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拓展三:圆锥曲线的方程(弦长问题)(精讲)第一部分:知识点精准记忆第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数重点题型三:抛物线的焦点弦重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题第一部分:知 识 点 精 准 记 忆知识点一:弦长公式 (最常用公式,使用频率最高) 知识点二:基本不等式(当且仅当时等号成立)第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长典型例题例题1.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))已知椭圆:的离心率为,为过椭圆右焦点的一条弦,且长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程.(2)若斜率为1的直线与椭圆交于,两点,点,直线的斜率为,求线段的长度. 例题2.(2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试(理))设椭圆的离心率,过点A.(1)求椭圆的方程;(2)求椭圆被直线截得的弦长.例题3.(2022·贵州黔西·高二期末(理))已知双曲线的焦点在轴上,对称中心为坐标原点,焦距为,且过点.(1)求的方程;(2)若斜率为2的直线与交于,两点.且,求.例题4.(2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习(文))已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.(1)求双曲线的方程;(2)若直线:与双曲线交于,两点,求弦长.同类题型归类练1.(2022·四川省资中县第二中学高二阶段练习(理))已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为,点是轴上的一点,过点的直线与椭圆交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)若的面积是面积的两倍,且直线与圆:相切于点,求的长.2.(2022·陕西宝鸡·一模(文))椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交于,两点,且,求.3.(2022·河北·衡水市第二中学高二期中)(1)已知A,两点的坐标分别是,,直线,相交于点,且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程,并判断轨迹的形状:(2)已知过双曲线上的右焦点,倾斜角为 的直线交双曲线于A,两点,求.4.(2022·广东广州·高二期末)已知曲线:.(1)若曲线是双曲线,求的取值范围;(2)设,已知过曲线的右焦点,倾斜角为的直线交曲线于A,B两点,求.重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数典型例题例题1.(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆:的离心率为且经过点1),直线经过且与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)当求此时直线的方程;例题2.(2022·全国·高一)椭圆C的方程为,右焦点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与圆相切,与椭圆交于两点,且,求直线的方程.例题3.(2022·江苏镇江·高二开学考试)在平面直角坐标系中,双曲线的对称轴都是坐标轴,且过点,到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线的方程;(2)如果双曲线的焦点在轴上,直线l经过双曲线的右焦点,与双曲线交于,两点,且,求直线的方程.例题4.(2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末)已知双曲线,直线与交于、两点.(1)若点是双曲线的一个焦点,求的渐近线方程;(2)若点的坐标为,直线的斜率等于1,且,求双曲线的离心率.同类题型归类练1.(2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测)已知,是椭圆:的左、右焦点,动点在椭圆上,且的最大值为3,离心率为.(1)求椭圆的标准方程:(2)动点在抛物线:上,过点作椭圆的两条切线分别交直线于,两点.当时,求点的坐标.2.(2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模(理))在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设是曲线的左焦点,过点的直线与曲线相交于,两点,过,分别作直线的垂线与轴相交于,两点.若,求此时直线的斜率.3.(2022·全国·高二课时练习)已知双曲线的实轴长为,一个焦点的坐标为.(1)求双曲线的方程;(2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点,且,求直线的方程.4.(2021·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习)已知双曲线:离心率为2,且过点.(1)求的方程:(2)若斜率为的直线l与交于P,Q两点,面积为,求直线方程.重点题型三:抛物线的焦点弦典型例题例题1.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于、两点,且向量是直线的一个法向量.(1)求直线的方程及抛物线准线方程;(2)求线段的长.例题2.(2022·江苏省镇江第一中学高二期末)已知抛物线的焦点是,斜率为的直线经过且与抛物线相交于、两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段的长.同类题型归类练1.(2022·江苏·高二)已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点,若,求弦长.2.(2022·江苏·高二)已知抛物线过点.(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,求线段的长度.3.(2022·全国·高二课时练习)经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M,N两点,求的取值范围.4.(2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习(文))已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l过抛物线C的焦点F,l与抛物线C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题典型例题例题1.(2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习(理))已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点,且,求直线的方程.例题2.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线(为常数,)的焦点与椭圆的右焦点重合,过点的直线与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)若直线的斜率为,求.例题3.(2022·内蒙古赤峰·高二期末)已知动圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程;(2)已知直线交轨迹于两点,,且中点的纵坐标为,则的最大值为多少?同类题型归类练1.(2022·安徽·高二开学考试)已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切,求实数的值;(2)若直线与抛物线相交于、两点,且,求直线的方程.2.(2022·吉林辽源·高二期末)已知抛物线的焦点为F,第四象限的一点在C上,且.(1)求C的方程和m的值;(2)若直线l交C于A,B两点,且线段AB中点的坐标为,求直线l的方程及线段AB的长.3.(2022·全国·高二课时练习)已知直线与抛物线相交于A,B两点,且O为坐标原点.(1)求弦长以及线段的中点坐标;(2)判断是否成立,并说明理由.拓展三:圆锥曲线的方程(弦长问题)(精讲)第一部分:知识点精准记忆第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数重点题型三:抛物线的焦点弦重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题第一部分:知 识 点 精 准 记 忆知识点一:弦长公式 (最常用公式,使用频率最高) 知识点二:基本不等式(当且仅当时等号成立)第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长典型例题例题1.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))已知椭圆:的离心率为,为过椭圆右焦点的一条弦,且长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程.(2)若斜率为1的直线与椭圆交于,两点,点,直线的斜率为,求线段的长度.【答案】(1)(2)(1)因为椭圆的离心率为,过椭圆右焦点的弦长的最小值为,所以,,,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程得,则,因为点,所以点坐标为,所以可得直线的方程为,即.联立直线与椭圆的方程,消去得,解得,,所以.例题2.(2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试(理))设椭圆的离心率,过点A.(1)求椭圆的方程;(2)求椭圆被直线截得的弦长.【答案】(1)(2)(1)因为点A在椭圆上,且离心率为,所以,解得,故椭圆方程为(2)记直线与椭圆交于P、Q两点,其坐标分别为,将代入,得,整理得,则,由弦长公式得例题3.(2022·贵州黔西·高二期末(理))已知双曲线的焦点在轴上,对称中心为坐标原点,焦距为,且过点.(1)求的方程;(2)若斜率为2的直线与交于,两点.且,求.【答案】(1) ;(2).(1)由已知,设焦点坐标为,则,又,解得,故双曲线的方程为:;(2)设直线,与双曲线的方程联立可得:设,则,,,,,解得,因此.例题4.(2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习(文))已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.(1)求双曲线的方程;(2)若直线:与双曲线交于,两点,求弦长.【答案】(1)y2=1(2)2(1)由已知得a,c=2,再由c2=a2+b2,得b2=1,所以双曲线C的方程为y2=1.(2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15=0,解得x=﹣3±, ,∴|AB|2.同类题型归类练1.(2022·四川省资中县第二中学高二阶段练习(理))已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为,点是轴上的一点,过点的直线与椭圆交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)若的面积是面积的两倍,且直线与圆:相切于点,求的长.【答案】(1)(2)(1)由题意知解得:,,所以椭圆的方程为.(2)设,直线:,,,因为得,有,由,由韦达定理得,,由,,则,,化简.原点到直线的距离,又直线与圆:相切,所以,即,,即,解得,此时,满足,此时,在中,,所以的长为2.(2022·陕西宝鸡·一模(文))椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交于,两点,且,求.【答案】(1)(2)(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形,,椭圆过点,,又,解得:,椭圆的方程为:;(2),设, 联立方程得:,,,,,,,;3.(2022·河北·衡水市第二中学高二期中)(1)已知A,两点的坐标分别是,,直线,相交于点,且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程,并判断轨迹的形状:(2)已知过双曲线上的右焦点,倾斜角为 的直线交双曲线于A,两点,求.【答案】(1)轨迹方程为,轨迹为焦点在轴上的双曲线,不含左右顶点;(2).(1)设,因为,,所以,整理得,故点的轨迹方程为,轨迹为焦点在轴上的双曲线,不含左右顶点.(2)由得,,,所以,即,所以右焦点,因为直线的倾斜角是,且直线经过右焦点,所以直线的方程为,由可得:,所以,,所以.4.(2022·广东广州·高二期末)已知曲线:.(1)若曲线是双曲线,求的取值范围;(2)设,已知过曲线的右焦点,倾斜角为的直线交曲线于A,B两点,求.【答案】(1)(2)(1)要使曲线:为双曲线,只需,解得:,即的取值范围.(2)当m=0时,曲线C的方程为,可得,所以右焦点,由题意可得直线l的方程为:.设,联立整理可得:,可得:所以弦长,所以重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数典型例题例题1.(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆:的离心率为且经过点1),直线经过且与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)当求此时直线的方程;【答案】(1);(2)或为.(1),,即,,又经过点1),,解得,所以椭圆方程为.(2)当直线的斜率不存在时,即直线的方程,此时,直线的斜率存在,不妨设直线的方程为,设,联立方程组可得消可得,其判别式,, ,整理可得,解得即此时直线方程为或为.例题2.(2022·全国·高一)椭圆C的方程为,右焦点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与圆相切,与椭圆交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)或(1)由椭圆C的方程为,右焦点为,离心率为,可得半焦距且,解得,又由,所以椭圆方程为.(2)由(1)得,圆的方程为,设,当直线的斜率不存在时,,不合题意; 当直线的斜率存在时,设直线,由直线与曲线相切可得,所以,联立方程组,可得,所以,,所以, 解得或,所以直线或.例题3.(2022·江苏镇江·高二开学考试)在平面直角坐标系中,双曲线的对称轴都是坐标轴,且过点,到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线的方程;(2)如果双曲线的焦点在轴上,直线l经过双曲线的右焦点,与双曲线交于,两点,且,求直线的方程.【答案】(1)或(2)或或(1)因为双曲线C的对称轴都是坐标轴,则C的对称中心是坐标原点.所以C的方程为标准方程.因为C过点,P到C两焦点距离的差的绝对值等于2,①若C的焦点在x轴上,设,所以解得所以双曲线C的方程为.②若C的焦点在y轴上,设,所以解得所以双曲线C的方程为.故C的方程为或(2)由(1)知C的方程为.所以C的右焦点为.①若直线l的斜率不存在,则其方程为,代入C方程得l与C交点坐标为,,则弦长为6,符合题意.②若直线l的斜率存在,设,联立消去y得.所以①,②,设,,则,,所以.解得,满足①②.所以直线l的方程为,或.综上:直线l的方程为,或,或.例题4.(2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末)已知双曲线,直线与交于、两点.(1)若点是双曲线的一个焦点,求的渐近线方程;(2)若点的坐标为,直线的斜率等于1,且,求双曲线的离心率.【答案】(1)(2)或(1)∵点是双曲线的一个焦点,∴,又∵且,解得,∴双曲线方程为,∴的渐近线方程为:;(2)设直线的方程为,且,,联立,可得,则,∴,即,∴,解得或,即由可得或,故双曲线的离心率或.同类题型归类练1.(2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测)已知,是椭圆:的左、右焦点,动点在椭圆上,且的最大值为3,离心率为.(1)求椭圆的标准方程:(2)动点在抛物线:上,过点作椭圆的两条切线分别交直线于,两点.当时,求点的坐标.【答案】(1);(2).(1)设椭圆半焦距为c,依题意有,解得,,,所以椭圆方程为;(2)设,,,过点的椭圆切线斜率为k,此切线方程为,由,得,由得到,可得,切线MA,MB的斜率分别为k1,k2,所以,,显然,,则,而,所以,解得,所以点的坐标为.2.(2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模(理))在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设是曲线的左焦点,过点的直线与曲线相交于,两点,过,分别作直线的垂线与轴相交于,两点.若,求此时直线的斜率.【答案】(1);(2).(1)设,则,所以可得动点P的轨迹C的方程为(2)可得,设直线l的方程为,联立可得所以因为过A,B分别作直线l的垂线与x轴相交于M,N两点所以所以直线的方程为,令可得,同理可得所以所以解得,所以3.(2022·全国·高二课时练习)已知双曲线的实轴长为,一个焦点的坐标为.(1)求双曲线的方程;(2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1);(2)或.(1)由,得,又,∴,∴双曲线的方程为.(2)设直线的方程为,,由,得,∴,得,∴弦长,解得,∴直线的方程为或.4.(2021·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习)已知双曲线:离心率为2,且过点.(1)求的方程:(2)若斜率为的直线l与交于P,Q两点,面积为,求直线方程.【答案】(1);(2)或.(1)解:因为双曲线离心率为2,则,所以①,又点在上,则②,由①②可得,,,所以双曲线的方程为.(2)解:设直线方程为,联立得,所以,因为,点到直线的距离,所以.所以直线的方程为或.重点题型三:抛物线的焦点弦典型例题例题1.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于、两点,且向量是直线的一个法向量.(1)求直线的方程及抛物线准线方程;(2)求线段的长.【答案】(1)准线方程为,直线方程为;(2)5.(1)抛物线方程为,即,,因此焦点为,准线方程为,因为向量是直线l的一个法向量,所以直线方程为,即;(2)设.由得,则,所以.例题2.(2022·江苏省镇江第一中学高二期末)已知抛物线的焦点是,斜率为的直线经过且与抛物线相交于、两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段的长.【答案】(1)抛物线的方程为,其准线方程为,(2)(1)解:由焦点,得,解得.所以抛物线的方程为,其准线方程为,(2)解:设,,,.直线的方程为. 与抛物线方程联立,得, 消去,整理得, 由抛物线的定义可知,.所以线段的长为.同类题型归类练1.(2022·江苏·高二)已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点,若,求弦长.【答案】8设抛物线的焦点为,准线为,则,过作,垂足为,过作,垂足为,由抛物线的定义知:.2.(2022·江苏·高二)已知抛物线过点.(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,求线段的长度.【答案】(1)抛物线,准线:.(2)(1)过点,,解得:,抛物线,准线方程为:(2)由(1)知:抛物线焦点为,设直线,,,由得:,,.3.(2022·全国·高二课时练习)经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M,N两点,求的取值范围.【答案】.由题可知抛物线的焦点坐标为,当直线斜率不存在时,令得:,所以,当直线斜率存在时,设直线方程为,,联立 得:, 设,则,,综上,的取值范围为.4.(2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习(文))已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l过抛物线C的焦点F,l与抛物线C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.【答案】(1)(2)或(1)根据抛物线的定义得,解得:,所以抛物线方程是(2)抛物线的焦点,直线的斜率不可能为0,设直线:,与抛物线方程联立得,设,则,,解得:,所以直线的方程是或.重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题典型例题例题1.(2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习(理))已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)或(1)设抛物线,抛物线的焦点到准线的距离为,,抛物线的标准方程为:;(2)由(1)得:,设直线,,,由得:,则,,解得:,直线方程为:或,即或.例题2.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线(为常数,)的焦点与椭圆的右焦点重合,过点的直线与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)若直线的斜率为,求.【答案】(1)(2)(1)解:因为椭圆的右焦为,所以,所以,即,所以抛物线的标准方程;(2)解:由(1)可知,直线的方程为,联立方程,得,设,所以,所以.例题3.(2022·内蒙古赤峰·高二期末)已知动圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程;(2)已知直线交轨迹于两点,,且中点的纵坐标为,则的最大值为多少?【答案】(1)(2)(1)由题设点到点的距离等于它到的距离,点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,所求轨迹的方程为;(2)由题意易知直线的斜率存在,设中点为,直线的方程为,联立直线与抛物线,得,,且,,又中点为,即,,故恒成立,,,所以,当时,取最大值为.同类题型归类练1.(2022·安徽·高二开学考试)已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切,求实数的值;(2)若直线与抛物线相交于、两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)(1)解:联立,可得,则,可得.(2)解:设点、,则,可得,由韦达定理可得,,由弦长公式可得,解得.因此,直线的方程为.2.(2022·吉林辽源·高二期末)已知抛物线的焦点为F,第四象限的一点在C上,且.(1)求C的方程和m的值;(2)若直线l交C于A,B两点,且线段AB中点的坐标为,求直线l的方程及线段AB的长.【答案】(1),(2),(1)抛物线的准线方程为,由抛物线定义得,,解得,所以抛物线C的方程为.将代入C的方程得,,解得,因为点P在第四象限,所以.(2)由题意易知直线l的斜率显然存在,设直线l的斜率为k,,,则有两式作差得,则,因为线段AB中点的坐标为,所以,所以,所以直线l的方程为,即,联立得,则,,所以.3.(2022·全国·高二课时练习)已知直线与抛物线相交于A,B两点,且O为坐标原点.(1)求弦长以及线段的中点坐标;(2)判断是否成立,并说明理由.【答案】(1),(2)不成立,理由见解析.(1)设,,联立方程:得,由韦达定理得,,直线的斜率为k=1,利用弦长公式:,中点坐标为;(2),,,∴不垂直于;故答案为:,,不垂直于.
拓展三:圆锥曲线的方程(弦长问题)(精讲)第一部分:知识点精准记忆第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数重点题型三:抛物线的焦点弦重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题第一部分:知 识 点 精 准 记 忆知识点一:弦长公式 (最常用公式,使用频率最高) 知识点二:基本不等式(当且仅当时等号成立)第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长典型例题例题1.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))已知椭圆:的离心率为,为过椭圆右焦点的一条弦,且长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程.(2)若斜率为1的直线与椭圆交于,两点,点,直线的斜率为,求线段的长度. 例题2.(2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试(理))设椭圆的离心率,过点A.(1)求椭圆的方程;(2)求椭圆被直线截得的弦长.例题3.(2022·贵州黔西·高二期末(理))已知双曲线的焦点在轴上,对称中心为坐标原点,焦距为,且过点.(1)求的方程;(2)若斜率为2的直线与交于,两点.且,求.例题4.(2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习(文))已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.(1)求双曲线的方程;(2)若直线:与双曲线交于,两点,求弦长.同类题型归类练1.(2022·四川省资中县第二中学高二阶段练习(理))已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为,点是轴上的一点,过点的直线与椭圆交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)若的面积是面积的两倍,且直线与圆:相切于点,求的长.2.(2022·陕西宝鸡·一模(文))椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交于,两点,且,求.3.(2022·河北·衡水市第二中学高二期中)(1)已知A,两点的坐标分别是,,直线,相交于点,且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程,并判断轨迹的形状:(2)已知过双曲线上的右焦点,倾斜角为 的直线交双曲线于A,两点,求.4.(2022·广东广州·高二期末)已知曲线:.(1)若曲线是双曲线,求的取值范围;(2)设,已知过曲线的右焦点,倾斜角为的直线交曲线于A,B两点,求.重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数典型例题例题1.(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆:的离心率为且经过点1),直线经过且与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)当求此时直线的方程;例题2.(2022·全国·高一)椭圆C的方程为,右焦点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与圆相切,与椭圆交于两点,且,求直线的方程.例题3.(2022·江苏镇江·高二开学考试)在平面直角坐标系中,双曲线的对称轴都是坐标轴,且过点,到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线的方程;(2)如果双曲线的焦点在轴上,直线l经过双曲线的右焦点,与双曲线交于,两点,且,求直线的方程.例题4.(2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末)已知双曲线,直线与交于、两点.(1)若点是双曲线的一个焦点,求的渐近线方程;(2)若点的坐标为,直线的斜率等于1,且,求双曲线的离心率.同类题型归类练1.(2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测)已知,是椭圆:的左、右焦点,动点在椭圆上,且的最大值为3,离心率为.(1)求椭圆的标准方程:(2)动点在抛物线:上,过点作椭圆的两条切线分别交直线于,两点.当时,求点的坐标.2.(2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模(理))在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设是曲线的左焦点,过点的直线与曲线相交于,两点,过,分别作直线的垂线与轴相交于,两点.若,求此时直线的斜率.3.(2022·全国·高二课时练习)已知双曲线的实轴长为,一个焦点的坐标为.(1)求双曲线的方程;(2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点,且,求直线的方程.4.(2021·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习)已知双曲线:离心率为2,且过点.(1)求的方程:(2)若斜率为的直线l与交于P,Q两点,面积为,求直线方程.重点题型三:抛物线的焦点弦典型例题例题1.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于、两点,且向量是直线的一个法向量.(1)求直线的方程及抛物线准线方程;(2)求线段的长.例题2.(2022·江苏省镇江第一中学高二期末)已知抛物线的焦点是,斜率为的直线经过且与抛物线相交于、两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段的长.同类题型归类练1.(2022·江苏·高二)已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点,若,求弦长.2.(2022·江苏·高二)已知抛物线过点.(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,求线段的长度.3.(2022·全国·高二课时练习)经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M,N两点,求的取值范围.4.(2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习(文))已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l过抛物线C的焦点F,l与抛物线C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题典型例题例题1.(2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习(理))已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点,且,求直线的方程.例题2.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线(为常数,)的焦点与椭圆的右焦点重合,过点的直线与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)若直线的斜率为,求.例题3.(2022·内蒙古赤峰·高二期末)已知动圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程;(2)已知直线交轨迹于两点,,且中点的纵坐标为,则的最大值为多少?同类题型归类练1.(2022·安徽·高二开学考试)已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切,求实数的值;(2)若直线与抛物线相交于、两点,且,求直线的方程.2.(2022·吉林辽源·高二期末)已知抛物线的焦点为F,第四象限的一点在C上,且.(1)求C的方程和m的值;(2)若直线l交C于A,B两点,且线段AB中点的坐标为,求直线l的方程及线段AB的长.3.(2022·全国·高二课时练习)已知直线与抛物线相交于A,B两点,且O为坐标原点.(1)求弦长以及线段的中点坐标;(2)判断是否成立,并说明理由.拓展三:圆锥曲线的方程(弦长问题)(精讲)第一部分:知识点精准记忆第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数重点题型三:抛物线的焦点弦重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题第一部分:知 识 点 精 准 记 忆知识点一:弦长公式 (最常用公式,使用频率最高) 知识点二:基本不等式(当且仅当时等号成立)第二部分:典 型 例 题 剖 析重点题型一:求椭圆、双曲线的弦长典型例题例题1.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))已知椭圆:的离心率为,为过椭圆右焦点的一条弦,且长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程.(2)若斜率为1的直线与椭圆交于,两点,点,直线的斜率为,求线段的长度.【答案】(1)(2)(1)因为椭圆的离心率为,过椭圆右焦点的弦长的最小值为,所以,,,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程得,则,因为点,所以点坐标为,所以可得直线的方程为,即.联立直线与椭圆的方程,消去得,解得,,所以.例题2.(2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试(理))设椭圆的离心率,过点A.(1)求椭圆的方程;(2)求椭圆被直线截得的弦长.【答案】(1)(2)(1)因为点A在椭圆上,且离心率为,所以,解得,故椭圆方程为(2)记直线与椭圆交于P、Q两点,其坐标分别为,将代入,得,整理得,则,由弦长公式得例题3.(2022·贵州黔西·高二期末(理))已知双曲线的焦点在轴上,对称中心为坐标原点,焦距为,且过点.(1)求的方程;(2)若斜率为2的直线与交于,两点.且,求.【答案】(1) ;(2).(1)由已知,设焦点坐标为,则,又,解得,故双曲线的方程为:;(2)设直线,与双曲线的方程联立可得:设,则,,,,,解得,因此.例题4.(2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习(文))已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.(1)求双曲线的方程;(2)若直线:与双曲线交于,两点,求弦长.【答案】(1)y2=1(2)2(1)由已知得a,c=2,再由c2=a2+b2,得b2=1,所以双曲线C的方程为y2=1.(2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15=0,解得x=﹣3±, ,∴|AB|2.同类题型归类练1.(2022·四川省资中县第二中学高二阶段练习(理))已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为,点是轴上的一点,过点的直线与椭圆交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)若的面积是面积的两倍,且直线与圆:相切于点,求的长.【答案】(1)(2)(1)由题意知解得:,,所以椭圆的方程为.(2)设,直线:,,,因为得,有,由,由韦达定理得,,由,,则,,化简.原点到直线的距离,又直线与圆:相切,所以,即,,即,解得,此时,满足,此时,在中,,所以的长为2.(2022·陕西宝鸡·一模(文))椭圆经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交于,两点,且,求.【答案】(1)(2)(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形,,椭圆过点,,又,解得:,椭圆的方程为:;(2),设, 联立方程得:,,,,,,,;3.(2022·河北·衡水市第二中学高二期中)(1)已知A,两点的坐标分别是,,直线,相交于点,且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程,并判断轨迹的形状:(2)已知过双曲线上的右焦点,倾斜角为 的直线交双曲线于A,两点,求.【答案】(1)轨迹方程为,轨迹为焦点在轴上的双曲线,不含左右顶点;(2).(1)设,因为,,所以,整理得,故点的轨迹方程为,轨迹为焦点在轴上的双曲线,不含左右顶点.(2)由得,,,所以,即,所以右焦点,因为直线的倾斜角是,且直线经过右焦点,所以直线的方程为,由可得:,所以,,所以.4.(2022·广东广州·高二期末)已知曲线:.(1)若曲线是双曲线,求的取值范围;(2)设,已知过曲线的右焦点,倾斜角为的直线交曲线于A,B两点,求.【答案】(1)(2)(1)要使曲线:为双曲线,只需,解得:,即的取值范围.(2)当m=0时,曲线C的方程为,可得,所以右焦点,由题意可得直线l的方程为:.设,联立整理可得:,可得:所以弦长,所以重点题型二:根据椭圆、双曲线的弦长求参数典型例题例题1.(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆:的离心率为且经过点1),直线经过且与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)当求此时直线的方程;【答案】(1);(2)或为.(1),,即,,又经过点1),,解得,所以椭圆方程为.(2)当直线的斜率不存在时,即直线的方程,此时,直线的斜率存在,不妨设直线的方程为,设,联立方程组可得消可得,其判别式,, ,整理可得,解得即此时直线方程为或为.例题2.(2022·全国·高一)椭圆C的方程为,右焦点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与圆相切,与椭圆交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)或(1)由椭圆C的方程为,右焦点为,离心率为,可得半焦距且,解得,又由,所以椭圆方程为.(2)由(1)得,圆的方程为,设,当直线的斜率不存在时,,不合题意; 当直线的斜率存在时,设直线,由直线与曲线相切可得,所以,联立方程组,可得,所以,,所以, 解得或,所以直线或.例题3.(2022·江苏镇江·高二开学考试)在平面直角坐标系中,双曲线的对称轴都是坐标轴,且过点,到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线的方程;(2)如果双曲线的焦点在轴上,直线l经过双曲线的右焦点,与双曲线交于,两点,且,求直线的方程.【答案】(1)或(2)或或(1)因为双曲线C的对称轴都是坐标轴,则C的对称中心是坐标原点.所以C的方程为标准方程.因为C过点,P到C两焦点距离的差的绝对值等于2,①若C的焦点在x轴上,设,所以解得所以双曲线C的方程为.②若C的焦点在y轴上,设,所以解得所以双曲线C的方程为.故C的方程为或(2)由(1)知C的方程为.所以C的右焦点为.①若直线l的斜率不存在,则其方程为,代入C方程得l与C交点坐标为,,则弦长为6,符合题意.②若直线l的斜率存在,设,联立消去y得.所以①,②,设,,则,,所以.解得,满足①②.所以直线l的方程为,或.综上:直线l的方程为,或,或.例题4.(2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末)已知双曲线,直线与交于、两点.(1)若点是双曲线的一个焦点,求的渐近线方程;(2)若点的坐标为,直线的斜率等于1,且,求双曲线的离心率.【答案】(1)(2)或(1)∵点是双曲线的一个焦点,∴,又∵且,解得,∴双曲线方程为,∴的渐近线方程为:;(2)设直线的方程为,且,,联立,可得,则,∴,即,∴,解得或,即由可得或,故双曲线的离心率或.同类题型归类练1.(2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测)已知,是椭圆:的左、右焦点,动点在椭圆上,且的最大值为3,离心率为.(1)求椭圆的标准方程:(2)动点在抛物线:上,过点作椭圆的两条切线分别交直线于,两点.当时,求点的坐标.【答案】(1);(2).(1)设椭圆半焦距为c,依题意有,解得,,,所以椭圆方程为;(2)设,,,过点的椭圆切线斜率为k,此切线方程为,由,得,由得到,可得,切线MA,MB的斜率分别为k1,k2,所以,,显然,,则,而,所以,解得,所以点的坐标为.2.(2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模(理))在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设是曲线的左焦点,过点的直线与曲线相交于,两点,过,分别作直线的垂线与轴相交于,两点.若,求此时直线的斜率.【答案】(1);(2).(1)设,则,所以可得动点P的轨迹C的方程为(2)可得,设直线l的方程为,联立可得所以因为过A,B分别作直线l的垂线与x轴相交于M,N两点所以所以直线的方程为,令可得,同理可得所以所以解得,所以3.(2022·全国·高二课时练习)已知双曲线的实轴长为,一个焦点的坐标为.(1)求双曲线的方程;(2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1);(2)或.(1)由,得,又,∴,∴双曲线的方程为.(2)设直线的方程为,,由,得,∴,得,∴弦长,解得,∴直线的方程为或.4.(2021·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习)已知双曲线:离心率为2,且过点.(1)求的方程:(2)若斜率为的直线l与交于P,Q两点,面积为,求直线方程.【答案】(1);(2)或.(1)解:因为双曲线离心率为2,则,所以①,又点在上,则②,由①②可得,,,所以双曲线的方程为.(2)解:设直线方程为,联立得,所以,因为,点到直线的距离,所以.所以直线的方程为或.重点题型三:抛物线的焦点弦典型例题例题1.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于、两点,且向量是直线的一个法向量.(1)求直线的方程及抛物线准线方程;(2)求线段的长.【答案】(1)准线方程为,直线方程为;(2)5.(1)抛物线方程为,即,,因此焦点为,准线方程为,因为向量是直线l的一个法向量,所以直线方程为,即;(2)设.由得,则,所以.例题2.(2022·江苏省镇江第一中学高二期末)已知抛物线的焦点是,斜率为的直线经过且与抛物线相交于、两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段的长.【答案】(1)抛物线的方程为,其准线方程为,(2)(1)解:由焦点,得,解得.所以抛物线的方程为,其准线方程为,(2)解:设,,,.直线的方程为. 与抛物线方程联立,得, 消去,整理得, 由抛物线的定义可知,.所以线段的长为.同类题型归类练1.(2022·江苏·高二)已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点,若,求弦长.【答案】8设抛物线的焦点为,准线为,则,过作,垂足为,过作,垂足为,由抛物线的定义知:.2.(2022·江苏·高二)已知抛物线过点.(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,求线段的长度.【答案】(1)抛物线,准线:.(2)(1)过点,,解得:,抛物线,准线方程为:(2)由(1)知:抛物线焦点为,设直线,,,由得:,,.3.(2022·全国·高二课时练习)经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M,N两点,求的取值范围.【答案】.由题可知抛物线的焦点坐标为,当直线斜率不存在时,令得:,所以,当直线斜率存在时,设直线方程为,,联立 得:, 设,则,,综上,的取值范围为.4.(2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习(文))已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l过抛物线C的焦点F,l与抛物线C相交于A,B两点,且,求直线l的方程.【答案】(1)(2)或(1)根据抛物线的定义得,解得:,所以抛物线方程是(2)抛物线的焦点,直线的斜率不可能为0,设直线:,与抛物线方程联立得,设,则,,解得:,所以直线的方程是或.重点题型四:抛物线的非焦点弦长问题典型例题例题1.(2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习(理))已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)或(1)设抛物线,抛物线的焦点到准线的距离为,,抛物线的标准方程为:;(2)由(1)得:,设直线,,,由得:,则,,解得:,直线方程为:或,即或.例题2.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线(为常数,)的焦点与椭圆的右焦点重合,过点的直线与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)若直线的斜率为,求.【答案】(1)(2)(1)解:因为椭圆的右焦为,所以,所以,即,所以抛物线的标准方程;(2)解:由(1)可知,直线的方程为,联立方程,得,设,所以,所以.例题3.(2022·内蒙古赤峰·高二期末)已知动圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程;(2)已知直线交轨迹于两点,,且中点的纵坐标为,则的最大值为多少?【答案】(1)(2)(1)由题设点到点的距离等于它到的距离,点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,所求轨迹的方程为;(2)由题意易知直线的斜率存在,设中点为,直线的方程为,联立直线与抛物线,得,,且,,又中点为,即,,故恒成立,,,所以,当时,取最大值为.同类题型归类练1.(2022·安徽·高二开学考试)已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切,求实数的值;(2)若直线与抛物线相交于、两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)(1)解:联立,可得,则,可得.(2)解:设点、,则,可得,由韦达定理可得,,由弦长公式可得,解得.因此,直线的方程为.2.(2022·吉林辽源·高二期末)已知抛物线的焦点为F,第四象限的一点在C上,且.(1)求C的方程和m的值;(2)若直线l交C于A,B两点,且线段AB中点的坐标为,求直线l的方程及线段AB的长.【答案】(1),(2),(1)抛物线的准线方程为,由抛物线定义得,,解得,所以抛物线C的方程为.将代入C的方程得,,解得,因为点P在第四象限,所以.(2)由题意易知直线l的斜率显然存在,设直线l的斜率为k,,,则有两式作差得,则,因为线段AB中点的坐标为,所以,所以,所以直线l的方程为,即,联立得,则,,所以.3.(2022·全国·高二课时练习)已知直线与抛物线相交于A,B两点,且O为坐标原点.(1)求弦长以及线段的中点坐标;(2)判断是否成立,并说明理由.【答案】(1),(2)不成立,理由见解析.(1)设,,联立方程:得,由韦达定理得,,直线的斜率为k=1,利用弦长公式:,中点坐标为;(2),,,∴不垂直于;故答案为:,,不垂直于.
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