高中数学上教版 (2020)必修 第一册第2章 等式与不等式2.1 等式与不等式的性质练习题

这是一份高中数学上教版 (2020)必修 第一册第2章 等式与不等式2.1 等式与不等式的性质练习题，共20页。试卷主要包含了若，则下列结论中，给出下列命题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一月考）已知，则________（填“”或“”）.
2．（2023·上海高一单元测试）若，则下列结论中：①；②；③；④.所有正确结论的序号是______.
3．（2023·上海）给出下列命题：①，；②，；③，；④，.其中正确的命题序号是________．
4．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）若关于的方程的两个实数根分别为、，且，那么_________.
5．（2023·上海市嘉定区第一中学高一月考）已知，是关于的方程的两个实数根，，是关于的方程的两个实数根，其中，是常数，且，则______．
6．（2023·河北长安·石家庄一中高一月考）已知一元二次方程的两个实根为，且，则m=_________；
7．（2023·广东宝安·高一期末）若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则的值为___________.
8．（2023·上海市行知中学）若，则的取值范围为________；
9．（2023·上海青浦·高一期末）若，且，，则的最大值是_________.
10．（2022·上海）已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2023·上海高一专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若都是正数，则
B．若，则
C．若都是正数，且则
D．若，则
12．（2023·上海高一单元测试）已知关于x的两个一元二次不等式的解集分别为A，B，其中为常数且不为零，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）（1）解关于的不等式，其中；
（2）设，试比较和的大小.
14．（2023·上海高一专题练习）已知，试比较与的大小，并给出你的证明．
B组 能力提升
15．（2022·全国高三专题练习）已知实数x，y满足，，则（ ）
A．1≤x≤3B．2≤y≤1C．2≤4x+y≤15D．xy
16．（2023·上海）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有（ ）
A．|a|＞|b|＞|c|B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c|D．|a－c|＞|a－b|
17．（2023·上海市川沙中学高一期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
18．（2022·上海高三月考）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数.
（1）求的解析式；
（2）求实数的值，使得函数，的最小值为；
（3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：.
19．（2023·上海）已知一元二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为，且当时，恒有．
（1）当，时，求出不等式的解；
（2）求出不等式的解（用表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；
（4）若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围．
专题2.1 等式与不等式的性质
A组 基础巩固
1．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一月考）已知，则________（填“”或“”）.
【答案】
【分析】
利用作差法，结合条件，即可得结论．
【详解】
解：，
，，，
，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，不等式比较大小，以及作差法的应用，属于基础题．
2．（2023·上海高一单元测试）若，则下列结论中：①；②；③；④.所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【分析】
根据正负证明①正确；举例说明②错误；利用不等式性质说明③正确④错误.
【详解】
，所以①正确；
当时，满足，但，所以②错误；
，所以③正确；
，所以④错误；
故答案为：①③
【点睛】
本题考查利用不等式性质判断大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
3．（2023·上海）给出下列命题：①，；②，；③，；④，.其中正确的命题序号是________．
【答案】②③
【分析】
利用不等式的性质或取特殊值代入逐个判断即可.
【详解】
①当时不成立；②一定成立；③当时，成立；④当时，不一定成立，如：，但.
故答案为：②③.
【点睛】
本题主要考查与不等式的性质有关的命题真假的判断，属常规考题.
4．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）若关于的方程的两个实数根分别为、，且，那么_________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得可求得，求出、，利用韦达定理结合可求得实数的值.
【详解】
由已知条件可得，解得.
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得或（舍）.
故答案为：.
5．（2023·上海市嘉定区第一中学高一月考）已知，是关于的方程的两个实数根，，是关于的方程的两个实数根，其中，是常数，且，则______．
【答案】2
【分析】
利用韦达定理和可得或（舍），根据可得，从而可得结果.
【详解】
因为，是关于的方程的两个实数根，
所以所以或，
因为，是关于的方程的两个实数根，
所以，
因为，所以，
所以，解得或（舍），
所以，
所以.
故答案为：2
【点睛】
关键点点睛：利用韦达定理求解是解题关键.
6．（2023·河北长安·石家庄一中高一月考）已知一元二次方程的两个实根为，且，则m=_________；
【答案】或
【分析】
先利用韦达定理得到，再由求解.
【详解】
因为一元二次方程的两个实根为，
所以，
因为，
所以，即，
解得或，
故答案为：或
7．（2023·广东宝安·高一期末）若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则的值为___________.
【答案】
【分析】
由题可知是方程的两个不同实根，根据韦达定理可求出.
【详解】
由题可知是方程的两个不同实根，
则，
.
故答案为：.
8．（2023·上海市行知中学）若，则的取值范围为________；
【答案】
【分析】
由题知，，进而根据求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，，
所以，所以，
所以
故答案为：
9．（2023·上海青浦·高一期末）若，且，，则的最大值是_________.
【答案】
【分析】
根据题中条件，由不等式的性质，求出的范围，即可得出结果.
【详解】
因为，，即，，
所以，因此，
即的最大值是.
故答案为：.
10．（2022·上海）已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】
当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
11．（2023·上海高一专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若都是正数，则
B．若，则
C．若都是正数，且则
D．若，则
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】
A中，由，当时，，故A错；
B中，由
所以则，故B正确；
C中，由，则
所以得；由 所以即，所以，C正确；
D中，由所以，则，D正确
故选：A
12．（2023·上海高一单元测试）已知关于x的两个一元二次不等式的解集分别为A，B，其中为常数且不为零，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件.
【详解】
由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定，
由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致，
故由推不出，
反之若，也推不出，例如，与，解集都为R，但系数并不成比例.
故选：D.
13．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）（1）解关于的不等式，其中；
（2）设，试比较和的大小.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）化简不等式为，结合和不等式的解法，即可求解；
（2）利用作差比较法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，不等式，可化为，
因为，可得，即不等式等价于，
即不等式的解集为.
（2）由，
因为，可得，所以，
所以.
14．（2023·上海高一专题练习）已知，试比较与的大小，并给出你的证明．
【答案】，证明见解析.
【分析】
先证明，然后用，分别替换中的可证明
，再用，分别替换中再利用已证的不等式放缩即可求证.
【详解】
证明如下：
因为，
所以，
即
因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
，
即证得
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是首先利用，证明，通过类比和放缩即可证明.
B组 能力提升
15．（2022·全国高三专题练习）已知实数x，y满足，，则（ ）
A．1≤x≤3B．2≤y≤1C．2≤4x+y≤15D．xy
【答案】C
【分析】
将已知等式两式相加判断A；由题意可得，解不等式组判断B；由结合已知判断C；由结合已知判断D.
【详解】
∵，，
∴两式相加，得，即1≤x≤4，故A错误；
∵，
∴，解得，故B错误；
∵，又，
∴，故C正确；
∵，又且 ，
∴，故D错误.
故选：C.
16．（2023·上海）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有（ ）
A．|a|＞|b|＞|c|B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c|D．|a－c|＞|a－b|
【答案】D
【分析】
举特殊值，利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，
如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；
|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；
|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确.
故选：D
17．（2023·上海市川沙中学高一期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
【答案】（1）“上位点”为，“下位点”为；（2）是，证明见解析；（3）4039.
【分析】
（1）根据题设中的定义可得结果；
（2）作差可得，，再根据定义可知结论成立；
（3）根据题意得对时恒成立，根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，若，作差可知不成立，可得正整数的最小值为4039.
【详解】
（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：∵点是点的“上位点”，∴
∵，，，均大于0，∴，∴
∴，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
（3）根据题意得对时恒成立，
根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，
若，由于，
则不成立，故正整数的最小值为4039。
【点睛】
关键点点睛：理解并运用上位点和下位点的定义是解题关键.
18．（2022·上海高三月考）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数.
（1）求的解析式；
（2）求实数的值，使得函数，的最小值为；
（3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由函数是上的奇函数得出，可解出，再令，求出，利用奇函数的定义得出的表达式，从而得出函数在上的解析式；
（2）由题意得出，令，可得出，再分、、三种情况讨论，分析该二次函数在区间上的单调性，得出该二次函数的最小值为，求出的值；
（3）先求出，任取且，利用作差法证明出，由此得出，，，，再利用同向不等式的可加性可得出所证不等式成立.
【详解】
（1）由于函数是上的奇函数，则，
那么，当时，.
当时，，，
.也适合.
因此，；
（2）当时，，
则，
令，则，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，此时，，解得，合乎题意；
②当时，即当时，函数在上取得最小值，即，整理得，解得，
均不符合题意；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，不合乎题意.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为；
（3）当时，.
当时，，则，
整理得，解得.
任取且，
，
且，，，所以，，
，，，，
上述不等式全部相加得.
【点睛】
本题考查奇函数解析式的求解、二次函数在定区间上的最值以及不等式的证明，在求解二次函数在定区间上的最值时，要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
19．（2023·上海）已知一元二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为，且当时，恒有．
（1）当，时，求出不等式的解；
（2）求出不等式的解（用表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；
（4）若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或．
【分析】
（1）根据根与系数的关系，求出的另一根，得到不等式的解；
（2）根据根与系数的关系，求出另一根，并判断两根的大小，得到不等式的解；
（3）先求出的图像与坐标轴的交点，表示出以这些点组成的三角形的面积，再将用表示出来，再求得的范围；
（4）根据，得到的关系式，化简不等式，将分离，分离时注意讨论的符号，求得实数的范围.
【详解】
（1）当，时，，的图像与轴有两个不同交点，
设另一个根为，则，，则的解集为．
（2）的图像与轴有两个交点，，设另一个根为，
则 又当时，恒有，则，
∴的解集为．
（3）由（2）的的图像与坐标轴的交点分别为
这三交点为顶点的三角形的面积为，
，故．
（4），∴，又∵，∴，
要使，对所有恒成立，则
当时，；
当时，；
当时，，对所有恒成立．
从而实数的取值范围为或或．
【点睛】
本题考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三个二次之间关系及应用，根与系数的关系，恒成立求参问题，参变分离技巧，属于中档题.