \f(5,4)，电子在0～2τ时间内不能到达极板A，求d应满足的条件．
【模型演练4】(多选)(2021·贵州三校联考)如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的图象．当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )

A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度为零 D．0～3 s内，电场力做的总功为零
3.带电体在电场中的直线运动
(1).带电小球在电容器中的直线运动
(2)多过程运动规律
【模型演练1】(多选)(2020·三湘名校联盟第二次大联考)如图所示为匀强电场中的一组等间距的竖直直线，一个带电粒子从A点以一定的初速度斜向上射入电场，结果粒子沿初速度方向斜向右上方做直线运动，则下列说法正确的是( )
A．若竖直直线是电场线，电场的方向一定竖直向上
B．若竖直直线是电场线，粒子斜向上运动过程动能保持不变
C．若竖直直线是等势线，粒子一定做匀速直线运动
D．若竖直直线是等势线，粒子斜向上运动过程电势能增大
【模型演练2】(2021·浙江宁波市重点中学联考)如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝eq \f(mg,E)
【模型演练3】如图为一有界匀强电场，场强方向为水平方向(虚线为电场线)，一带负电微粒以某一角度θ从电场的a点斜向上射入，沿直线运动到b点，则可知( )
A．电场中a点的电势低于b点的电势
B．微粒在a点时的动能与电势能之和与在b点时的动能与电势能之和相等
C．微粒在a点时的动能小于在b点时的动能，在a点时的电势能大于在b点时的电势能
D．微粒在a点时的动能大于在b点时的动能，在a点时的电势能小于在b点时的电势能
【模型演练4】(2020·陕西榆林市高三第一次模拟)如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平行板间存在着匀强电场，直线CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经O点向B点做直线运动，重力加速度为g.则在此过程中，下列说法正确的是( )
A．小球带正电
B．小球可能做匀加速直线运动
C．小球加速度大小为gcs α
D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量
【模型演练5】(2020·广西南宁市期中)一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从O点出发，初速度的大小为v0，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ角做直线运动，重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球运动到最高点时其电势能与O点的电势能之差．
【模型演练6】（2021·黑龙江哈尔滨一中高三上学期11月期中）如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，从极板M的左边缘A处以初速度v0水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，重力加速度为g，则( )
A．微粒到达B点时动能为eq \f(1,2)mv02
B．微粒的加速度大小等于gsin θ
C．两极板的电势差UMN＝eq \f(mgd,qcs θ)
D．微粒从A点到B点的过程，电势能减少eq \f(mgd,cs θ)
【模型演练7】（2021·福建省厦门双十中学高三上学期11月期中）如图所示，空间分布着匀强电场，竖直方向的实线为其等势面，一质量为，带电量为的小球从O点由静止开始恰能沿直线OP运动，且到达P点时的速度大小为，重力加速度为（规定O点的电势为零），下列说法正确的是（ ）
A. 电场强度的大小B. P点的电势
C. P点的电势能D. 小球机械能的变化量为
【模型演练8】如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板正中有一小孔。质量为m、电荷量为＋q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零(空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g)。求：
(1)小球到达小孔处的速度大小；
(2)极板间电场强度大小和电容器所带电荷量；
(3)小球从开始下落至运动到下极板处的时间。
【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型
【运动模型】质量为、电荷量为的带电粒子以初速沿垂直于电场的方向，进入长为、间距为、电压为的平行金属板间的匀强电场中，粒子将做匀变速曲线运动，如图所示，若不计粒子重力，则可求出如下相关量：
U
d
l
q
v0
y
1、粒子穿越电场的时间：
粒子在垂直于电场方向以做匀速直线运动，
，；
2、粒子离开电场时的速度：
粒子沿电场方向做匀加速直线运动，加速度，
粒子离开电场时平行电场方向的分速度，
所以。
3、粒子离开电场时的侧移距离：
②
②式涉及了描述粒子的物理量如、、、；描述设备的物理量、
不难发现：（1）当不同粒子（不同）以相同的速度进入偏转电场时侧移距离
（2）当不同粒子以相同的动能进入偏转电场时侧移距离
4、粒子离开电场时的偏角：
因为 ③
②与③的关系：（熟记）
5、速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点
由和，可推得。粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的。
【模型演练1】(2020·浙江1月选考·7)如图，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度l，间距d，电子质量m，电荷量e.若电子恰好从极板边缘射出电场，由以上条件可以求出的是( )
A．偏转电压 B．偏转的角度
C．射出电场速度 D．电场中运动的时间
【模型演练2】(2020·浙江7月选考·6)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从MN连线上的P点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的匀强电场中．已知MN与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN连线上的某点时( )
A．所用时间为eq \f(mv0,qE)
B．速度大小为3v0
C．与P点的距离为eq \f(2\r(2)mv02,qE)
D．速度方向与竖直方向的夹角为30°
【典例分析3】(多选)(2020·浙江宁波“十校”3月联考)如图所示，三个同样的带电粒子(不计重力)同时从同一位置沿同一方向垂直于电场线射入平行板电容器间的匀强电场，它们的运动轨迹分别用a、b、c标出，不考虑带电粒子间的相互作用，下列说法中正确的是( )
A．当b飞离电场的同时，a刚好打在下极板上
B．b和c同时飞离电场
C．进入电场时，c的速度最大，a的速度最小
D．在电场中运动过程中c的动能增加量最小，a、b的动能增加量相同
【典例分析4】(2021·山东烟台模拟)在平行于纸面内的匀强电场中，有一电荷量为q的带正电粒子，仅在电场力作用下，粒子从电场中A点运动到B点，速度大小由2v0变为v0，粒子的初、末速度与AB连线的夹角均为30°，如图所示，已知A、B两点间的距离为d，则该匀强电场的电场强度为( )
A．eq \f(\r(3)mv\\al(2,0),qd)，方向竖直向上B．eq \f(\r(3)mv\\al(2,0),qd)，方向斜向左下方
C．eq \f(3mv\\al(2,0),qd)，方向竖直向上D．eq \f(\r(21)mv\\al(2,0),2qd)，方向斜向左下方
【模型演练5】(2020·全国卷Ⅰ·25)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示．质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直．已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°.运动中粒子仅受电场力作用．
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【模型演练6】(多选)(2020·江苏南京市、盐城市一模)两个质量相等、电荷量不等的带电粒子甲、乙，先后以不同的速率沿着HO方向垂直射入匀强电场，电场方向竖直向上，它们在圆形区域中运动的时间相同，其运动轨迹如图所示．不计粒子所受的重力，则下列说法中正确的是( )
A．甲粒子带正电荷
B．乙粒子所带的电荷量比甲粒子少
C．甲粒子在圆形区域中电势能变化量小
D．乙粒子进入电场时具有的动能比甲粒子大
【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型
【运动模型】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板且从两板正中间射入，从右侧射出，设在此过程中带电粒子没有碰到两极板。若金属板长为，板间距离为、两板间电压为，试分析带电粒子的运动情况。
U1
d
U2
q
v1
v2
L
q
v0
v1
q
y
1、粒子穿越加速电场获得的速度
设带电粒子的质量为，电量为，
经电压加速后速度为。由动能定理有
，
2、粒子穿越偏转电场的时间：
带电粒子以初速度平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为，则
3、粒子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度
4、粒子离开偏转电场时的侧移距离：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为0的做匀加速直线运动 ④
④式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的侧移量与粒子的、无关。
5、粒子离开偏转电场时沿电场方向的速度为：
带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为，则
6、粒子离开偏转电场时的偏角：
设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为。则⑤
⑤式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的偏转角与粒子的、无关。
【模型演练1】(2020·洛阳一模)如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右的加速电场E1之后进入电场线竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上．整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，那么( )
A．偏转电场E2对三种粒子做功一样多 B．三种粒子打到屏上时的速度一样大
C．三种粒子运动到屏上所用时间相同 D．三种粒子一定打到屏上的同一位置
【模型演练2】(2021·广东珠海一模)如图所示，一电子枪发射出的电子(初速度很小，可视为零)进入加速电场加速后，垂直射入偏转电场，射出后偏转位移为Y.要使偏转位移增大，下列哪些措施是可行的(不考虑电子射出时碰到偏转极板的情况)( )
A．增大偏转电压U
B．增大加速电压U0
C．增大偏转极板间距离
D．将发射电子改成发射负离子
【模型演练3】(2021·河南名校联盟五调)示波器的示意图如图所示，金属丝发射出来的电子(带电荷量为e)被加速后从金属板的小孔穿出，进入偏转电场。电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上。已知加速电压U1＝1 640 V，偏转极板长l＝4 cm，偏转极板间距d＝1 cm，当电子加速后从两偏转极板的正中央沿与极板平行的方向进入偏转电场。
(1)偏转电压U2为多大时，电子束打在荧光屏上的偏转距离最大？
(2)如果偏转极板右端到荧光屏的距离L＝20 cm，则电子到达荧光屏时的最大偏转距离y为多少？
【模型演练4】(多选)(2020·山东蒙阴县实验中学高二月考)示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的．如图所示，不同的带负电粒子在电压为U1的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为U2的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则( )
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在板间的加速度大小相等
B．若比荷eq \f(q,m)相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子从M孔射出时的动能相等
D．若不同比荷eq \f(q,m)的带负电粒子由O点射入，偏转角度θ相同
【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型
1.带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
(1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能
量守恒，即 恒定值
(2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力
势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
2.带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
【模型演练1】(2021·河南名校联盟1月调研)如图7所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程( )
A．动能增加eq \f(1,2)mv2 B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加eq \f(3,2)mv2 D．电势能增加2mv2
【模型演练2】(2019·全国卷Ⅲ·24)空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q>0)．A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为eq \f(t,2).重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)B运动到P点时的动能．
【模型演练3】(2021·河南高三二模)如图所示，在电场强度方向水平向右的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为q的粒子从A点以初速度v0竖直向上抛出，粒子运动到B点时速度方向水平，大小也为v0，重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．粒子在该过程中克服电场力做功eq \f(1,2)mv02
B．匀强电场的电场强度大小为eq \f(2mg,q)
C．粒子在A点的电势能比在B点的电势能大eq \f(1,2)mv02
D．粒子从A点运动到B点所用的时间为eq \f(v0,g)
【模型演练3】(多选)(2020·烟台一模)在水平向左的匀强电场中，一带电颗粒以速度v从a点水平向右抛出，不计空气阻力，颗粒运动到b点时速度大小仍为v，方向竖直向下。已知颗粒的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，则颗粒从a运动到b的过程中( )
A．做匀变速运动 B．速率先增大后减小
C．电势能增加了eq \f(1,2)mv2 D．a点的电势比b点低eq \f(mv2,q)
【模型演练4】(2020·重庆市九校联考)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50 N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2 m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场．质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋1×10－2 C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入电场，通过第Ⅰ象限后，从x轴上的A点进入第Ⅳ象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0,0.4)、(0.4,0)，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)小球经过B点时的速度大小．
【模型演练5】（2021·福建省厦门双十中学高三上学期11月期中）在一空间范围足够大区域内可能存在竖直向上的匀强电场，其电场线与坐标xOy平面平行．以坐标原点O为圆心，作半径为R的圆交坐标轴于A、B两点，C点为AB圆弧中点位置，如图所示．在原点O处有带正电小球，以某一初动能沿x轴正向水平抛出．
（1）空间电场强度为0时，小球以Ek0的初动能从O点平抛，刚好能经过C点位置，求小球经过C点位置时的动能．
（2）空间电场强度不为0时，小球以Ek0的初动能从O点平抛，当小球经过图中圆周上D点时动能大小为2Ek0，求D点位置坐标（图中未标出D点）．
（3）空间电场强度不为0时，小球以某一初动能从O点平抛，小球经过图中圆周上C点时动能大小为2Ek0，若已知带电小球的质量为m，电量为q，求空间所加匀强电场的场强大小（用m、q、g表达）．
【模型演练6】（2021·河北省武安三中高三上学期11月期中）在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8.0J，在M点的动能为6.0J，不计空气的阻力，则（ ）
A. 从A点运动到M点电势能增加 2J
B. 小球水平位移 x1与 x2 的比值 1：4
C. 小球落到B点时的动能 24J
D. 小球从A点运动到B点的过程中动能有可能小于 6J
U-t图
v-t图
t
O
v
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
[
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/8
-3v0
5T/8
t
O
v
v0
T/3
2T/3
往返直线运动
A
B
速度反向
T
-v0
轨迹图
O
A
B
O
A
B
A
O
A
B
D
C
O
A
B
A
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
mg
qE
mg
qE
θ
mg
qE
θ
qE=mg，a=0
qE=mgtanθ，a=g/csθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
运动模型
受力分析
运动分析
规律
mg
mg
●
qE
t
O
v
t2
t1
a
g
v0
= 1 \* GB3 ①速度公式v0=gt1=at2;
速度位移公式v02=2gx1=2ax2
= 2 \* GB3 ②全程动能定理：mg(h+d)-qU=0
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE