数学必修 第一册第3章 幂、指数与对数3.1 幂与指数课后复习题

这是一份数学必修 第一册第3章 幂、指数与对数3.1 幂与指数课后复习题，共21页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，定时训练等内容，欢迎下载使用。


二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
考点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、（1）当时，
B．C．D．
（2）．（2023·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】．（2023·上海高一专题练习）下列各式中成立的一项（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-2】．（2023·浙江杭州·高一期末）根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A．B．C．D．
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是
A．B．
C．D．
（2）．（2023·江苏省如东高级中学高一月考）已知，，化简得（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-1】．（2023·台州市实验中学高一期中）求值①=___________；②=___________.
【变式训练2-2】．（2023·福建高二月考）（ ）
A．B．C．D．
(三) 多重根式化简
例3、（1）（2023·上海高一专题练习）的分数指数幂表示为____________
（2）．（2023·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-1】．（2023·全国高一专题练习）可以化简成（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】．（2023·上海市西南位育中学高一期末）已知，则___________.
【变式训练3-3】．（2023·上海市洋泾中学高一期中）化简______.
(四) 根式与分数指数幂互化
例4、（2022·浙江高三专题练习）计算：．
【变式训练4-1】．（2023·浙江高一期末）化简或求值：
（1）；
（2）.
(五) 利用整体代换思想求值
例5、．（2023·全国高一课时练习）已知，求：
（1）；
（2）．
【变式训练5-1】．（2023·浙江）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·徐汇·上海中学高一期中）已知，化简_______
2．（2023·上海嘉定·高一期中）若，化简：________.
3．（2013·上海）方程的解是____________．
4．（2022·浙江下城·杭州高级中学高一期末）若，则_____.
5．（2012·浙江台州·高一月考）计算=___________．
6．（2023·浙江高一期末）计算=________．
7．（2023·上海高一专题练习）若则x=（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·上海高一专题练习）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②④
9．（2023·上海高一专题练习）将化成分数指数幂为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·上海高一专题练习）化简的结果是（ ）
A．xB．C．1D．
11．（2023·浙江镇海中学高一期末）下列式子的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．专题3.1 幂与指数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
考点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、（1）当时，
B．C．D．
【分析】根据题意得﹣ax3≥0，结合a＞0得x3≤0即x≤0，由此利用二次根式的性质加以计算，可得答案．
【答案】解：中，，由得，即
因此，故选：．
（2）．（2023·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题知,进而根据指数幂化简即可.
【详解】
因为，所以，所以.
故选:B.
【变式训练1-1】．（2023·上海高一专题练习）下列各式中成立的一项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【变式训练1-2】．（2023·浙江杭州·高一期末）根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可.
【详解】
解：.
故选：A.
【点睛】
本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题.
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．
【答案】解：对于，由有意义可知，而当时，无意义，故错误；
对于，当时，，而无意义，故错误；
对于，，故错误．
对于，．故正确．故选：．
（2）．（2023·江苏省如东高级中学高一月考）已知，，化简得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据根式和实数指数幂的运算法则，即得解
【详解】
由题意：，
故选：B
【变式训练2-1】．（2023·台州市实验中学高一期中）求值①=___________；②=___________.
【答案】
【分析】
由指数运算的运算法则细心计算即可得解.
【详解】
由题意，；
.
故答案为：；.
【变式训练2-2】．（2023·福建高二月考）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件利用指数幂的运算法则计算即得.
【详解】
.
故选：C
(三) 多重根式化简
例3、（1）（2023·上海高一专题练习）的分数指数幂表示为____________
【答案】
【分析】
本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.
【详解】
，
故答案为：.
（2）．（2023·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果.
【详解】
＝＝＝＝＝.
故选：D
【变式训练3-1】．（2023·全国高一专题练习）可以化简成（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数幂和根式的运算性质转化即可．
【详解】
解：，
故选：B．
【变式训练3-2】．（2023·上海市西南位育中学高一期末）已知，则___________.
【答案】
【分析】
利用根式与指数幂的运算可求得的值.
【详解】
，则，因此，.
故答案为：.
【变式训练3-3】．（2023·上海市洋泾中学高一期中）化简______.
【答案】
【分析】
将根式化为分数指数幂后，利用指数幂的运算性质可得结果.
【详解】
.
故答案为：
(四) 根式与分数指数幂互化
例4、（2022·浙江高三专题练习）计算：．
【答案】
【分析】
直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误
【详解】
．
【点睛】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．属于较易题目．
【变式训练4-1】．（2023·浙江高一期末）化简或求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用指数的运算性质即可求解.
（2）利用指数的运算性质即可求解.
【详解】
（1）；
（2）原式.
(五) 利用整体代换思想求值
例5、．（2023·全国高一课时练习）已知，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）18；（2）．
【分析】
(1)将条件等式平方即可求解；(2)将问题平方，然后借助第一问的结果即可求解.
【详解】
（1）因为，所以，
即，所以；
（2）由（1）知，因为，所以，
所以．
【变式训练5-1】．（2023·浙江）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）3.
【分析】
（1）将两边平方求解.
（2）由（1）知，两边平方求解.
（3）根据，然后将和的值代入求解.
【详解】
（1）将两边平方，
得，
即.
（2）由（1）知，两边平方得，
∴.
（3）∵，
，
而，
∴原式.
【点睛】
本题主要考查指数运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·徐汇·上海中学高一期中）已知，化简_______
【答案】1
【分析】
根据指数幂的运算法则即可计算.
【详解】
.
故答案为：1.
2．（2023·上海嘉定·高一期中）若，化简：________.
【答案】
【分析】
利用指数幂的运算法则计算即可．
【详解】
故答案为：
3．（2013·上海）方程的解是____________．
【答案】
【详解】
试题分析：，，．
考点：指数方程．
【名师点睛】由指数函数的单调性知，因此在指示求幂指数含参数时，学化等式为的情形，然后再转化为代数方程解决．
4．（2022·浙江下城·杭州高级中学高一期末）若，则_____.
【答案】
【分析】
直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．
【详解】
由于，设， 所以，整理得， 故或，所以或，解得或.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．（2012·浙江台州·高一月考）计算=___________．
【答案】100
【详解】
故填写100.
6．（2023·浙江高一期末）计算=________．
【答案】
【详解】
试题分析：．
考点：指数的运算．
7．（2023·上海高一专题练习）若则x=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解.
【详解】
由，得，即，所以.
故选：A
8．（2023·上海高一专题练习）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】
由<0知②无意义；当a<0时，a5<0，④无意义，即可得出选项.
【详解】
由>0知①有意义；由<0知②无意义；③中开奇数次方根，所以有意义；当a<0时，a5<0，此时④无意义.
故选:B.
9．（2023·上海高一专题练习）将化成分数指数幂为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
直接根据根式和指数幂的关系计算即可.
【详解】
，
故选：A.
10．（2023·上海高一专题练习）化简的结果是（ ）
A．xB．C．1D．
【答案】A
【分析】
将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解.
【详解】
，
故选：A
11．（2023·浙江镇海中学高一期末）下列式子的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.
【详解】
根据分数指数幂的运算可知，
，，，，
故选：C