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数学人教A版 (2019)1.3 集合的基本运算课时作业
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这是一份数学人教A版 (2019)1.3 集合的基本运算课时作业，共45页。试卷主要包含了设集合，，则______等内容，欢迎下载使用。
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
重点题型四：补集的基本运算
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
重点题型六：补集性质的应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点2：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点3：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点4：德摩根律
(1)
(2)
知识点5：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·江西吉安·高二期末（文））设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东深圳·高二期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知集合，，，则实数________．
5．（2022·重庆·高一期末）设集合，，则______．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
同类题型演练
1．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东·邹平市第一中学高二期中）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．（2022·湖南师大附中三模）已知集合，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例题3．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．0或1或2
例题4．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
例题5．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））设集合，，则集合中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
例题2．（2022·重庆·高一期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例题3．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知集合，集合
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
2．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，.
（1）当时，求中各元素之和；
（2）若，求实数的取值的集合.
重点题型四：补集的基本运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则_________.
例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知，，则图中阴影表示的集合是（ ）
A．B．或C．D．
同类题型演练
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集，，（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则___________.
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，求，，，．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）设为全集，，，且，求的取值范围．
例题3．（2022·江苏·扬州中学高一开学考试）已知集合.
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·青海海东·高一期末）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）已知，
（1）若时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
3．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
重点题型六：补集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·河北·唐山一中高二阶段练习）设全集，集合，集合
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
2．（2022·浙江温州·高一期末）设，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
第五部分：新 定 义 问 题
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一期中）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．的充分不必要条件是
D．的充要条件是
2．（多选）（2021·河北邢台·高一阶段练习）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数，已知有限集，设集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能是
B．若，则不可能是
C．若，则可能是
D．若，则不可能是
3．（多选）（2021·全国·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8B．128C．37D．23
4．（多选）（2021·浙江·高一期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
5．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
1.3集合的基本运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
重点题型四：补集的基本运算
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
重点题型六：补集性质的应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点2：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点3：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点4：德摩根律
(1)
(2)
知识点5：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·江西吉安·高二期末（文））设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，图中阴影部分表示的集合为．
故选：A．
2．（2022·广东深圳·高二期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意，
故选：C
3．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，所以
故选：B
4．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知集合，，，则实数________．
【答案】
由题意得或，解得，经检验，当时，
故答案为：
5．（2022·重庆·高一期末）设集合，，则______．
【答案】
解方程组，得或.
故答案为：．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题可知：
所以
故选：C
例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
,
则,
故选：A
例题3．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：因为集合，，
所以，
故选：D.
例题4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，故
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题，，故
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
则
故选：C
4．（2022·山东·邹平市第一中学高二期中）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
对于集合，
，解得：
又，，
，共个元素，
故选：C.
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．（2022·湖南师大附中三模）已知集合，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意知：2是的一个解，
所以，则，
故.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由，，
故，元素个数为3.
故选：B
例题3．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．0或1或2
【答案】C
解：，
因为，
所以a=1或2，
故选：C．
例题4．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．
(2)解：因为，所以，
①当时，，解得，符合题意；．
②当时，，解得．
故的取值范围为
例题5．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)1262)
(1)因为，，所以，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为；
(2)因为，所以，
因为，故，则，解得：，从而实数的取值范围为
同类题型演练
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））设集合，，则集合中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由解得，即，∴，
又由得，，
∴.
故选：B．
2．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
,
所以.所以中元素的个数是.
故选：A.
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)或，
(1)解：∵或，且，
∴，解得，
∴a的取值范围为；
(2)解：∵或，且，
∴，
∴或，即或，
∴a的取值范围是或.
4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)时，故.
(2)因为，故，
若即时，，符合；
若，则，解得，
综上，.
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)或，或，
所以；
(2)由得，所以，解得．
例题2．（2022·重庆·高一期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)，则或 ，
当时，，
；
(2)若，则，
，
实数a的取值范围为，即 .
例题3．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【答案】(1)(2)或.
(1)当时，.
因为，
所以.
(2)因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值集合是或.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知集合，集合
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或(2)
(1)
若集合，则且，
将代入方程可得，
解得：或；
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
所以或；
(2)若，则，所以或或或；
当时，方程无解，所以，
解得：，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个不相等的实根，
所以此时无解，
综上所述：实数的取值范围为.
2．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或(2)或
(1)当时，，
，
或
(2)，
当时，；
当时，且，解得：，
综上所述：或
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，.
（1）当时，求中各元素之和；
（2）若，求实数的取值的集合.
【答案】（1）-2；（2）.
（1），
当时，，
方程有两个不相等的实数根，，所以，
因为-1和2不是方程的根，
所以中有四个元素，各元素之和为-2；
（2）因为，所以有以下四种可能的情形：
①，则方程无解，
所以，解得；
②，则方程有两个相等的实数根，
所以，方程组无解；
（法二：）
③，则方程有两个相等的实数根，
所以，方程组无解；
（法二：）
④，则方程有两个不相等的实数根，，
所以，解得，
综上所述实数的取值的集合为.
重点题型四：补集的基本运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则_________.
【答案】
由题意，集合，
根据集合的补集的概念及运算，可得.
故答案为：.
例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知，，则图中阴影表示的集合是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，
即阴影表示的集合是，所以.
故选：D
同类题型演练
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为全集，，
所以.
故选：C
2．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，所以；
故选：B
3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
由不等式，解得，即，
根据补集的概念及运算，可得或.
故选：D.
4．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则___________.
【答案】或；
解：因为，，
所以或；
故答案为：或；
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，求，，，．
【答案】或；或；；或.
∵集合，，
∴，或；
，或；
或，；
或，或.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）设为全集，，，且，求的取值范围．
【答案】.
因为，
所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
例题3．（2022·江苏·扬州中学高一开学考试）已知集合.
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)解：若选择①:当时，，
因为，所以.
若选择②:当时，，
因为，所以.
若选择③:当时，，
因为，所以.
(2)解：因为，
所以.
因为，所以，
当时，；
当时，，
即；
综上，.
同类题型演练
1．（2022·青海海东·高一期末）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题意得，或，
，故.
(2)当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为．
2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）已知，
（1）若时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
（1）当时，，则
即．
（2）或，由，可分以下两种情况：
①当时，，解得：
②当时，利用数轴表示集合，如图
由图可知或，解得；
综上所述，实数m的取值范围是：或，
即或
3．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【答案】(1)；(2)条件选择见解析，.
(1)解不等式得：，则有，
当时，，或，
所以.
(2)选条件①，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
选条件②，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
选条件③：，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
重点题型六：补集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
全集,
又因为，所以,而
所以阴影部分表示的集合是即为，
故选：B.
例题2．（2022·河北·唐山一中高二阶段练习）设全集，集合，集合
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)；当时，；
，，
.
(2)，，
当时，满足；此时，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或（2）
（1）或，即或
当，即时，，此时不成立，舍去
当，即时，方程的两根为，
若使得成立，则需或，
即或，解得.
则成立时，或
综上所述：或.
（2）即
由（1）可知或，则，
当，即时，成立
当，即时，，若使得成立，
则需满足，即，解得（舍去）
综上所述.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
，，
由图知：阴影部分为，而，，
∴或，即或，
故选：C
2．（2022·浙江温州·高一期末）设，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)当时，，
所以.
(2)集合，所以.
可化为.
因为，
所以且.
①若，则，显然，应舍去；
②若，则，显然，应舍去；
③若，则.
又，所以
因为，所以，解得：.
综上所述：a的取值范围是.
第五部分：新 定 义 问 题
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一期中）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．的充分不必要条件是
D．的充要条件是
【答案】A
对于A项，，则集合A与集合B没有公共元素，正确；
对于B项，，则集合A中的元素都是集合B中的元素，为的必要不充分条件，错误；
对于C项，为既不充分也不必要条件，错误；
对于D项，，则集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．
故选：A．
2．（多选）（2021·河北邢台·高一阶段练习）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数，已知有限集，设集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能是
B．若，则不可能是
C．若，则可能是
D．若，则不可能是
【答案】AC
解：由题意可知，若不出现重复元素，则当时， 若，则，，从而，故A正确；
若，则，，从而，故B错误；
若不出现重复元素，则当时，若，则，，从而，故C错误；
若，则，，从而，故D错误.
故选：AC.
3．（多选）（2021·全国·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8B．128C．37D．23
【答案】BD
对于A，因，则，选项A错误；
对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；
对于C，因，则，选项C错误；
对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.
故选：BD
4．（多选）（2021·浙江·高一期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
【答案】ABD
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
5．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)能；
(1)全集U中
，
当时，或，此时或；
当时，，此时，所以，
由A中，
当时，，此时，即；
(2)因为，当时，或，
当时，方程无实根，，解得；
时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在；
综上知，实数m的取值范围是．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
3．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，故，
故选：D
4．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
5．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意，，所以,
所以.
故选：D.
6．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，故，
故选：B.
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
重点题型四：补集的基本运算
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
重点题型六：补集性质的应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点2：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点3：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点4：德摩根律
(1)
(2)
知识点5：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·江西吉安·高二期末（文））设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东深圳·高二期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知集合，，，则实数________．
5．（2022·重庆·高一期末）设集合，，则______．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
同类题型演练
1．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东·邹平市第一中学高二期中）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．（2022·湖南师大附中三模）已知集合，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例题3．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．0或1或2
例题4．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
例题5．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））设集合，，则集合中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
例题2．（2022·重庆·高一期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例题3．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知集合，集合
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
2．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，.
（1）当时，求中各元素之和；
（2）若，求实数的取值的集合.
重点题型四：补集的基本运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则_________.
例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知，，则图中阴影表示的集合是（ ）
A．B．或C．D．
同类题型演练
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集，，（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则___________.
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，求，，，．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）设为全集，，，且，求的取值范围．
例题3．（2022·江苏·扬州中学高一开学考试）已知集合.
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·青海海东·高一期末）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）已知，
（1）若时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
3．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
重点题型六：补集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·河北·唐山一中高二阶段练习）设全集，集合，集合
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
2．（2022·浙江温州·高一期末）设，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
第五部分：新 定 义 问 题
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一期中）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．的充分不必要条件是
D．的充要条件是
2．（多选）（2021·河北邢台·高一阶段练习）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数，已知有限集，设集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能是
B．若，则不可能是
C．若，则可能是
D．若，则不可能是
3．（多选）（2021·全国·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8B．128C．37D．23
4．（多选）（2021·浙江·高一期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
5．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
1.3集合的基本运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
重点题型四：补集的基本运算
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
重点题型六：补集性质的应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点2：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点3：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点4：德摩根律
(1)
(2)
知识点5：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·江西吉安·高二期末（文））设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，图中阴影部分表示的集合为．
故选：A．
2．（2022·广东深圳·高二期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意，
故选：C
3．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，所以
故选：B
4．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知集合，，，则实数________．
【答案】
由题意得或，解得，经检验，当时，
故答案为：
5．（2022·重庆·高一期末）设集合，，则______．
【答案】
解方程组，得或.
故答案为：．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题可知：
所以
故选：C
例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
,
则,
故选：A
例题3．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：因为集合，，
所以，
故选：D.
例题4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，故
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题，，故
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
则
故选：C
4．（2022·山东·邹平市第一中学高二期中）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
对于集合，
，解得：
又，，
，共个元素，
故选：C.
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．（2022·湖南师大附中三模）已知集合，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意知：2是的一个解，
所以，则，
故.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由，，
故，元素个数为3.
故选：B
例题3．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．0或1或2
【答案】C
解：，
因为，
所以a=1或2，
故选：C．
例题4．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．
(2)解：因为，所以，
①当时，，解得，符合题意；．
②当时，，解得．
故的取值范围为
例题5．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)1262)
(1)因为，，所以，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为；
(2)因为，所以，
因为，故，则，解得：，从而实数的取值范围为
同类题型演练
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））设集合，，则集合中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由解得，即，∴，
又由得，，
∴.
故选：B．
2．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
,
所以.所以中元素的个数是.
故选：A.
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)或，
(1)解：∵或，且，
∴，解得，
∴a的取值范围为；
(2)解：∵或，且，
∴，
∴或，即或，
∴a的取值范围是或.
4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)时，故.
(2)因为，故，
若即时，，符合；
若，则，解得，
综上，.
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)或，或，
所以；
(2)由得，所以，解得．
例题2．（2022·重庆·高一期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)，则或 ，
当时，，
；
(2)若，则，
，
实数a的取值范围为，即 .
例题3．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【答案】(1)(2)或.
(1)当时，.
因为，
所以.
(2)因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值集合是或.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知集合，集合
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或(2)
(1)
若集合，则且，
将代入方程可得，
解得：或；
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
所以或；
(2)若，则，所以或或或；
当时，方程无解，所以，
解得：，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个不相等的实根，
所以此时无解，
综上所述：实数的取值范围为.
2．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或(2)或
(1)当时，，
，
或
(2)，
当时，；
当时，且，解得：，
综上所述：或
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，.
（1）当时，求中各元素之和；
（2）若，求实数的取值的集合.
【答案】（1）-2；（2）.
（1），
当时，，
方程有两个不相等的实数根，，所以，
因为-1和2不是方程的根，
所以中有四个元素，各元素之和为-2；
（2）因为，所以有以下四种可能的情形：
①，则方程无解，
所以，解得；
②，则方程有两个相等的实数根，
所以，方程组无解；
（法二：）
③，则方程有两个相等的实数根，
所以，方程组无解；
（法二：）
④，则方程有两个不相等的实数根，，
所以，解得，
综上所述实数的取值的集合为.
重点题型四：补集的基本运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则_________.
【答案】
由题意，集合，
根据集合的补集的概念及运算，可得.
故答案为：.
例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知，，则图中阴影表示的集合是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，
即阴影表示的集合是，所以.
故选：D
同类题型演练
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为全集，，
所以.
故选：C
2．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，所以；
故选：B
3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
由不等式，解得，即，
根据补集的概念及运算，可得或.
故选：D.
4．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则___________.
【答案】或；
解：因为，，
所以或；
故答案为：或；
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，求，，，．
【答案】或；或；；或.
∵集合，，
∴，或；
，或；
或，；
或，或.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）设为全集，，，且，求的取值范围．
【答案】.
因为，
所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
例题3．（2022·江苏·扬州中学高一开学考试）已知集合.
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)解：若选择①:当时，，
因为，所以.
若选择②:当时，，
因为，所以.
若选择③:当时，，
因为，所以.
(2)解：因为，
所以.
因为，所以，
当时，；
当时，，
即；
综上，.
同类题型演练
1．（2022·青海海东·高一期末）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题意得，或，
，故.
(2)当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为．
2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）已知，
（1）若时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
（1）当时，，则
即．
（2）或，由，可分以下两种情况：
①当时，，解得：
②当时，利用数轴表示集合，如图
由图可知或，解得；
综上所述，实数m的取值范围是：或，
即或
3．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【答案】(1)；(2)条件选择见解析，.
(1)解不等式得：，则有，
当时，，或，
所以.
(2)选条件①，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
选条件②，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
选条件③：，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
重点题型六：补集性质的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
全集,
又因为，所以,而
所以阴影部分表示的集合是即为，
故选：B.
例题2．（2022·河北·唐山一中高二阶段练习）设全集，集合，集合
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)；当时，；
，，
.
(2)，，
当时，满足；此时，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或（2）
（1）或，即或
当，即时，，此时不成立，舍去
当，即时，方程的两根为，
若使得成立，则需或，
即或，解得.
则成立时，或
综上所述：或.
（2）即
由（1）可知或，则，
当，即时，成立
当，即时，，若使得成立，
则需满足，即，解得（舍去）
综上所述.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
，，
由图知：阴影部分为，而，，
∴或，即或，
故选：C
2．（2022·浙江温州·高一期末）设，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)当时，，
所以.
(2)集合，所以.
可化为.
因为，
所以且.
①若，则，显然，应舍去；
②若，则，显然，应舍去；
③若，则.
又，所以
因为，所以，解得：.
综上所述：a的取值范围是.
第五部分：新 定 义 问 题
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一期中）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．的充分不必要条件是
D．的充要条件是
【答案】A
对于A项，，则集合A与集合B没有公共元素，正确；
对于B项，，则集合A中的元素都是集合B中的元素，为的必要不充分条件，错误；
对于C项，为既不充分也不必要条件，错误；
对于D项，，则集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．
故选：A．
2．（多选）（2021·河北邢台·高一阶段练习）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数，已知有限集，设集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能是
B．若，则不可能是
C．若，则可能是
D．若，则不可能是
【答案】AC
解：由题意可知，若不出现重复元素，则当时， 若，则，，从而，故A正确；
若，则，，从而，故B错误；
若不出现重复元素，则当时，若，则，，从而，故C错误；
若，则，，从而，故D错误.
故选：AC.
3．（多选）（2021·全国·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8B．128C．37D．23
【答案】BD
对于A，因，则，选项A错误；
对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；
对于C，因，则，选项C错误；
对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.
故选：BD
4．（多选）（2021·浙江·高一期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
【答案】ABD
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
5．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)能；
(1)全集U中
，
当时，或，此时或；
当时，，此时，所以，
由A中，
当时，，此时，即；
(2)因为，当时，或，
当时，方程无实根，，解得；
时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在；
综上知，实数m的取值范围是．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
3．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，故，
故选：D
4．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
5．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意，，所以,
所以.
故选：D.
6．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，故，
故选：B.
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