（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.1 幂函数（课时训练）原卷版+解析

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专题4.1 幂函数A组 基础巩固1．（2023·全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．2．（2011·江苏江阴·高一期中）已知幂函数的图像过点，则___________.3．（2023·全国高一单元测试）已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．4．（2023·全国高一单元测试）已知幂函数在上单调递减，则___________.5．（2023·全国高一专题练习）已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______..6．（2023·江苏鼓楼·金陵中学高一月考）已知幂函数的图像不过原点，则实数m的值为__________.7．（2023·上海杨浦·复旦附中高一期末）幂函数为偶函数，且在上是减函数，则____．8．（2022·上海高三专题练习）设，若，且，则取值的集合是___________.9．（2023·上海高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．10．（2022·上海高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．11．（2023·上海市控江中学高一期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是__________（填写全部正确的编号）12．（2023·华东师范大学第一附属中学高一期中）已知，若幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，则____________.13．（2023·湖北襄城·襄阳四中高三月考）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（　　）A．（﹣∞，0） B．（0，1）C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）14．（2023·全国高一单元测试）已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（ ）A．64 B． C． D．15．（2023·全国高一课前预习）已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（ ）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2B组 能力提升16．（2022·全国高三专题练习）幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是A． B．C． D．17．（2023·全国高一课时练习）幂函数()的图像如图所示，则的值为（ ）A． B．C． D．18．（2023·全国高一课前预习）幂函数在上单调递增，则的值为（ ）A． B． C． D．或19．（2023·全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）A． B． C．1 D．或120．（2023·上海市第二中学高一期末）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.21．（2023·上海高一专题练习）若幂函数的定义域为．（1）求实数的值；（2）作出此幂函数的大致图象．专题4.1 幂函数A组 基础巩固1．（2023·全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．【答案】【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果.【详解】幂函数可设为，图象过点，则，则，所以.故答案为：.2．（2011·江苏江阴·高一期中）已知幂函数的图像过点，则___________.【答案】【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入求值即可;【详解】解：设幂函数，幂函数的图象过点，，解得，，，故答案为：．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.3．（2023·全国高一单元测试）已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．【答案】3【分析】根据幂函数的定义及单调性即可得出答案.【详解】解：因为函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，所以，解得m＝3.所以数m的值是3.故答案为：3.4．（2023·全国高一单元测试）已知幂函数在上单调递减，则___________.【答案】【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意，解得或，若，则函数为，在上递增，不合题意．若，则函数为，满足题意．故答案为：．5．（2023·全国高一专题练习）已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.【答案】2【分析】令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或，再结合幂函数的性质，即可求解.【详解】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或，当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，在(0，+∞)上单调递减，满足题意；当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+∞)上单调递增，不满足题意，所以实数m=2.故答案为：2.6．（2023·江苏鼓楼·金陵中学高一月考）已知幂函数的图像不过原点，则实数m的值为__________.【答案】3【分析】先由幂函数的定义求出或，再检验得解.【详解】依题意得，解得或．当时，，其图像经过原点，不符合题意；当时，，其图像不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3．故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．（2023·上海杨浦·复旦附中高一期末）幂函数为偶函数，且在上是减函数，则____．【答案】3【分析】由幂函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且．解出即可．【详解】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，∴，且为偶数，，且.解得，，1，2，且,只有时满足为偶数.∴.故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.8．（2022·上海高三专题练习）设，若，且，则取值的集合是___________.【答案】【分析】根据不能是奇函数排除和，再利用幂函数的性质排除2即可得出.【详解】若，且，则幂函数的图象一定在的上方，故不可能为奇函数，即不能取和，当取时，是偶函数，故只需满足即可， 此时，即，则，即，则可取，故取值的集合是.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点，以及不同幂函数的图象特点.9．（2023·上海高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．【答案】【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点.【详解】因为幂函数过点，可解得，所以，故，当时，，故恒过定点.故答案为【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，函数过定点，属于中档题.10．（2022·上海高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.【详解】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．故答案为：11．（2023·上海市控江中学高一期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是__________（填写全部正确的编号）【答案】②④【分析】本题可根据函数的定义域以及是否满足判断函数是否关于轴对称.【详解】①：，，不关于轴对称；②：，，满足，关于轴对称；③：，，不满足，不关于轴对称；④：，，满足，关于轴对称，故答案为：②④.12．（2023·华东师范大学第一附属中学高一期中）已知，若幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，则____________.【答案】【分析】根据幂函数单调性，先确定，再根据条件，分别判定，，三种情况，即可得出结果.【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，则，若，则，其定义域为，图象不可能关于原点成中心对称，排除；若，则，其定义域为，且，所以是奇函数，其图象关于原点成中心对称，满足题意；若，则，其定义域为，而，所以是偶函数，且不满足，所以不关于原点成中心对称，排除；故答案为：.13．（2023·湖北襄城·襄阳四中高三月考）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（　　）A．（﹣∞，0） B．（0，1）C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）【答案】C【分析】设幂函数f（x）＝xα，由题意求得α的值，可得不等式然后解具体的不等式求得x的范围．【详解】解：设幂函数f（x）＝xα，由于它的图象过点（64，2），∴2＝64α，∴α＝，f（x）＝．则f（x）＜f（x2），即，∴0≤x＜x2，∴x＞1，故原不等式的解集为（1，+∞），故选：C．14．（2023·全国高一单元测试）已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（ ）A．64 B． C． D．【答案】D【分析】设幂函数，结合已知条件求出的值，进而可以求出结果.【详解】幂函数的图象过点，，解得，，（4），故选：.15．（2023·全国高一课前预习）已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（ ）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2【答案】C【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m的可能值，然后再进行检验.【详解】∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1，1，3.故选：C.B组 能力提升16．（2022·全国高三专题练习）幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是A． B．C． D．【答案】C【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．【详解】设幂函数的解析式为y=xa，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴2=4a，解得a=∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．故选C．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．17．（2023·全国高一课时练习）幂函数()的图像如图所示，则的值为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由幂函数()的图像关于轴对称，且在上是减函数，列出关于的不等式，可得答案.【详解】解：由图像可得函数在第一象限为减函数，∴，即，又，∴、、；代入知当时为偶函数，满足题意，故选C.【点睛】本题主要考查幂函数的性质与应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.18．（2023·全国高一课前预习）幂函数在上单调递增，则的值为（ ）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值．【详解】解：幂函数在上单调递增，，且，解得或，当时符合题意；当时不符合题意；故选：．19．（2023·全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）A． B． C．1 D．或1【答案】A【分析】由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．【详解】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，故选：A20．（2023·上海市第二中学高一期末）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.【分析】（1）由题意可得：，解不等式结合即可求解；（2）由（1）可得，分别讨论、、且时奇偶性即可求解.【详解】（1）因为幂函数（）在是严格减函数，所以，即 ，解得：，因为，所以，当时，，此时为奇函数，不符合题意；当时，，此时为偶函数，符合题意；当时，，此时为奇函数，不符合题意；所以，（2），令当时，，，此时是奇函数，当时，，此时是偶函数，当且时，，，，，此时是非奇非偶函数函数.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用幂函数的单调性求出可能性的取值，再利用奇偶性可确定的值，即可求解析式，第（2）问注意讨论的值.21．（2023·上海高一专题练习）若幂函数的定义域为．（1）求实数的值；（2）作出此幂函数的大致图象．【答案】（1）； （2）图象见解析.【分析】（1）根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值；（2）由（1）知，函数，根据函数的奇偶性和幂函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，幂函数的定义域为，可得，即，解得或，当时，函数，此时函数的定义域为且，不符合题意；当时，函数，此时函数的定义域为，符合题意，所以实数的值.（2）由（1）知，幂函数的解析式为，则满足，所以函数为偶函数，结合幂函数的图象与性质，可得函数图象如图所示：