高中数学上教版 (2020)必修 第一册第2章 等式与不等式2.3 基本不等式及其应用精练

这是一份高中数学上教版 (2020)必修 第一册第2章 等式与不等式2.3 基本不等式及其应用精练，共38页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，定时训练等内容，欢迎下载使用。

二、考点梳理
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型突破
(一) 利用基本不等式求最值
例1.（1）、若，则的最小值为 .
（2）、（2023·贵州威宁四中高一月考）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是1
D．设，则的最小值是2
（3）、（2023·上海市控江中学高三开学考试）设正数，，当取最小值时，的值为___________.
【变式训练1-1】、（2023·南昌市豫章中学高二开学考试（文））下列各题中结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【变式训练1-2】、（2023·江苏省黄桥中学高二月考）当时，函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式训练1-3】、（2023·重庆高一月考）若，，则的最小值为__________．
(二) 不等式变形技巧：“1”的代换
例2.(1)（2023·六安市裕安区新安中学）已知都是正数,且，则的最小值等于
A．B．
C．D．
（2）、（2023·福建三明一中高一月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．3
(3)、（2023·江西宜春市·丰城九中高二期中（文））已知，，，则的最小值是______．
（4）、（2023·安徽合肥·高二期末（文））已知，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
【变式训练2-1】、（2022·河北石家庄市·石家庄一中高一期中（文））若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2】、（2023·南昌市豫章中学高二开学考试（理））若，，则的最小值为（ ）
A．2B．6C．9D．3
【变式训练2-3】、（2023·杭州之江高级中学高一期中）若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．25D．27
【变式训练2-4】、（2023·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
(三) 均值不等式在实际问题中的应用
例3.（1）、（2023·长春吉大附中实验学校高一月考）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.当总造价最小时，的长为（ ）
A．B．5C．4D．
（2）、（2023·江苏海安高级中学高三期中）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】、（2023·全国）如图，计划在一块空地上种植面积为的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】、（2023·北京朝阳·高三）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．
例4．（2023·江苏省震泽中学高一月考）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.
【变式训练4-1】.（2023·江苏高三一模）甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元.
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
利用基本不等式证明
例5．（2023·全国）已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
例6．（2023·上海高一单元测试）证明不等式
（1）已知，证明：
（2）设，求证：
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海高一单元测试）已知，则的最小值为_______．
2．（2023·吉林江城中学）已知，，且，则的最小为_________.
3．（2023·池州市第一中学）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，则矩形花坛面积最小值为__________．
4．（2023·北京市第十二中学）已知，则的最小值为（ ）
A．25B．26C．27D．28
5．（2023·上海杨浦·复旦附中高三月考）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
①
②ab的最小值为16
③的最小值为8
④的最小值为2
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
6．（2023·全国高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·河北长安·石家庄二十三中高一月考）下列各不等式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·上海）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国高一课时练习）已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·上海高一专题练习）2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.问：
（1）改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?
（2）为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长?
11．（2023·上海）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．
专题2.3 基本不等式及其应用
一、考情分析
二、考点梳理
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型突破
(一) 利用基本不等式求最值
例1.（1）、若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】 ，当且仅当时取等号.
（2）、（2023·贵州威宁四中高一月考）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是1
D．设，则的最小值是2
【答案】A
【分析】
利用基本不等式计算即可.
【详解】
对于A, 当时，，当且仅当取等号，故A对，
对于B，当时，为增函数，，没有最小值，B错误,
对于C，，，当且仅当时取等号，即最大值是1，没有最小值.错误，
对于D, ，故D错误.
故选：A
（3）、（2023·上海市控江中学高三开学考试）设正数，，当取最小值时，的值为___________.
【答案】
【分析】
利用基本不等式求题设代数式的最小值，确定等号成立时条件，即可知的值.
【详解】
∵，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴题设代数式取最小值时，的值为.
故答案为：
【变式训练1-1】、（2023·南昌市豫章中学高二开学考试（文））下列各题中结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】B
【分析】
利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，由于，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以不能取到等号，即，所以A错误，
对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以B正确，
对于C，，当且仅当，即时取等号，而，所以不能取到等号，所以C错误，
对于D，由选项可知，当时，不成立，所以D错误，
故选：B
【变式训练1-2】、（2023·江苏省黄桥中学高二月考）当时，函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】
根据给定条件配凑，再利用均值不等式求解即得.
【详解】
当时，，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，函数的最小值为8.
故选：A
【变式训练1-3】、（2023·重庆高一月考）若，，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
结合基本不等式的应用条件对a进行讨论，利用基本不等式求最值，计算即可得结果．
【详解】
因为有意义，所以，
而，，因此且
（1）当时，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
（2）当时，则，，
因此
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
综上所述，的最小值为．
故答案为：．
(二) 不等式变形技巧：“1”的代换
例2.(1)（2023·六安市裕安区新安中学）已知都是正数,且，则的最小值等于
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】 ,故选C.
（2）、（2023·福建三明一中高一月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．3
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】
因为，，，
则，
当且仅当且即，时取等号．
故选：A．
(3)、（2023·江西宜春市·丰城九中高二期中（文））已知，，，则的最小值是______．
【答案】16
【分析】
利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
依题意.
当且仅当时等号成立.
故答案为：16
（4）、（2023·安徽合肥·高二期末（文））已知，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
【答案】C
【分析】
利用基本不等式“1”的代换求的最小值即可.
【详解】
由题意，，当且仅当时等号成立.
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·河北石家庄市·石家庄一中高一期中（文））若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
分析：由，可得，进而展开用基本不等式可得最小值.
详解：由，可得.
当且仅当，即时有最小值9.
故选C.
【变式训练2-2】、（2023·南昌市豫章中学高二开学考试（理））若，，则的最小值为（ ）
A．2B．6C．9D．3
【答案】D
【分析】
根据给定条件利用“1的妙用”再结合均值不等式求解即得.
【详解】
因，，
则，当且仅当时取“=”，
所以时，取最小值为3.
故选：D
【变式训练2-3】、（2023·杭州之江高级中学高一期中）若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．25D．27
【答案】C
【分析】
利用“1”的代换凑出积的定值，然后由基本不等式求得最小值.
【详解】
∵正数x，y满足，
∴，当且仅当时取等号．
故选：C．
【变式训练2-4】、（2023·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.
【详解】
因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：D
(三) 均值不等式在实际问题中的应用
例3.（1）、（2023·长春吉大附中实验学校高一月考）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.当总造价最小时，的长为（ ）
A．B．5C．4D．
【答案】A
【分析】
由题意设米，根据总造价等于花坛、阴影部分、四个三角形造价总和得到关于的函数，利用基本不等式求最小值并确定对应的x值即可.
【详解】
由题意，设米，则，
∴总造价，当且仅当，即时取等号，
∴总造价最小时，的长为.
故选：A
（2）、（2023·江苏海安高级中学高三期中）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】
设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
所以年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.
故选：B.
【变式训练3-1】、（2023·全国）如图，计划在一块空地上种植面积为的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设草坪的长（东西方向）为，求出宽，再求得道路面积，由基本不等式得最小值．
【详解】
设草坪的长（东西方向）为，则宽为，
则道路占用面积为，当且仅当，即时，等号成立．
所以道路占地最小面积为．
故选：D．
【变式训练3-2】、（2023·北京朝阳·高三）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．
【答案】
【分析】
设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值.
【详解】
设李明获得的利润为万元，则，
则
，
当且仅当，因为，即当时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
例4．（2023·江苏省震泽中学高一月考）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.
【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．（2）
【分析】
（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立恒成立，利用基本不等式求解函数的最值即可．
【详解】
解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，则屋子前面新建墙体长为，
则
因为．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立．
即，从而，即恒成立，
又．
当且仅当，即时等号成立．
所以．
【变式训练4-1】.（2023·江苏高三一模）甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元.
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
【答案】（1），定义域为；（2）.见解析
【分析】
（1）由题意货车每小时的运输可变成本为，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；
（2）利用基本不等式求最小值，当时等号成立，即知当火车以的速度行驶，全程运输成本最小.
【详解】
（1）由题意，得可变成本为，固定成本为a元，所用时间为，
所以，定义域为.
（2）（元），
当，得，
因为，
所以当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小.
利用基本不等式证明
例5．（2023·全国）已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先证明成立，再由展开结合前面已知的结论即可证明不等式成立；
（2）根据题中条件，可得，展开利用均值不等式可证.
【详解】
解：（1）∵，
∴
∴
当且仅当时，等号成立，
因为，，为正数，且满足，
∴
∴，即
（2）∵
∴
当且仅当，，时，上式等号成立．
【点睛】
关键点睛：本题考查利用均值不等式证明不等式，解答本题的关键是对常数 1的处理，由，则展开即可证明，属于中档题.
例6．（2023·上海高一单元测试）证明不等式
（1）已知，证明：
（2）设，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将展开利用基本不等式即可证明；
（2）再利用基本不等式即可证明.
【详解】
（1），
当且仅当即时等号成立；
（2）因为
所以

当且仅当，， 时等号成立.
【点睛】
关键点点睛：第一个不等式是常见类型展开即可，第二问关键点是将不等式整理变形，
即可用基本不等式证明.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海高一单元测试）已知，则的最小值为_______．
【答案】1
【分析】
将原式变形为，再使用基本不等式即可．
【详解】
解：∵，∴，
∴，当且仅当，又，即取等号．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，属于基础题.
2．（2023·吉林江城中学）已知，，且，则的最小为_________.
【答案】
【分析】
利用“1”的妙用，结合基本不等式求解而得.
【详解】
，，且
，
当且仅当，即时取“=”，此时，
所以当，时，的最小值为.
答案为：
3．（2023·池州市第一中学）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，则矩形花坛面积最小值为__________．
【答案】
【分析】
设，，根据题意可得，再表示出矩形的面积，利用基本不等式求最值．
【详解】
解：不妨设，，则依题意可知，，即，
矩形的面积为，
当且仅当，即，时取等号．
故矩形的面积的最小值为80．
故答案为：80．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．（2023·北京市第十二中学）已知，则的最小值为（ ）
A．25B．26C．27D．28
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”即得.
【详解】
∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A.
5．（2023·上海杨浦·复旦附中高三月考）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
①
②ab的最小值为16
③的最小值为8
④的最小值为2
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】
对于①，由，，可得，从而可求得结果，对于②，由，得，然后利用基本不等式可得答案，对于③，由于，化简后利用基本不等式可判断，对于④，利用基本不等式判断
【详解】
对于①，因为，，且，所以，解得，所以①正确，
对于②，由，得，当且仅当，即时取等号，解得，所以的最小值为16，所以②正确，
对于③，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，所以③错误，
对于④，由，得，因为，，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以④正确，
故选：C
6．（2023·全国高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7．（2023·河北长安·石家庄二十三中高一月考）下列各不等式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
取特殊值可判断ACD；利用基本不等式可判断B.
【详解】
对A，当时，，故A错误；
对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，，故D错误.
故选：B.
8．（2022·上海）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【详解】
由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
9．（2023·全国高一课时练习）已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故C错误；，D错误．
故选：B．
10．（2023·上海高一专题练习）2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.问：
（1）改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?
（2）为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长?
【答案】（1）8836 m2；（2）141 m.
【分析】
（1）设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，得y≤，令t=9+2x，则x=（t>9），,再利用基本不等式求解；
（2）解方程291=9+2x，即得解.
【详解】
（1）设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积
S=xy，总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.
由条件知z≤188 000，即4x+9y+2xy≤18800.
∵x>0，y>0，
∴y≤.
令t=9+2x，则x=（t>9），
∴S=xy≤
=
=
当且仅当，即t=291时等号成立.
故S的最大值为8836 m2.
（2）由（1）知，当S=8836 m2时，t=291，t=9+2x，∴x=141，则y=.
∴方舱医院的面积S达到最大值8836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.
11．（2023·上海）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．
【答案】值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为0元
【分析】
根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值；
算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】
由题意，设燃料费为，
当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，
当时，，可得，解之得．
其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元．
航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元
因此，航行100海里的总费用为
，
当且仅当时，即时，
航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．
答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元．
【点睛】
本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．