高中1.3 集合的基本运算练习

这是一份高中1.3 集合的基本运算练习，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．已知集合，集合 ，则集合 （ ）
A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{2，4}D．{2，3}
2．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知全集和集合，，则图中阴影部分表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，，若，则实数a满足（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5B．6C．7D．8
10．某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
三、填空题
11．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则，则下列结论不正确的个数是__________个.
（1）集合中至多有2个元素；
（2）集合中至少有4个元素；
（3）集合中有且仅有4个元素；
（4）集合中至多有4个元素.
12．已知、，若不等式的解集为，不等式的解集为，则______．
四、解答题
13．设全集，集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
14．已知全集，集合，.
(1)当时，求A∩B与A∪B；
(2)若，求实数的取值范围.
15．已知集合，.
(1)当时，求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
B能力提升
1．设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
2．全集U=R，，，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
6．设全集为，，．
(1)若，求，；
(2)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围．（若多个选择，只对第一个选择给分．）
7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人?
8．设集合，，若，则___________；___________.
C综合素养
1．规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知集合，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．56B．72C．87D．96
3．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集.（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
4．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16B．17C．18D．19
5．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．
6．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①；
②；
③整数、满足且的充要条件是；
④．
则其中正确的为___________.
1.3集合的基本运算（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．已知集合，集合 ，则集合 （ ）
A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{2，4}D．{2，3}
【答案】D
对于不等式 ，其解集为 ，即 ，
根据交集的定义： ，
故选：D.
2．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由题意，集合，，
根据集合并集的概念及运算，可得.
故选：A.
3．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为全集，集合，，
则，，故.
故选：B.
4．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：因为，所以，解得，所以，又，所以，
故选：D.
5．如图，已知全集和集合，，则图中阴影部分表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
根据图中阴影部分的元素属于集合，且属于集合，但不属于集合
对于选项，表达的是属于集合或集合，且不属于集合，故错误；
对于选项，符合阴影部分表达的含义；
对于选项，表达的是集合、、的交集，故错误；
对于选项，属于集合，但是不属于集合，故错误.
故选：
6．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由，解得，所以，
由，解得，所以，
所以.
故选：D.
7．已知集合，，若，则实数a满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为，所以，当时，，即，满足题意；
当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；
若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，
综上：实数a满足.
故选：D
8．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，
由题设有，故，
其中为方程的两个根，所以，故，
而有两个整数解，且，故进一步有，
所以，故，
故选：C
二、多选题
9．对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】CD
解：因为，，所以，
∴．
故选：CD
10．某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
【答案】BCD
设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.
故选：BCD．
三、填空题
11．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则，则下列结论不正确的个数是__________个.
（1）集合中至多有2个元素；
（2）集合中至少有4个元素；
（3）集合中有且仅有4个元素；
（4）集合中至多有4个元素.
【答案】3
因为若，则，所以，，
则；
当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，
所以集合M中至少有4个元素．
故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，
故答案为：3.
12．已知、，若不等式的解集为，不等式的解集为，则______．
【答案】或
由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，解得，
不等式即为，即，解得，则，
因为，则或，因此，或.
故答案为：或.
四、解答题
13．设全集，集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)或，故．
(2)，因为，故．
14．已知全集，集合，.
(1)当时，求A∩B与A∪B；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；(2)．
(1)当时，，而，
所以，．
(2)因为，而，所以，
当即时，，显然符合；
当时，，要，所以或，解得：．
综上，实数的取值范围为．
15．已知集合，.
(1)当时，求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题意得，集合，
当时，，
所以或，所以.
(2)由，可得，
①当时，可得，解得：；
②当时，则满足，解得：，
综上所述：实数的取值范围是.
B能力提升
1．设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】C
由题意，甲：A∩B＝A
乙：A∪B＝B
丙：
丁：
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙
故选：C
2．全集U=R，，，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：由题得，
图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
3．（多选）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
解：因为，，
所以，A正确；
，B错误；
因为，，所以，C错误；
所以，D正确.
故选：AD.
4．（多选）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
当时，，即，此时，符合题意，
当时，，即，
由可得或，
因为，所以或，可得或，
因为，所以，
所以实数的取值范围为或，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
5．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
(1)解：由已知，
所以
当时，，
所以，
(2)若，则
当时，，适合题意
故，从而
∵（当且仅当时取等号）
∴，∴
由得，解之得且
综上所述，的取值范围为
6．设全集为，，．
(1)若，求，；
(2)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围．（若多个选择，只对第一个选择给分．）
【答案】(1)；；(2)答案见解析
(1)当时，，而，
所以，；
(2)若选①，因为，．当时，
1.当时，，即，此时满足；
2.当时，满足，即需满足或
解得或
综上所述：实数的取值范围为.
若选②，因为，．当时，
1. 当时，，即，此时满足；
2. 当时，满足，即需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
若选③，因为，．当时，
需满足，解得.
综上所述：实数的取值范围为.
7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人?
【答案】 3 9
解：如图所示：
设A={游泳}，B={田径}，C={球类}，
由题意得：，
，
所以，
则，
，
所以，
所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，
故答案为：3，9
8．设集合，，若，则___________；___________.
【答案】 1 1
由题意，集合
由于，即或
故，否则
故集合或
故
解得
故答案为：1，1
C综合素养
1．规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，故②错误；
对于③：若a与b属于同一“家族”，则，，（其中），故③正确；
对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．
故选：C．
2．已知集合，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．56B．72C．87D．96
【答案】D
由题意集合，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，；的最大值与最小值的和为：.
故选：D.
3．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集.（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
【答案】D
解：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；
②，运算“”为普通加法，其单位元素为0；
③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集，
其单位元素为集合．
故选：D．
4．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
5．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．
【答案】2021
由题意得，的“长度”为2022，的“长度”为2023，
要使的“长度”最小，则，分别在的两端．
当，时，得，，
则，此时集合的“长度”为；
当，时，，，
则，此时集合的“长度”为．
故的“长度”的最小值为2021．
故答案为：
6．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①；
②；
③整数、满足且的充要条件是；
④．
则其中正确的为___________.
【答案】①④##④①
解：对于①，若，则，，
若，则，故，
若，则，故，
是的子集，
若，则或，
若，则，若，则，
，故是的子集，
，故①正确；
对于②，，而且，，故②错误；
对于③，，，而，，
整数、满足且不是的必要条件，故③错误；
对于④，若，则，
，且，，1故④正确．
故答案为：①④