（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第三章综合测试卷（A卷 基础巩固）学生版+教师版

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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第三单元 幂、指数与对数单元测试卷（A 基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第三单元 幂、指数与对数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．（2023·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.2．（2023·上海市松江一中）已知，，则__________（用含，的代数式表示）.3．（2023·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；4．（2023·上海市松江一中）已知，则的最小值是______.5．（2023·上海市嘉定区第一中学高一期中）已知，，试用、表示____________6．（2023·陕西汉中·（文））命题“若，则”的否命题为______________________7．（2023·上海财经大学附属中学高一期中）已知，那么=_________________.8．（2023·全国）已知，则______．9．（2023·华东师范大学第三附属中学高一期中）已知，试用的式子表示________．10．（2022·全国（文））已知，，则__________．11．（2023·全国）某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中、是正常数经检测，当时，，则当稳定性系数降为时，该种汽车已使用的年数为______（结果精确到，参考数据：，）12．（2023·上海高一单元测试）已知，，用、表示__________.二、选择题：13．（2023·华东师范大学第三附属中学高一期中），则的值为（ ）A． B．4 C．1 D．或114．（2023·江苏海安高级中学高一期中）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a15．（2023·上海财经大学附属中学高一期中）若，则的最小值为（ ）A．6 B． C． D．16．（2023·上海市实验学校）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、解答题：17．（2023·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；（2）已知，试用表示对数.18．（2023·江苏高一专题练习）（1）计算：；（2）.19．（2023·全国高一专题练习）已知.（1）试比较与的大小；（2）当时，证明：，并指出等号成立的条件；（3）判断“”是“”的什么条件？并说明理由.20．（2023·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.21．（2023·全国（文））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第三单元 幂、指数与对数单元测试卷（A 基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第三单元 幂、指数与对数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．（2023·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.【答案】2【分析】将对数式化为指数式，由此求得.【详解】由于，所以.故答案为：2．（2023·上海市松江一中）已知，，则__________（用含，的代数式表示）.【答案】【分析】由换底公式，可得l，由此能够准确地利用a，b表示log36．【详解】由换底公式，.故答案为【点睛】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．3．（2023·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；【答案】.【分析】由指对互化及换底公式和对数运算性质可得结果.【详解】由得，，则，所以，又，所以.故答案为：.4．（2023·上海市松江一中）已知，则的最小值是______.【答案】【详解】由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.5．（2023·上海市嘉定区第一中学高一期中）已知，，试用、表示____________【答案】【分析】利用换底公式结合对数的运算，化简代入可求结果【详解】，故答案为：6．（2023·陕西汉中·（文））命题“若，则”的否命题为______________________【答案】若，则【分析】直接利用否命题的定义求解即可.【详解】因为命题的否命题既否定条件又否定结论，所以，命题“若,则”的否命题为“若,则”.故答案为若,则.【点睛】本题主要考查了否命题,属基础题型,较简单. 写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论.7．（2023·上海财经大学附属中学高一期中）已知，那么=_________________.【答案】【分析】依题意利用换底公式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以所以，所以，故答案为：8．（2023·全国）已知，则______．【答案】【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解．【详解】由可得所以，，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．（2023·华东师范大学第三附属中学高一期中）已知，试用的式子表示________．【答案】【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：.故答案为：.【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得，再结合对数运算性质化简即可得答案.10．（2022·全国（文））已知，，则__________．【答案】【详解】试题分析：由得，所以，解得，故答案为.考点：指数方程；对数方程.11．（2023·全国）某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中、是正常数经检测，当时，，则当稳定性系数降为时，该种汽车已使用的年数为______（结果精确到，参考数据：，）【答案】【分析】先将代入，结合得出的值，然后令可求出的值，从而得出结果.【详解】由，得 ，令 ，得，两边取常用对数，得，故.故答案为.【点睛】本题考查对数的应用，解题的关键就是在指数式两边取已知底数的对数，利用对数的运算性质求解，考查计算能力，属于中等题.12．（2023·上海高一单元测试）已知，，用、表示__________.【答案】【分析】由换底公式得出，，由此可解出.【详解】由换底公式得，，.故答案为.【点睛】本题考查利用换底公式来表示对数，解题时要注意将问题中所涉及的对数用同底数的对数来表示，明确真数与真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.二、选择题：13．（2023·华东师范大学第三附属中学高一期中），则的值为（ ）A． B．4 C．1 D．或1【答案】C【分析】由对数的运算性质，得到，整理得，进而得到，结合，即可求解.【详解】由，可得，其中则，整理得，即，解得或，又因为，可得，所以.故选：C.14．（2023·江苏海安高级中学高一期中）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a【答案】D【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.又∵，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.15．（2023·上海财经大学附属中学高一期中）若，则的最小值为（ ）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】由，得，且，又由，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为，即，所以，，等式两边同时除以得，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.16．（2023·上海市实验学校）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简表达式，推出的式子，通过函数的值域，求解的范围即可.【详解】关于x的方程有实数根，可得，令，所以，因为，所以，故选：D.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数与方程的应用问题，解题思路如下：（1）根据方程有实根，化简是指，得到；（2）换元，将其转化为二次函数在某个区间上的值域求解.第Ⅱ卷三、解答题：17．（2023·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；（2）已知，试用表示对数.【答案】（1）-12；（2）.【分析】（1）利用对数运算求得正确结论.（2）利用对数运算求得正确结论.【详解】（1）原式.（2）.18．（2023·江苏高一专题练习）（1）计算：；（2）.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用对数的运算法则化简求值；（2）利用指数幂的运算法则化简求值.【详解】（1）解：原式．（2）解：原式.【点睛】本题主要考查对数和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（2023·全国高一专题练习）已知.（1）试比较与的大小；（2）当时，证明：，并指出等号成立的条件；（3）判断“”是“”的什么条件？并说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析，等号成立的条件；（3）分非必要条件，理由见解析【分析】（1）作差、分解因式、然后判断差的符号，进而可得结论；（2）由，可得，展开后利用基本即可得答案；（3）根据基本不等式等号成立的条件可得充分性成立，根据基本不等式等号成立的条件可得必要性不成立.【详解】(1)()=因为，所以；大于等于；(2)因为，所以=，当时等号成立;时等号成立，因为所以.所以，当且仅当时等号成立.(3)因为，所以，时等号成立；，时等号成立.因为，所以，，把，代入式中，等号成立，所以“”是“”充分条件；化简得，所以，把带入后得.所以“”是“”充分非必要条件.20．（2023·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析.【分析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果；（2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果；（3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论.【详解】（1）如果，且，，那么，化为对数式得；（2）设，所以，因为，所以，所以，所以的位数为6677；（3）根据题意得，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以甲同学的近似值更接近.【点睛】关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键.21．（2023·全国（文））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）【答案】（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【分析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.【详解】（1）由题意得：，，∴当时，，即，解得，∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意得，，整理得：，即，两边同时取常用对数，得：，整理得：，将代入，得，又，∴，综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.