(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（精讲）（原卷版+解析）

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拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线中的定点问题重点题型二：圆锥曲线中的定值问题重点题型三：圆锥曲线中的定直线问题第一部分：知 识 点 精 准 记 忆在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线中的定点问题典型例题例题1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知在抛物线：上．(1)求抛物线的方程；(2)，是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点． 例题2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．例题3．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹过定点.例题4．（2022·江苏·金陵中学二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上．当时．不垂直于轴的直线与双曲线同一支交于，两点．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线过点，在轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，求出点的的坐标；若不存在，说明理由．例题5．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线经过点（2，5）交于，两点，为坐标原点，当垂直于轴时，的面积为10．(1)求的方程；(2)上是否存在定点，使得在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．同类题型归类练1．（2022·江苏泰州·一模）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.2．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.3．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为A，O为坐标原点，且椭圆C的离心率为，P，Q为椭圆上两点，当QO＝QA时，的面积为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点P任作倾斜角互补的两条直线，，分别与椭圆C交于M，N两点，是否存在点P，使得AP⊥MN恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．4．（2022·重庆八中模拟预测）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．5．（2022·全国·模拟预测）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．(1)若，，成等差数列，求实数k的值；(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知抛物线，过的直线与交于两点.当垂直于轴时，的面积为2（1）求抛物线的方程；（2）若在轴上存在定点满足，试求的坐标.重点题型二：圆锥曲线中的定值问题典型例题例题1．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.例题2．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点． (1)求和的值；(2)证明：①为定值；②直线斜率为定值，并求出该定值．例题3．（2022·上海松江·二模）已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．例题4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.例题5．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知抛物线，点在抛物线上.(1)求抛物线的准线方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.同类题型归类练1．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．(1)求双曲线C的方程；(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．2．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．3．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．4．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．(1)若，求证：；(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．5．（2022·安徽·模拟预测（理））点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.重点题型三：圆锥曲线中的定直线问题典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.例题2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．(1)求的方程；(2)若直线与交于，两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．例题3．（2022··一模）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．同类题型归类练1．（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.2．（2022·安徽淮北·一模（理））已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线，，是C上两个不同的点．(1)求证：直线与C相切；(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．4．（2022·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.（1）求C的方程.（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线中的定点问题重点题型二：圆锥曲线中的定值问题重点题型三：圆锥曲线中的定直线问题第一部分：知 识 点 精 准 记 忆在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆锥曲线中的定点问题典型例题例题1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知在抛物线：上．(1)求抛物线的方程；(2)，是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点．【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，，同理：，由题意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．例题2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析；定点.(1)根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．(2)设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．例题3．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹过定点.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：由题意可知，解得，.所以，所求椭圆的方程为(2)设，，，，直线的斜率显然存在，设为，则的方程为.因为，，，四点共线，不妨设，则，，，由，可得，化简得.（*）联立直线和椭圆的方程，，消去，得.由韦达定理，得，.代入（*）化简得，即.又，代入上式，得，化简得.所以点总在一条动直线上，且恒过定点.例题4．（2022·江苏·金陵中学二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上．当时．不垂直于轴的直线与双曲线同一支交于，两点．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线过点，在轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，求出点的的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在(1)依题意，，，，解得，得，.∴．(2)假设存在，，设，，设直线，则，得，则，且，即，即，依题意，，即，，，，即，，，故存在．例题5．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线经过点（2，5）交于，两点，为坐标原点，当垂直于轴时，的面积为10．(1)求的方程；(2)上是否存在定点，使得在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；P（－2，1）(1)解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10，联立，得．所以 OAB的面积为，解得，所以C的方程为．(2)由题知l的斜率存在，设l的方程为，，，假设存在点P（，），使得，联立，得，则，．又，所以，，又且，所以，所以，则，即，所以当时，无论k取何值等式都成立，将代入得，所以存在定点P（－2，1）符合题意．同类题型归类练1．（2022·江苏泰州·一模）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.【答案】(1).(2)证明见解析.(1)解：因为四点，，，中恰有三点在上，而点，关于原点对称，，所以点，，在曲线上，代入可得，解得，所以的方程为：.(2)解：当直线斜率不存在时，得，，，则直线方程为，过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立，整理得，，，，则，所以，又，所以，即直线过点；2．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析（1）因为过焦点且与轴垂直，故，故，解得：，从而抛物线C的方程为.（2）设线段中点为，，，由题知，直线的垂直平分线斜率存在，设为k，则：，，.若直线不与x轴垂直，由得，，即，则直线l斜率为，从而直线l的方程为，整理得：恒过点.若直线与x轴垂直，则l为直线，显然也满足恒过点.综上所述，直线l恒过点.3．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为A，O为坐标原点，且椭圆C的离心率为，P，Q为椭圆上两点，当QO＝QA时，的面积为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点P任作倾斜角互补的两条直线，，分别与椭圆C交于M，N两点，是否存在点P，使得AP⊥MN恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或或．(1)依题意则当QO＝QA时，点Q的横坐标，代入椭圆方程可得，所以的面积，解得ab＝2，则a＝2，b＝1，椭圆C的标准方程为．(2)设，，，由题意知直线，斜率存在且不为0，设直线，直线．联立消去y并整理得，即．同理可得，则，．由（1）知，则，．由AP⊥MN，得，整理得，．当时，符合题意；当时，或符合题意．综上，存在点P使得AP⊥MN恒成立，满足条件的P点坐标为或或．4．（2022·重庆八中模拟预测）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【答案】(1)(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和(1)由题意得：因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：解得：因此，双曲线C的方程为：(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为由可得：设、，则由：，由直线AM方程，令，得点由直线AN方程，令，得点则以EF为直径的圆的方程为：令，有：将，代入上式，得可得：解得：，或即以EF为直径的圆经过点和；②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和综合可得，以EF为直径的圆经过定点和5．（2022·全国·模拟预测）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．(1)若，，成等差数列，求实数k的值；(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．【答案】(1)(2)1个(1)直线l的方程可写为，可知直线l恒过定点，即抛物线C的焦点，所以，p＝2，因此．设，．联立整理得，恒成立，所以，．因为，，成等差数列，所以．又因为，，，所以，整理得．又，即，即，解得或（舍去），则．所以，解得k．故实数k的值为．(2)若存在点总在以AB为直径的圆上，即AT⊥TB，则，即，整理得．又，所以，则，恒成立，且，故满足条件的点只有一个．6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知抛物线，过的直线与交于两点.当垂直于轴时，的面积为2（1）求抛物线的方程；（2）若在轴上存在定点满足，试求的坐标.【答案】（1）（2）的坐标为解：（1）由，得因为直线垂直于轴时，的面积为2，所以，解得， 所以抛物线C的方程为（2）依题意可设直线的方程为，，，，由得， 显然恒成立，， 因为 所以所以此时点的坐标为重点题型二：圆锥曲线中的定值问题典型例题例题1．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)设椭圆的半焦距为，，将代入得，所以，因为点是椭圆上一动点，所以，所以面积，由，求得，所以椭圆的方程为：.(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线与椭圆相切，所以，得，因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，所以，将代入直线可得，所以，所以，，将代入上式，得，所以为定值.例题2．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点． (1)求和的值；(2)证明：①为定值；②直线斜率为定值，并求出该定值．【答案】(1)，；(2)①证明见解析；②证明见解析，定值为1.(1)因为焦点，显然直线的斜率不为零，故设直线方程为，与联立可得，又直线与抛物线交于两点，又，故，同理可得：．(2)①因为直线过定点，且斜率存在，故设直线方程为，代入中得，又直线交抛物线于两点，故当时，时，由韦达定理可得：，所以．②直线的斜率为，由（1）知，．所以．故直线的斜率为定值，且定值为.例题3．（2022·上海松江·二模）已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析.【解析】(1)∵     ∴，∵，由   得，∴所以椭圆的方程：；(2)∵直线的斜率为，故可设直线的方程为 ，设，，， 由        可得，则，，∵以为直径的圆过右顶点，∴，∴∴，整理可得，∴或，∵，当或时，均有所以直线的方程为或．(3)椭圆左、右焦点分别为、①当直线平行于轴时，∵直线与椭圆相切，∴直线的方程为，此时点、到直线的到距离分别为，∴．②直线不平行于轴时，设直线的方程为 ，联立，整理得，， ∵直线与椭圆相切，∴，∴∵到直线的距离为，到直线的距离为，∴，∴点、到直线的距离之积为定值由．例题4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以