（人教A版2019选择性必修第一册）高二数学上学期同步精品课堂 综合检测卷（知识达标卷）（含解析）

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综合检测卷（知识达标卷）一、单选题1．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ）A． B． C． D．2．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（ ）A． B．C． D．3．方程表示的曲线为（ ）A．两条线段 B．一条直线和半个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )A． B． C． D．5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）A．16 B．18 C．21 D．266．已知圆，，则两圆的位置关系（ ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切7．已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ）A．点的轨迹是圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值8．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A． B． C． D．二、多选题9．(多选)下列说法中正确的是（ ）A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α10．直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（　　）A． B．C． D．11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则B．已知向量，不共线，若，，则，，共面C．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底D．已知空间两点，，若向量，且，则12．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”，则下列命题正确的有（ ）A．若是“黄金椭圆，则B．若焦距为4，且点A在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为C．若是黄金双曲线的左焦点，C是右顶点，则D．若是黄金双曲线的弦，离心率为e，M是的中点，若和的斜率均存在，则三、填空题13．已知向量，，，且，则______．14．若，则的最小值是___________.15．已知，为双曲线上关于原点对称的两点，在第一象限，点与点关于轴对称，，直线交双曲线右支于点，若，则___________.16．如图，四面体的每条棱的长都等于，点分别为棱的中点，则______，______，与所成的角为______．四、解答题17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.18．1.在三棱锥中，为正三角形，平面平面，，．（1）求证：；（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．19．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．20．已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，且与直线l：3x+4y-28=0相切于点P（4，4）（1）求圆C的方程；（2）求过点P（4，4），且截圆C所得弦AB的长为8的直线方程.21．已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.22．已知是抛物线的焦点，点是抛物线上横坐标为2的点，且．（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于两点，若，且弦的中点在圆上，求实数的取值范围．参考答案1．C【分析】根据方向向量的坐标求出对应的模，利用空间向量的数量积即可求出两条异面直线所成的角.【详解】∵两条异面直线的方向向量分别是，，，又两条异面所成的角为，则，故选C.2．A【分析】由题意结合图形，直接利用，即可求解.【详解】因为空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，所以，所以.故选：A3．C【分析】求出的范围，根据，的意义求解即可.【详解】由，解得.因为，所以或.故表示一条线段.因为，所以，，即表示以原点为圆心的半个圆故选：C4．A【分析】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出．【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马 ”的最短总路程，设，则，解得，则故“将军饮马”的最短总路程为故选：A5．D【分析】根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.【详解】∵，，∴，∴，∴的周长为．故选：D6．D【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆心距与半径和与差的关系判断即可.【详解】解：圆即，圆心坐标为，半径为即，圆心坐标为，半径为所以两圆的圆心距为，半径之差为所以圆心距与半径差相等所以两圆内切故选：D.7．C【分析】利用两点的距离公式及点到直线的距离公式将已知几何条件用坐标表示，化简求出轨迹方程，然后判断选项的正误即可．【详解】解：点，，动点到直线的距离为，，设动点的坐标为，可得：，化简得点的轨迹方程为，所以的轨迹是椭圆，所以A错误，C正确；离心率为：，所以B不正确；△的周长为定值：，所以D不正确；故选：C．8．A【分析】求出抛物线的焦点的坐标，分析可知点到点的距离与点到准线的距离之和等于点到点的距离与点到点的距离之和，利用当点为线段与抛物线的交点时，即、、三点共线时取取最小值可得结果.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如下图所示，由抛物线的定义知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，因此点到点的距离与点到准线的距离之和等于点到点的距离与点到点的距离之和，其最小值为点到点的距离（当点为线段与抛物线的交点时，即、、三点共线时），最小值为．故选：A.9．ABC【分析】由倾斜角和斜率的定义即可判断答案.【详解】由直线的倾斜角与斜率的概念，可知A，B，C均正确；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D说法不正确．故选：ABC.10．BC【分析】由题意利用直线的斜率和直线在y轴上的截距，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：直线l1：ax﹣y+b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，在y轴上的截距为a，A中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A；B中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a大于零，直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，满足题意；C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意；D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a 小于零，矛盾，故排除D，故选：BC.11．AB【分析】对于A. 由向量共面的判定方法直接判断；对于B. 由向量共面的判定方法直接判断；对于C. 按照基底的定义直接判断；对于D. 计算出，即可判断.【详解】对于A. 根据向量共面的判定方法，只需，解得：.故A正确；对于B. 因为已知向量，不共线，且，，，所以，所以，，共面.故B正确；对于C. 按照基底的定义，不共面的三个向量才能作为基底，因为，所以不存在向量可以与，构成空间的一个基底.故C错误；对于D. 因为空间两点，，所以又向量，且，所以.故D错误故选：AB12．BCD【分析】对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，所以应有两个值；对B：由题意，根据黄金椭圆的性质可得的值，由椭圆的定义即可求出的周长；对C：根据双曲线为黄金双曲线，可得，从而可得，，，从而可得，即可判断；对D：设，，，，，，由点差法求出直线的斜率，从而可求出斜率之积，再由“黄金双曲线”的离心率的值即可求解．【详解】解：对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，所以应有两个值，故选项A错误；对B：由题意，则，所以，则的周长为，所以选项B正确；对C：由题意，，，因为双曲线为黄金双曲线，则，所以，所以，所以，，，所以，所以，所以选项C正确；对D：设，，，，，，则，两式相减得，是的中点，且，，，从而，所以，所以选项D正确；故选：BCD.13．【分析】求出的坐标，再由模长的坐标表示列方程可得的值.【详解】因为向量，，所以，，整理可得：，可得：或（舍），故答案为：.14．【分析】将问题转化为点到点和点的距离之和的最小值的求解问题，作出关于轴的对称点，则所求最小值即为点和点之间的距离.【详解】，表示点到点和点的距离之和，关于轴的对称点为，在轴上任取一点，则（当且仅当为线段与轴交点时取等号），的最小值为.故答案为：.15．【分析】设利用点差法得到，即可求出离心率；【详解】解：设，则．由，得，从而有，又，所以，又由，从而得到所以，所以．故答案为：16． ##【分析】利用向量线性运算可知；根据，结合向量数量积的运算律可求得，由此可得；根据可证得，由此可得结果.【详解】，；分别为的中点，平行且相等，，又，，；，，，与所成的角为.故答案为：；；.17．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求得后，结合勾股定理可证得，利用面面垂直性质可证得平面，从而得到，利用线面垂直的判定可证得结论；（2）作于点，作，交于，由面面垂直的性质可得到平面，可确定直线与平面所成的角为，由此可确定为中点，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.（1）在中，由余弦定理得：，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，平面，平面；（2）作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，即为直线与平面所成的角，，又，为等腰直角三角形，为中点，过作，交于，则为中点，，则两两互相垂直，则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，平面，是平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，由图形可知，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.18．（1）证明见解析（2）【分析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，进而证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量线面角公式求得答案.（1）设为的中点，连接OD，，，平面平面且交于AC，底面，进而得，又，而，平面，进而得.（2）设中点为，连接OF，而O为AC的中点，，，，由（1）知、、两两垂直，以、、为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系.则，，，，是的中点，，设平面的法向量为，，，，不妨取，则，，设所求线面角为，.故直线CD与平面ABF所成角的正弦值为.19．（1）（2）或【分析】（1）利用两点式求得边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，根据面积以及点A在直线上列方程组，解方程组求得A点的坐标.（1）解：由、得边所在直线方程为，即，故边所在直线的方程为.（2）解：因为A到边所在直线的距离为，又，所以，所以，所以，则或，由于A在直线上，故或，解得或，所以或.20．（1）（2）或【分析】（1）先得到过点且与直线：垂直的直线方程，与联立求得圆心即可；(2)由弦长得圆心到直线的距离，设直线方程利用点到直线的距离公式求解即可（1）过点与直线：垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得.所以.故圆的方程为：.（2）过点P（4，4），且截圆C所得弦AB的长为8，则圆心到直线的距离 当直线斜率不存在，则直线方程为符合题意当直线斜率存在，设直线方程为 解得此时直线方程为 故所求直线方程为或21．（1）；（2）.【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为，上顶点为， 可得，可求椭圆标准方程． （2）设，直线的方程为，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到，又，求得的最大值，即可得结果.（1）椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，椭圆的右焦点为，上顶点为， 故，∴所求椭圆标准方程为．（2）设，直线的方程为联立得：，，即，,，令，函数在上为增函数，故当，即时，，此时三角形的面积取得最大值为.22．（1）（2）【分析】（1）根据抛物线的定义，将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，进而求得答案；（2）设出直线l，并代入抛物线方程化简，通过根与系数的关系得到和线段的中点公式，进而将中点坐标代入圆的方程，然后将所得式子化简，最后通过函数求值域的方法求得答案.（1）抛物线的渐近线为，由抛物线的定义可知，，则抛物线的方程为：．（2）设直线的方程为，，．将直线的方程与抛物线的方程联立，得，于是，，，且，化简得①．设弦的中点为，则，将点的坐标代入圆的方程，得，且，由①代入消元，消去，得．令，则，于是，解得或．若当时，由对勾函数性质可知，函数在上单调递增，所以随单调递增（增+增），故．若当时，令，则．因为，所以，即单调递减，故.综上所述，实数的取值范围为．【点睛】的下一步进行换元，可以简化式子，这一步的处理非常重要；然后解得或之后的处理一定要注意，如果通过不等式不好处理，那么一定要从函数的角度来处理范围问题．