专题19 电磁感应中的单导体棒模型-2024年新课标高中物理模型与方法

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11598" 一. 阻尼式单导体棒模型 PAGEREF _Tc11598 \h 1
\l "_Tc9812" 二．发电式单导体棒模型 PAGEREF _Tc9812 \h 6
\l "_Tc28437" 三．无外力充电式单导体棒模型 PAGEREF _Tc28437 \h 13
\l "_Tc11400" 四．无外力放电式单导体棒模型 PAGEREF _Tc11400 \h 15
\l "_Tc21371" 五．有外力充电式单导体棒模型 PAGEREF _Tc21371 \h 16
\l "_Tc3438" 六．含“源”电动式模型 PAGEREF _Tc3438 \h 23
一.阻尼式单导体棒模型
【模型如图】
1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：
3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,
4．运动特点：速度如图所示。a减小的减速运动
5．最终状态:静止
6．四个规律
(1)全过程能量关系： , QUOTE QRQr
速度为时的能量关系
电阻产生的焦耳热
(2)瞬时加速度：，
(3)电荷量
(4)动量关系：
(安培力的冲量)
安培力的冲量公式是①
闭合电路欧姆定律 ②
平均感应电动势：③
位移：④
①②③④得
【模型演练1】(多选)(2020·新疆克拉玛依三模)如图所示，在水平面上固定两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨间连接电阻为R(其余电阻不计)，导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大小为B；已知金属杆MN质量为m，与导轨接触良好．当金属杆以初速度v0向右滑动，在运动过程中( )
A．金属杆MN将做匀减速运动
B．金属杆MN的最大加速度为eq \f(B2L2v0,Rm)
C．电阻R总共产生的电热为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
D．感应电流通过金属杆的方向由M流向N
【答案】BC
【解析】 金属杆MN向右运动时切割磁感线产生感应电流，受到向左安培力而做减速运动，由a＝eq \f(F,m)＝eq \f(B2L2v,mR)可知，随速度的减小，加速度减小，则金属杆将做加速度减小的变减速运动，且开始运动时加速度最大，最大值为am＝eq \f(B2L2v0,mR)，选项A错误，B正确；整个过程中金属棒的动能转化为电热，即电阻R总共产生的电热为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，选项C正确；根据右手定则可知，感应电流通过金属杆的方向由N流向M，选项D错误；故选B、C．
【模型演练2】(多选)(2021·福建福清市线上检测)如图所示，左端接有阻值为R的定值电阻且足够长的平行光滑导轨CE、DF的间距为L，导轨固定在水平面上，且处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中，一质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直导轨放置在导轨上静止，导轨的电阻不计．某时刻给导体棒ab一个水平向右的瞬时冲量I，导体棒将向右运动，最后停下来，则此过程中( )
A．导体棒做匀减速直线运动直至停止运动
B．电阻R上产生的焦耳热为eq \f(I2,2m)
C．通过导体棒ab横截面的电荷量为eq \f(I,BL)
D．导体棒ab运动的位移为eq \f(IR＋r,B2L2)
【答案】 CD
【解析】 导体棒获得向右的瞬时初速度后切割磁感线，回路中出现感应电流，导体棒ab受到向左的安培力，向右减速运动，由eq \f(B2L2v,R＋r)＝ma，可知由于导体棒速度减小，则加速度减小，所以导体棒做的是加速度越来越小的减速运动，A错误；导体棒减少的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,m)))2＝eq \f(I2,2m)，根据能量守恒定律可得Ek＝Q总，又根据串并联电路知识可得QR＝eq \f(R,R＋r)Q总＝eq \f(I2R,2mR＋r)，B错误；根据动量定理可得－Beq \x\t(I)LΔt＝0－mv，I＝mv，q＝eq \x\t(I)Δt，可得q＝eq \f(I,BL)，C正确；
由于q＝eq \x\t(I)Δt＝eq \f(\x\t(E),R＋r)Δt＝eq \f(BLx,R＋r)
将q＝eq \f(I,BL)代入可得，导体棒ab运动的位移x＝eq \f(IR＋r,B2L2)，D正确．
【模型演练3】(多选)(2021·湖南常德市高三二模)如图所示，两条相距为L的光滑平行金属导轨位于水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的定值电阻，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．导体棒ab垂直导轨放置并接触良好，接入电路的电阻也为R.若给棒以平行导轨向右的初速度v0，当通过棒横截面的电荷量为q时，棒的速度减为零，此过程中棒发生的位移为x.则在这一过程中( )
A．导体棒做匀减速直线运动
B．当棒发生的位移为eq \f(x,2)时，通过棒横截面的电荷量为eq \f(q,2)
C．在通过棒横截面的电荷量为eq \f(q,3)时，棒运动的速度为eq \f(v0,3)
D．定值电阻R产生的热量为eq \f(BqLv0,4)
【答案】 BD
【解析】 由于导体棒向右减速运动，则感应电动势减小，感应电流减小，所以导体棒受到的安培力减小，根据牛顿第二定律可知其加速度减小，故导体棒做变减速运动，故A错误；当棒的速度减为零，发生的位移为x时，通过棒横截面的电荷量为q＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(BLx,2R)，则当棒发生的位移为eq \f(x,2)时，通过棒横截面的电荷量为eq \f(q,2)，故B正确；当棒的速度减为零时，通过棒横截面的电荷量为q＝eq \f(BLx,2R)，设这段时间回路中的平均电流为eq \x\t(I)1，由动量定理得－Beq \x\t(I)1Lt1＝0－mv0，其中q＝eq \x\t(I)1t1
当通过棒横截面的电荷量为eq \f(q,3)时，设这段时间回路中的平均电流为eq \x\t(I)2
由动量定理得－Beq \x\t(I)2Lt2＝mv1－mv0，其中eq \f(q,3)＝eq \x\t(I)2t2
解得：v1＝eq \f(2v0,3)，m＝eq \f(qBL,v0)，故C错误；
根据能量守恒可知，棒的速度减为零的过程中，定值电阻R产生的热量为：
QR＝eq \f(1,2)ΔEk＝eq \f(1,4)mv02＝eq \f(qBLv0,4)，
故D正确．
【模型演练4】(2021·浙江十校联盟联考)如图所示，两条相距d的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻．质量为m，电阻为r的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v.已知磁场扫过金属杆所经历的时间为t，导轨足够长且电阻不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
(1)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
(2)PQ刚要到达金属杆时，电阻R消耗的电功率P；
(3)磁场扫过金属杆的过程中金属杆的位移大小x.
【答案】 (1)eq \f(B2d2v0,mR＋r) (2)eq \f(B2d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0－v))2R,R＋r2) (3)v0t－eq \f(mvR＋r,B2d2)
【解析】 (1)MN刚扫过金属杆时，杆上产生的感应电动势为E＝Bdv0
感应电流为I＝eq \f(E,R＋r)
联立解得I＝eq \f(Bdv0,R＋r)
杆的加速度大小a＝eq \f(BId,m)＝eq \f(B2d2v0,mR＋r)
(2)PQ刚要到达金属杆时，杆上产生的感应电动势为E′＝Bd(v0－v)
感应电流为I′＝eq \f(E′,R＋r)
电阻R消耗的电功率P＝I′2R＝eq \f(B2d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0－v))2R,R＋r2)
(3)根据动量定理得：B eq \x\t(I)dt＝mv－0
其中q＝eq \x\t(I)t＝eq \f(\x\t(E)t,R＋r)＝eq \f(\f(ΔΦ,t)t,R＋r)＝eq \f(ΔΦ,R＋r)＝eq \f(Bdv0t－x,R＋r)
解得磁场扫过金属杆过程中金属杆的位移x＝v0t－eq \f(mvR＋r,B2d2).
【模型演练5】(2020·哈尔滨师大附中联考)如图所示，光滑、平行、电阻不计的金属导轨固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L，导轨顶端连接定值电阻R，导轨上有一质量为m、电阻不计的金属杆．整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里．现将杆从M点以v0的速度竖直向上抛出，经过时间t，到达最高点N，杆始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小为g.求t时间内：
(1)流过电阻的电荷量q；
(2)电阻上产生的电热Q.
【答案】 (1)eq \f(mv0－mgt,BL) (2)eq \f(1,2)mv02－eq \f(m2gRv0－gt,B2L2)
【解析】 (1)根据动量定理，有－mgt－eq \x\t(F)t＝0－mv0
又因为eq \x\t(F)＝BLeq \x\t(I)，q＝eq \x\t(I)t，
联立解得q＝eq \f(mv0－mgt,BL)
(2)根据eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R)＝eq \f(ΔΦ,Rt)＝eq \f(BLh,Rt)，
解得h＝eq \f(v0－gtmR,B2L2)
由能量守恒定律得Q＝eq \f(1,2)mv02－mgh
联立解得Q＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(m2gRv0－gt,B2L2).
【模型演练6】(多选)(2021·河南九师联盟质检)如图所示，一长为L＝1 m、质量为m＝1 kg的导体棒ab垂直放在固定的足够长的光滑U形导轨底端，导轨宽度和导体棒等长且接触良好，导轨平面与水平面成θ＝30°角，整个装置处在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝0.5 T．现给导体棒沿导轨向上的初速度v0＝4 m/s，经时间t0＝0.5 s，导体棒到达最高点，然后开始返回，到达底端前已做匀速运动．已知导体棒的电阻为R＝0.05 Ω，其余电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，忽略电路中感应电流之间的相互作用，则( )
A．导体棒到达导轨平面底端时，流过导体棒的电流为5 A
B．导体棒到达导轨平面底端时的速度大小为1 m/s
C．导体棒从开始运动至到达顶端的过程中，通过导体棒的电荷量为3 C
D．导体棒从开始运动到返回底端的过程中，回路中产生的电能为15 J
【答案】 BC
【解析】 导体棒到达底端前已做匀速运动，由平衡条件得：mgsin 30 °＝BIL＝eq \f(B2L2vm,R)，代入数据解得：vm＝1 m/s，选项B正确；导体棒到达导轨平面底端时，通过导体棒的电流为I＝eq \f(BLvm,R)＝eq \f(0.5×1×1,0.05) A＝10 A，选项A错误；导体棒从开始运动到到达顶端的过程中，根据动量定理：－(mgsin 30°＋B eq \x\t(I)L)t0＝0－mv0，其中eq \x\t(I)t0＝q，解得q＝3 C，选项C正确；导体棒从开始运动到返回底端的过程中，由能量守恒定律可知，回路中产生的电能Q＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mvm2＝eq \f(1,2)×1×(42－12) J＝7.5 J，选项D错误．
二．发电式单导体棒模型
【模型如图】
电路特点：导体棒相当于电源，当速度为时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大.
3．加速度特点：加速度随速度增大而减小.
4．运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动
6．两个极值(1)时,有最大加速度：
(2) 时,有最大速度：
7．稳定后的能量转化规律
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系：
(2)能量关系：
(3)电荷量
9．几种变化
(1) 电路变化
(2)磁场方向变化

(3) 导轨面变化（竖直或倾斜）

10.若的作用下使导体棒做匀加速直线运动则随时间线性变化。
证明：根据法拉第电磁感应定律
（1）
闭合电路欧姆定律
(2)
安培力F＝（3）
由（1）（2）（3）得（4）
由牛顿第二定律（5）得
由运动学公式 (6)
(5)(6)联立得(7)
由（7）式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即
【模型演练1】.(2021·云南昆明市五华区联考)如图，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，相距为L，电阻不计．轨道左侧连接一阻值为R的定值电阻．质量为m、电阻不计的导体棒ab水平放置在导轨上，ab垂直于导轨．施加大小为F的水平恒力，使ab由静止开始沿导轨运动，经过时间t，ab通过的位移为x，速度变为v，整个运动过程中ab与导轨接触良好．关于这一过程，下列说法正确的是( )
A．ab做匀加速直线运动
B．ab的动能变化量为Fx
C．ab的动量变化量为Ft
D．定值电阻上产生的焦耳热为Fx－eq \f(1,2)mv2
【答案】 D
【解析】 F大小不变，速度变化时安培力一定变化，所以ab不可能做匀加速直线运动；ab运动过程中除恒力F外还受安培力，动能和动量变化时，应该考虑合外力，B、C错误；由系统能量守恒Q＝Fx－eq \f(1,2)mv2，D项正确．
【模型演练2】(2020·四川德阳市二诊)如图所示，两根相距为L的平行直导轨水平放置，R为定值电阻，导轨电阻不计．电阻阻值也为R的金属杆MN垂直于导轨放置，杆与导轨之间有摩擦，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.t＝0时刻对金属杆施加一水平外力F，使金属杆从静止开始做匀加速直线运动．下列关于通过R的电流I、杆与导轨间因摩擦产生的热量Q、外力F、外力F的功率P随时间t变化的图象中正确的是( )
【答案】 B
【解析】 t时刻杆的速度为v＝at，金属杆产生的感应电流I＝eq \f(E,2R)＝eq \f(BLv,2R)＝eq \f(BLa,2R)t，则I∝t，故A错误．
杆与导轨间因摩擦产生的热量为Q＝Ffx＝eq \f(1,2)Ffat2，则Q∝t2，故B正确．
杆受到的安培力F安＝BIL＝eq \f(B2L2v,2R)，
根据牛顿第二定律得F－Ff－F安＝ma
得F＝eq \f(B2L2v,2R)＋Ff＋ma＝eq \f(B2L2a,2R)t＋Ff＋ma，F随t的增大而线性增大，故C错误．
外力F的功率为P＝Fv＝(eq \f(B2L2a,2R)t＋Ff＋ma)at，P－t图象应是曲线，故D错误．
【典例分析3】（多选）（2021届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练）水平放置的U形导轨足够长，置于方向竖直向上的匀强磁场中，如图所示。磁感应强度大小B=5T,导轨宽度L=0.4m,左侧与R=0.5Ω的定值电阻连接，右侧有导体棒ab跨放在导轨上，导体棒ab质量m=2.0kg,电阻r=0.5Ω,与导轨的动摩擦因数μ=0.2,其余电阻可忽略不计。导
体棒ab在大小为10N的水平外力F作用下，由静止开始运动了x=40cm时，速度达到最大，取g＝10m/s2.下列说法正确的是
A.导体棒ab加速度为零时速度最大
B.导体棒ab运动的最大速度是2.0m/s
C.当导体棒ab的速度v=1m/s时，导体棒ab的加速度是1.0m/s2
D.导体棒ab由静止达到最大速度的过程中，电阻R上产生的热量是0.15J
【答案】AC
【解析】导体棒ab垂直切割磁感线，产生的电动势大小：E＝BLv，由闭合电路的欧姆定律得：I＝eq \f(E,R＋r)，导体棒受到的安培力：FA＝BIL，当导体棒做匀速直线运动时速度最大，由平衡条件得：eq \f(B2L2vm,R＋r)＋μmg＝F，解得最大速度：vm＝1.5 m/s，故A正确，B错误。当速度为v＝1 m/s时，由牛顿第二定律得：F－eq \f(B2L2v,R＋r)－μmg＝ma，解得：a＝1 m/s2, 故C正确。在整个过程中，由能量守恒定律可得：Fx＝Q＋μmgx＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，解得：Q＝0.15 J，所以QR＝eq \f(Q,2)＝0.075 J，D错误。
【模型演练4】(2021·河南驻马店市第一学期期末)如图甲所示，间距为L＝0.5 m的两条平行金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.2 T，轨道左侧连接一定值电阻R＝1 Ω.垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，并始终与导轨接触良好．t＝0时刻，导体棒从静止开始做匀加速直线运动，力F随时间t变化的规律如图乙所示．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒和导轨的电阻均不计．取g＝10 m/s2，求：
(1)导体棒的加速度大小；
(2)导体棒的质量．
【答案】 (1)5 m/s2 (2)0.1 kg
【解析】 (1)设导体棒的质量为m，导体棒做匀加速直线运动的加速度大小为a，某时刻t，导体棒的速度为v，所受的摩擦力为Ff，则导体棒产生的电动势：E＝BLv
回路中的电流I＝eq \f(E,R)
导体棒受到的安培力：F安＝BIL
由牛顿第二定律：F－F安－Ff＝ma
由题意v＝at
联立解得：F＝eq \f(B2L2a,R)t＋ma＋Ff
根据题图乙可知，0～10 s内图象的斜率为0.05 N/s，即eq \f(B2L2a,R)＝0.05 N/s，解得a＝5 m/s2
(2)由F－t图象纵截距可知：ma＋Ff＝1.0 N
又Ff＝μmg
解得m＝0.1 kg.
【模型演练5】(2020·江苏常州市期末)如图所示，竖直固定的足够长的光滑金属导轨MN、PQ，间距L＝0.2 m，其电阻不计．完全相同的两根金属棒ab、cd垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终良好接触．已知两棒质量均为m＝0.01 kg，电阻均为R＝0.2 Ω，棒cd放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，磁感应强度B＝1.0 T．棒ab在竖直向上的恒力F作用下由静止开始向上运动，当ab棒运动位移x＝0.1 m时达到最大速度，此时cd棒对绝缘平台的压力恰好为零，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)恒力F的大小；
(2)ab棒由静止到最大速度通过ab棒的电荷量q；
(3)ab棒由静止到达最大速度过程中回路产生的焦耳热Q.
【答案】 (1)0.2 N (2)0.05 C (3)5×10－3 J
【解析】 (1)当ab棒达到最大速度时，对ab和cd的整体：
F＝2mg＝0.2 N
(2)ab棒由静止到最大速度通过ab棒的电荷量
q＝eq \x\t(I)t
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),2R)＝eq \f(\f(BLx,t),2R)
解得q＝eq \f(BLx,2R)＝eq \f(1.0×0.2×0.1,2×0.2) C＝0.05 C
(3)ab棒达到最大速度vm时，对cd棒有BIL＝mg
由闭合电路欧姆定律知I＝eq \f(E,2R)
ab棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLvm
代入数据解得 vm＝1 m/s
ab棒由静止到最大速度过程中，由能量守恒定律得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(F－mg))x＝eq \f(1,2)mvm2＋Q
代入数据解得Q＝5×10－3 J.
【模型演练6】(2021·安徽安庆市二模)如图所示，两个平行光滑金属导轨AB、CD固定在水平地面上，其间距L＝0.5 m，左端接有阻值R＝3 Ω的定值电阻．一根长度与导轨间距相等的金属杆放置于导轨上，金属杆的质量m＝0.2 kg，电阻r＝2 Ω，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小B＝4 T的匀强磁场中，t＝0时刻，在MN上加一与金属杆垂直、方向水平向右的外力F，金属杆由静止开始以a＝2 m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，2 s末撤去外力F，运动过程中金属杆与导轨始终垂直且接触良好．(不计导轨和连接导线的电阻，导轨足够长)求：
(1)1 s末外力F的大小；
(2)撤去外力F后的过程中，电阻R上产生的焦耳热．
【答案】 (1)2 N (2)0.96 J
【解析】 (1)1 s末，金属杆MN的速度大小为
v1＝at1＝2×1 m/s＝2 m/s
金属杆MN产生的感应电动势为 E＝BLv1
金属杆MN中的感应电流大小I＝eq \f(E,R＋r)
金属杆MN受到的安培力大小 F安＝BIL
联立得F安＝eq \f(B2L2v1,R＋r)＝1.6 N
根据牛顿第二定律有F－F安＝ma
可得F＝F安＋ma＝2 N
(2)2 s末，金属杆MN的速度大小为 v2＝at2＝2×2 m/s＝4 m/s
撤去外力F后的过程中，根据能量守恒定律得电路中产生的总焦耳热Q＝eq \f(1,2)mv22＝eq \f(1,2)×0.2×42 J＝1.6 J
电阻R上产生的焦耳热QR＝eq \f(R,R＋r)Q＝eq \f(3,3＋2)×1.6 J＝0.96 J.
【模型演练8】．(2020·江西上饶市月考)如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1 m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2 Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度B＝0.4 T．质量m＝0.2 kg、电阻r＝1 Ω的金属棒ab，以初速度v0从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一与棒垂直且平行于导轨平面的外力F的共同作用下做匀变速直线运动，速度—时间图象如图乙所示．设金属棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数μ＝0.25.已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.求：
(1)金属棒产生的感应电动势的最大值；
(2)当金属棒速度为向上3 m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率；
(3)金属棒在0