（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第四章综合测试卷（B卷 能力提升）学生版+教师版

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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第四章 幂函数、指数函数与对数函数（B能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020 第四章 幂函数、指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：1．函数（且）恒过的定点坐标为__________2．幂函数的图象过点，则的解析式为_______________．3．函数的定义域为______．4．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度变为原来的强度的以下? 5．已知，，化简：________6．函数的定义域是__________．7．若，则的最小值为___________.8．函数的单词递增区间是_________.9．已知函数，若，则 _________.10．已知，若函数的图象经过点，则________.11．自然对数的底数是一个无限不循环小数，其值为2.71828…，已知函数，若存在三个不同的实数，使得，则的取值范围为_________.12．求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为____________．二、选择题：13．已知x，y为正实数，则（　　）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy14．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．15．设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）A． B． C． D．16．关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限；②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称；③当k＞0时，函数y=xk是增函数；④y=xk的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点其中正确的命题个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题：17．已知幂函数（实数）的图像关于轴对称，且.（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.18．已知函数.(且).（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式的解集为，求的值；（3）设的反函数为，若，解关于的不等式.19．已知函数，其中为实常数.（1）若，解关于的方程；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.20．已知函数的定义域为，对于定义域内的任意实数，有成立，且时，.（1）当时，求函数的最大值；（2）当时，求函数的最大值；（3）已知（实数），求实数的最小值.21．已知函数，，且.（1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值；（2）设的反函数为，若，试确定的取值范围；（3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第四章 幂函数、指数函数与对数函数（B能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020 第四章 幂函数、指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：1．函数（且）恒过的定点坐标为__________【答案】【分析】令，求得，即可得到答案.【详解】由题意，令，解得，所以函数（且）恒过的定点坐标为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象过定点问题，其中解答中熟记指数幂的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．幂函数的图象过点，则的解析式为_______________．【答案】【详解】由待定系数法得，所以3．函数的定义域为______．【答案】【分析】根据对数函数的定义，列出满足条件的不等式，求出解集，即可得到函数的定义域．【详解】由题意，函数，则，解得或， ∴函数的定义域为． 故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及对数函数的定义与性质的应用，其中解答中熟记函数定义域的定义，以及对数函数的定义与性质，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度变为原来的强度的以下? 【答案】11【分析】设一共需要块玻璃,再根据题意表达出对应的不等式再求解即可.【详解】由题意,设一共需要块玻璃,则 ,即,两边取对数有,因为,所以代入得,故至少需要11块故答案为11【点睛】本题主要考查了指数与对数函数的实际运用题,需要设未知量进行列式与不等式的求解,属于中等题型.5．已知，，化简：________【答案】【分析】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可.【详解】，，则.故答案为：.6．函数的定义域是__________．【答案】【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】要使函数=有意义,则,解得,即函数=的定义域为.故答案为．【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．7．若，则的最小值为___________.【答案】.【分析】根据指数式与对数式的互化公式，求出关系式，利用基本不等式求解即可.【详解】由题意，可得：，，当且仅当时取等号.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查了对数式与指数式的互化公式，考查了数学运算能力.8．函数的单词递增区间是_________.【答案】【分析】先求的定义域，再通过的单调增区间求函数的单词递增区间．【详解】解：函数的定义域为，在区间内，由复合函数的单调性得函数的单词递增区间即为函数的单调增区间，即为，故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题．9．已知函数，若，则 _________.【答案】2【详解】试题分析：已知条件为，待求式为.考点：对数的运算法则.10．已知，若函数的图象经过点，则________.【答案】【分析】由可求得的值，利用对数的运算性质可求得的值.【详解】，可得，由于且，解得，，因此，.故答案为：.11．自然对数的底数是一个无限不循环小数，其值为2.71828…，已知函数，若存在三个不同的实数，使得，则的取值范围为_________.【答案】【分析】首先画出函数的图象，根据条件可知，再根据图象求的取值范围，再求的取值范围.【详解】如图，画出函数的图象，设，由图象的对称性可知，时，，时，，所以，即的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.12．求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为____________．【答案】【解析】类比上述解题思路,设f(x)=x3+x,由于f′(x)=3+1⩾0,则f(x)在R上单调递增，由即()3+=(2x+3)3+2x+3，∴=2x+3，解之得，x=−1或x=3.所以方程的解集为{−1,3}.故答案为.二、选择题：13．已知x，y为正实数，则（　　）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【答案】D【详解】因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．14．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数单调性,结合对数型复合函数单调性的性质,可得.再根据对数的定义域要求,即可求得,综上可得的取值范围.【详解】由 可知为单调递减函数由复合函数单调性性质可知,当为减函数时对数部分为增函数,即由对数定义域的要求可知,在时恒成立所以当时,满足解得 综上可知, ,即故选:B【点睛】本题考查了复合函数单调性的性质及参数求法,注意定义域的要求,属于中档题.15．设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.【详解】因为,分别是函数和的零点则,分别是和的解所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标所以交点分别为 因为所以,由于函数与函数和函数都关于对称所以点与点关于对称因为关于对称的点坐标为所以 即,且所以,由于,所以不能取等号因为所以即故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.16．关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限；②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称；③当k＞0时，函数y=xk是增函数；④y=xk的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点其中正确的命题个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据幂函数的图像与性质，举反例即可判断正误.【详解】关于幂函数y=xk及其图象：①其图象一定不通过第四象限；因为x＞0时，y=xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确；②当k＜0时，如幂函数y=x﹣2其图象不关于直线y=x对称；故错误；③当k＞0时，函数y=xk是增函数；如k=2，不成立，故错误；④如和有1个交点，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查幂函数的图像与性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.三、解答题：17．已知幂函数（实数）的图像关于轴对称，且.（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），； （2）.【分析】（1）由，得到，从而得到，又由，得出的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到且，由此即可求解实数的取值范围.【详解】（1）由题意，函数（实数）的图像关于轴对称，且，所以在区间为单调递减函数，所以，解得，又由，且函数（实数）的图像关于轴对称，所以为偶数，所以，所以.（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递减函数，所以不等式，等价于且，解得或，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．已知函数.(且).（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式的解集为，求的值；（3）设的反函数为，若，解关于的不等式.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）或；（3）当时，解集为；当时，解集为.【分析】（1）用定义法判断奇偶性；（2）由的解集为转化为为方程的根，解得a；（3）先求出反函数，解得a=2，然后解不等式即可.【详解】解：的定义域为（1）为奇函数.∵，∴为奇函数.（2）∵，∴的解集为即为的解集为∴为方程的根，即，解得：或.（3）∵，∴.∵，解得：a=2∴即为∴当时，，而，∴当时，解得：综上：当时，解集为；当时，解集为.【点睛】（1）证明函数的奇偶性用定义法；（2）不等式对应的解集是用不等式对应方程的根表示；19．已知函数，其中为实常数.（1）若，解关于的方程；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）或（2）当时，函数为奇函数，当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据,代入可求得的值.即可得的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出.根据奇偶性定义即可求得的值,即可判断奇偶性.【详解】（1）因为代入可得,解得所以则可化为化简可得即解得或 （2）则当时,,此时,函数为奇函数当时,,,此时,函数为偶函数当时,与都不能成立,所以函数为非奇非偶函数综上可知, 当时,为奇函数;当时,为偶函数;当时, 函数为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题.20．已知函数的定义域为，对于定义域内的任意实数，有成立，且时，.（1）当时，求函数的最大值；（2）当时，求函数的最大值；（3）已知（实数），求实数的最小值.【答案】（1）4 （2）5.6 （3）【分析】（1）根据定义可知,依次代入各段定义域,即可求得当时函数的解析式,即可求得最大值.（2）先判断出,并求得当时的解析式,根据函数单调性,代入即可求解.（3）求得当时的解析式,根据,代入解析式,并结合,即可求得的最小值及的最小值.【详解】（1）因为函数的定义域为,对于定义域内的任意实数,有成立,则当时,.值域为 当时,,值域为当时,,值域为综上可知,当时,函数的最大值为.（2）由（1）可知当时,且函数为单调递增函数所以最大值为故最大值为 （3）由（1）可知,当时,而,所以则设,则所以,,则所以的最小值为【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法,抽象函数解析式关系的应用,根据函数的单调性求最值,复杂方程的解法,属于难题.21．已知函数，，且.（1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值；（2）设的反函数为，若，试确定的取值范围；（3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.【答案】（1）2 （2） （3）【分析】（1）将代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于的方程,化简后即可求得一个的值.（2）根据所给,可求得反函数解析式.根据不等式,先求得右端的最小值及相应的,将代入左段并解不等式即可求得的取值范围（3）代入可得反函数解析式.将反函数解析代入,即可求得的解析式.利用换元法,将化为的表达式.结合反比例函数单调性及不等式,即可求得的取值范围.【详解】（1）为整数, 且.且代入可得即化简可得则所以故满足条件的的值可以是（2）的反函数为则令,代入可得则,所以平方化简可得 所以则成立,则即可令,令,即,由打勾函数图像与性质可知当时为单调递增函数所以当时则不等式化为即,且且.化简可得 即,解得 综上可知,的取值范围为（3）由（2）可知当时, 代入可得令 则当,即时,函数在上单调递增所以此时的值域为若满足对一切实数,,,不等式恒成立则只需即可,解得 当,即时, ,不等式恒成立当时,即.函数在上单调递减此时函数的值域为若满足对一切实数,,,不等式恒成立则只需,解不等式可得 综上所述, 的取值范围为【点睛】本题考查了对数方程的化简求解,指数方程的解法,反函数的求法及性质应用,不等式恒成立问题的解法,换元法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.