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数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课时训练
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这是一份数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课时训练，共27页。试卷主要包含了1 平面向量的概念，向量，数量，共线向量等内容，欢迎下载使用。
【考点梳理】
考点一 向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
考点二 向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
考点三：.模、零向量、单位向量
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
考点四： 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【题型归纳】
题型一：平面向量的概念
1．（2023·全国·高一）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
2．（2023·全国·高一课时练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·全国·高一课时练习）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型二：向量的模
4．（2023·全国·高一课时练习）已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0B．C．D．
5．（2023·全国·高一课时练习）已知、为非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．即非充分又非必要条件
6．（2023·山东枣庄·高一期中）已知非零向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，为单位向量，则
C．若且与同向，则D．
题型三：零向量和单位向量
7．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则E.
8．（2023·全国·高一）下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①②B．②③C．②④D．①④
9．（2023·全国·高一课时练习）下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2B．3C．4D．5
题型四：相等向量和平行（共线）向量
10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
12．（2023·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且同向，则＞
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
【双基达标】
一：单选题
13．（2023·全国·高一课时练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
14．（2023·全国·高一课时练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
15．（2023·天津市新华中学高一阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则、、、四点构成平行四边形
B．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
C．若、都是单位向量，则
D．向量与是两平行向量
16．（2023·湖南省邵东市第三中学高一期中）下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； （2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则； （4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同
A．4B．3C．2D．1
17．（2023·云南隆阳·高一期中）下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
18．（2023·河北省盐山中学高一阶段练习）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
19．（2023·四川乐山·高一期末）如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·河北·唐山市第十一中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足，且与同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则、、、四点共线
21．（2023·安徽·合肥一中高一期中）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
22．（2023·安徽·高一期中）已知向量，为非零向量，有以下四个命题：
甲：；乙：；丙：与的方向相反；丁：．
若以上关于向量，的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·安徽·高一期中）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·天津河北·高一期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若向量与都是单位向量，则
C．若向量与是平行向量，则与的方向相同
D．若两个向量相等，则它们的模相等
25．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题：①向量与是相等向量；②共线的单位向量是相等向量；③模为零的向量与任一向量共线；④两平行向量所在直线互相平行．其中不正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
26．（2023·全国·高一课时练习）关于平面向量，给出下列命题：
①若，，则
②若∥，∥，则∥
③若，，则∥
④的充要条件是||＝||且∥
其中正确命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
27．（2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）
A．9B．11
C．18D．24
28．（2023·全国·高一课时练习）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
29．（2023·上海·高一单元测试）以下命题：①与是否相等与的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
30．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则与的方向相同或相反D．若、共线，则、、三点共线
31．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
32．（2023·山东·济南一中高一期中）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C．若，则
D．对任一非零向量是一个单位向量
33．（2023·重庆市清华中学校高一阶段练习）设为单位向量，下列命题是假命题的为（ ）
A．若 为平面内的某个向量，则
B．若与平行，则
C．若与平行且，则
D．若为单位向量，则
34．（2023·辽宁沈阳·高一开学考试）下列说法错误的有（ ）
A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同
B．在中，必有
C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点
D．若，均为非零向量，则
35．（2023·江苏·高一课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是（ ）
A．与相等的向量(不含)只有一个
B．与的模相等的向量(不含)有9个
C．的模是的模的倍
D．与不共线
36．（2023·重庆·长寿川维中学校高一阶段练习）下面的命题正确的有（ ）.
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若、、、是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
37．（2023·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
38．（2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量一定是相等向量；
③相反向量一定不相等；
④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，
⑤模为0的向量方向是不确定的．
39．（2023·全国·高一课时练习）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
40．（2023·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
41．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:
①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
42．（2023·全国·高一课时练习）1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在的相反向量？
43．（2023·全国·高一课时练习）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．
（1）共线向量？
（2）相反向量？
（3）相同的向量？
（4）模相等的向量？
44．（2020·全国·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
45．（2023·全国·高一专题练习）判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若，则一定不与共线；
②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有；
④若向量与任一向量平行，则=；
⑤若=，=，则=；
⑥若，，则.
【答案详解】
1．A
【分析】
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
2．B
【分析】
根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．
【详解】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
3．A
【分析】
由零向量、相等向量、共线向量及向量的概念判断各项的正误.
【详解】
①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
4．D
【分析】
根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得
，由向量模的公式计算可得答案.
【详解】
如图，因为正方形的边长为1， , ,，
，
，
故选：D
5．A
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.
【详解】
由题意知，
充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；
必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.
因此，“”是“”充分而不必要条件.
故选：A.
6．A
【分析】
根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，
对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，
对C，因为两向量不能比较大小，故C错，
对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，
故选：A
7．C
【分析】
利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.
【详解】
对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；
对于B，单位向量，故B错误；
对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；
对于E，，故E错误；
故选：C
8．D
【分析】
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
9．A
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
10．D
【分析】
方向相同，模长相等的向量为相等向量.
【详解】
AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.
故选：D
11．B
【分析】
利用向量的有关概念判断.
【详解】
①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；
②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；
③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；
④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
12．C
【分析】
因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.
【详解】
对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：C.
13．C
【分析】
既有方向，又有大小的量为向量
【详解】
①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
14．C
【分析】
根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.
【详解】
由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；
故选：C
15．D
【分析】
利用共线向量的定义可判断A选项的正误；利用向量相等的定义可判断BC选项的正误；利用平行向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错；
对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错；
对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错；
对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对.
故选：D.
16．D
【分析】
根据向量的定义即可判断.
【详解】
根据相等向量的定义可知（1）正确；
两个向量方向相反时不相等，（2）错误；
若，则，（3）错误；
向量可以平移，（4）错误.
故选：D.
17．B
【分析】
由平面向量的相关概念判断.
【详解】
A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B
18．B
【分析】
利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
19．B
【分析】
本题可通过相等向量的性质得出结果.
【详解】
A项：与方向不同，A错误；
B项：因为、分别是、的中点，所以且，
故，B正确；
C项：与方向相反，C错误；
D项：与方向相反，D错误，
故选：B.
20．C
【分析】
由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．
【详解】
对于A：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
对于B：若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；
对于C：若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
对于D：若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．
故选：C．
21．D
【分析】
结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；
对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；
对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，
所以是成立的充分条件，故选项D正确；
故选：D.
22．A
【分析】
分析可知甲与乙肯定有一个不正确，再分类讨论即可得解.
【详解】
由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，
若甲正确，则丙也不正确，不合题意；
若甲错误，乙、丙、丁可以同时正确；
故甲不正确．
故选：A.
23．D
【分析】
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意，，.
故选：D.
24．D
【分析】
根据向量相等、单位向量、平行向量的概念进行判断.
【详解】
A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；
B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；
C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；
D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，
故选：D.
25．C
【分析】
根据向量的概念和共线向量，逐个分析判断，即可得解.
【详解】
对于①，向量与是相反向量，不一定是相等向量，①错误；
对于②，共线的单位向量不一定是相等向量，也可能是相反向量，②错误；
对于③，模为零的向量是零向量，它与任一向量共线，③正确；
对于④，两平行向量所在直线不一定互相平行，也可能重合，④错误；
综上，其中不正确的是①②④．
故选：C．
26．B
【分析】
根据向量的相等、平行以及垂直关系，逐项判断，即可得解.
【详解】
在①中，由向量相等的定义得：若，，则，故①正确；
在②中，，，则当是零向量时，，不一定平行，故②错误；
在③中，平面向量中，若，，则，一定平行，故③正确；
在④中，⇒||＝||且，
||＝||且⇒或，
∴的充分非必要条件是||＝||且，故④错误．
故选：B．
27．D
【分析】
由图形，根据共线和平行关系，先求所有方向上的相等向量，再改变方向，即可得到所有情形.
【详解】
如图，
由已知可得，
，，，，
有12对相等的向量，
改变其方向，又有12对相等的向量，共24对，
故选：D.
28．C
【分析】
根据图像，直接判断即可.
【详解】
由图可知，根据正六边形的性质，
与共线的有，，，共3个，
故选：C.
29．C
【分析】
根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义、向量的性质逐一判断即可.
【详解】
①:两个向量模是否相等与这两向量的方向无关，故本命题正确；
②：有公共终点的向量，但是当夹角不为零角和夹角时，这两个向量就不是共线向量，故本命题不正确；
③：两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小，故本命题正确；
④：单位向量只说明向量的模为1，不能说明向量的方向，所以本命题不正确，
故选：C
30．BD
【分析】
取可判断AC选项的正误；利用向量相等的定义可判断B选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；
对于B选项，若，，则，B对；
对于C选项，若，，则的方向任意，C错；
对于D选项，若、共线且、共点，则、、三点共线，D对.
故选：BD.
31．BC
【分析】
对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线
【详解】
对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选：BC
32．AC
【分析】
根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.
【详解】
对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正确；
对于B：因为与是非零向量，若，则与的方向相同或相反，故选项B正确；
对于C：当时，若，与是任意向量；故选项C不正确；
对于D：对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，所以是的一个单位向量，故选项D正确；
所以叙述中错误的是AC，
故选：AC.
33．ABC
【分析】
根据平行向量的定义、平面向量的定义进行判断即可.
【详解】
向量是既有大小又有方向的量，，的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；
若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故B、C也是假命题．
由为单位向量，为单位向量，则，故D正确.
故选：ABC
34．ACD
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故错误；
对于：在中，必有，故正确；
对于：若，则，，一定为一个三角形的三个顶点，
或、、三点共线时，也成立，故错误；
对于，均为非零向量，则，故错误；
故选：．
35．ABC
【分析】
根据向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为，所以与相等的向量只有，所以A正确；
与向量的模相等的向量有：，所以B正确；
在直角中，因为，所以，所以，
所以C正确；
因为，所以与是共线向量，所以D不正确.
故选：ABC.
36．AD
【分析】
根据向量的概念：方向相反或相同的非零向量共线，模相等且方向相同的向量相等，向量除了相等的情况不能比较大小，即可判断选项正误；
【详解】
方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
、、、是不共线的点，，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查了向量的基本概念，需要理解向量共线、相等的条件，属于简单题；
37． 、、、、、、、; 、、
【分析】
根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】
（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；
（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;
（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.
故答案为： ；、、、、、、、；、、
38．④⑤
【分析】
根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当为平行四边形时，可得，所以④正确．
由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
39．5
【分析】
由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数.
【详解】
由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
40．②③
【分析】
根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.
故答案为：②③
41．①②④⑤
【分析】
根据平面向量的概念几何平面图形的性质逐个分析即可求出结果.
【详解】
①由两菱形的边长都为1，故①正确;②正确;③与相等的向量是，故③错误;④与共线的向量是，故④正确;⑤正确.
故答案为：①②④⑤
42．
（1）11个
（2）存在
【分析】
（1）正六边形由对角线分割为六个全等的等边三角形，进而求出向量长度相等的向量；（2）相反向量即模长相等，方向相反的两个向量
（1）
与向量长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11个
（2）
存在，是的相反向量
43．
（1）与共线，与共线
（2）与
（3）无相同向量
（4）
【分析】
（1）利用共线向量的定义判断，
（2）利用相反向量的定义判断，
（3）利用相同向量的定义判断，
（4）求出各个向量的模进行判断
（1）
与共线，与共线
（2）
与是相反向量
（3）
图中无方向相同的向量，所以向量，，，，中无相同的向量
（4）
由图可知，
所以模相等的向量为
44．（1）见解析；（2）米
【分析】
（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】
（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】
本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
45．答案见解析
【分析】
根据共线向量的概念判断①，由四点在一条直线上特殊情况判断②，根据平行四边形及向量相等的概念判断③，由零向量的性质判断④，根据相等向量判断⑤，由特殊情况判断⑥.
【详解】
①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
③在平行四边形ABCD中，，与平行且方向相同，故，③正确；
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；
⑤=，则||=||且与方向相同；=，则||=||且与方向相同，则与方向相同且模相等，故=，⑤正确；
⑥若=，由于的方向与的方向都是任意的，可能不成立；≠时，成立，故⑥不正确.
【考点梳理】
考点一 向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
考点二 向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
考点三：.模、零向量、单位向量
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
考点四： 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【题型归纳】
题型一：平面向量的概念
1．（2023·全国·高一）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
2．（2023·全国·高一课时练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·全国·高一课时练习）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型二：向量的模
4．（2023·全国·高一课时练习）已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0B．C．D．
5．（2023·全国·高一课时练习）已知、为非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．即非充分又非必要条件
6．（2023·山东枣庄·高一期中）已知非零向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，为单位向量，则
C．若且与同向，则D．
题型三：零向量和单位向量
7．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则E.
8．（2023·全国·高一）下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①②B．②③C．②④D．①④
9．（2023·全国·高一课时练习）下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2B．3C．4D．5
题型四：相等向量和平行（共线）向量
10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
12．（2023·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且同向，则＞
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
【双基达标】
一：单选题
13．（2023·全国·高一课时练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
14．（2023·全国·高一课时练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
15．（2023·天津市新华中学高一阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则、、、四点构成平行四边形
B．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
C．若、都是单位向量，则
D．向量与是两平行向量
16．（2023·湖南省邵东市第三中学高一期中）下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； （2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则； （4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同
A．4B．3C．2D．1
17．（2023·云南隆阳·高一期中）下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
18．（2023·河北省盐山中学高一阶段练习）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
19．（2023·四川乐山·高一期末）如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·河北·唐山市第十一中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足，且与同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则、、、四点共线
21．（2023·安徽·合肥一中高一期中）设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
22．（2023·安徽·高一期中）已知向量，为非零向量，有以下四个命题：
甲：；乙：；丙：与的方向相反；丁：．
若以上关于向量，的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·安徽·高一期中）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·天津河北·高一期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若向量与都是单位向量，则
C．若向量与是平行向量，则与的方向相同
D．若两个向量相等，则它们的模相等
25．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题：①向量与是相等向量；②共线的单位向量是相等向量；③模为零的向量与任一向量共线；④两平行向量所在直线互相平行．其中不正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
26．（2023·全国·高一课时练习）关于平面向量，给出下列命题：
①若，，则
②若∥，∥，则∥
③若，，则∥
④的充要条件是||＝||且∥
其中正确命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
27．（2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）
A．9B．11
C．18D．24
28．（2023·全国·高一课时练习）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
29．（2023·上海·高一单元测试）以下命题：①与是否相等与的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
30．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则与的方向相同或相反D．若、共线，则、、三点共线
31．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
32．（2023·山东·济南一中高一期中）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C．若，则
D．对任一非零向量是一个单位向量
33．（2023·重庆市清华中学校高一阶段练习）设为单位向量，下列命题是假命题的为（ ）
A．若 为平面内的某个向量，则
B．若与平行，则
C．若与平行且，则
D．若为单位向量，则
34．（2023·辽宁沈阳·高一开学考试）下列说法错误的有（ ）
A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同
B．在中，必有
C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点
D．若，均为非零向量，则
35．（2023·江苏·高一课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是（ ）
A．与相等的向量(不含)只有一个
B．与的模相等的向量(不含)有9个
C．的模是的模的倍
D．与不共线
36．（2023·重庆·长寿川维中学校高一阶段练习）下面的命题正确的有（ ）.
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若、、、是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
37．（2023·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
38．（2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量一定是相等向量；
③相反向量一定不相等；
④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，
⑤模为0的向量方向是不确定的．
39．（2023·全国·高一课时练习）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
40．（2023·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
41．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:
①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
42．（2023·全国·高一课时练习）1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在的相反向量？
43．（2023·全国·高一课时练习）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．
（1）共线向量？
（2）相反向量？
（3）相同的向量？
（4）模相等的向量？
44．（2020·全国·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
45．（2023·全国·高一专题练习）判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若，则一定不与共线；
②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有；
④若向量与任一向量平行，则=；
⑤若=，=，则=；
⑥若，，则.
【答案详解】
1．A
【分析】
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
2．B
【分析】
根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．
【详解】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
3．A
【分析】
由零向量、相等向量、共线向量及向量的概念判断各项的正误.
【详解】
①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
4．D
【分析】
根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得
，由向量模的公式计算可得答案.
【详解】
如图，因为正方形的边长为1， , ,，
，
，
故选：D
5．A
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.
【详解】
由题意知，
充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；
必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.
因此，“”是“”充分而不必要条件.
故选：A.
6．A
【分析】
根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，
对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，
对C，因为两向量不能比较大小，故C错，
对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，
故选：A
7．C
【分析】
利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.
【详解】
对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；
对于B，单位向量，故B错误；
对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；
对于E，，故E错误；
故选：C
8．D
【分析】
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
9．A
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
10．D
【分析】
方向相同，模长相等的向量为相等向量.
【详解】
AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.
故选：D
11．B
【分析】
利用向量的有关概念判断.
【详解】
①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；
②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；
③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；
④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
12．C
【分析】
因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.
【详解】
对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：C.
13．C
【分析】
既有方向，又有大小的量为向量
【详解】
①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
14．C
【分析】
根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.
【详解】
由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；
故选：C
15．D
【分析】
利用共线向量的定义可判断A选项的正误；利用向量相等的定义可判断BC选项的正误；利用平行向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错；
对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错；
对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错；
对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对.
故选：D.
16．D
【分析】
根据向量的定义即可判断.
【详解】
根据相等向量的定义可知（1）正确；
两个向量方向相反时不相等，（2）错误；
若，则，（3）错误；
向量可以平移，（4）错误.
故选：D.
17．B
【分析】
由平面向量的相关概念判断.
【详解】
A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B
18．B
【分析】
利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
19．B
【分析】
本题可通过相等向量的性质得出结果.
【详解】
A项：与方向不同，A错误；
B项：因为、分别是、的中点，所以且，
故，B正确；
C项：与方向相反，C错误；
D项：与方向相反，D错误，
故选：B.
20．C
【分析】
由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．
【详解】
对于A：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
对于B：若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；
对于C：若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
对于D：若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．
故选：C．
21．D
【分析】
结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；
对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；
对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，
所以是成立的充分条件，故选项D正确；
故选：D.
22．A
【分析】
分析可知甲与乙肯定有一个不正确，再分类讨论即可得解.
【详解】
由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，
若甲正确，则丙也不正确，不合题意；
若甲错误，乙、丙、丁可以同时正确；
故甲不正确．
故选：A.
23．D
【分析】
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意，，.
故选：D.
24．D
【分析】
根据向量相等、单位向量、平行向量的概念进行判断.
【详解】
A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；
B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；
C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；
D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，
故选：D.
25．C
【分析】
根据向量的概念和共线向量，逐个分析判断，即可得解.
【详解】
对于①，向量与是相反向量，不一定是相等向量，①错误；
对于②，共线的单位向量不一定是相等向量，也可能是相反向量，②错误；
对于③，模为零的向量是零向量，它与任一向量共线，③正确；
对于④，两平行向量所在直线不一定互相平行，也可能重合，④错误；
综上，其中不正确的是①②④．
故选：C．
26．B
【分析】
根据向量的相等、平行以及垂直关系，逐项判断，即可得解.
【详解】
在①中，由向量相等的定义得：若，，则，故①正确；
在②中，，，则当是零向量时，，不一定平行，故②错误；
在③中，平面向量中，若，，则，一定平行，故③正确；
在④中，⇒||＝||且，
||＝||且⇒或，
∴的充分非必要条件是||＝||且，故④错误．
故选：B．
27．D
【分析】
由图形，根据共线和平行关系，先求所有方向上的相等向量，再改变方向，即可得到所有情形.
【详解】
如图，
由已知可得，
，，，，
有12对相等的向量，
改变其方向，又有12对相等的向量，共24对，
故选：D.
28．C
【分析】
根据图像，直接判断即可.
【详解】
由图可知，根据正六边形的性质，
与共线的有，，，共3个，
故选：C.
29．C
【分析】
根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义、向量的性质逐一判断即可.
【详解】
①:两个向量模是否相等与这两向量的方向无关，故本命题正确；
②：有公共终点的向量，但是当夹角不为零角和夹角时，这两个向量就不是共线向量，故本命题不正确；
③：两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小，故本命题正确；
④：单位向量只说明向量的模为1，不能说明向量的方向，所以本命题不正确，
故选：C
30．BD
【分析】
取可判断AC选项的正误；利用向量相等的定义可判断B选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；
对于B选项，若，，则，B对；
对于C选项，若，，则的方向任意，C错；
对于D选项，若、共线且、共点，则、、三点共线，D对.
故选：BD.
31．BC
【分析】
对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线
【详解】
对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选：BC
32．AC
【分析】
根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.
【详解】
对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正确；
对于B：因为与是非零向量，若，则与的方向相同或相反，故选项B正确；
对于C：当时，若，与是任意向量；故选项C不正确；
对于D：对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，所以是的一个单位向量，故选项D正确；
所以叙述中错误的是AC，
故选：AC.
33．ABC
【分析】
根据平行向量的定义、平面向量的定义进行判断即可.
【详解】
向量是既有大小又有方向的量，，的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；
若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故B、C也是假命题．
由为单位向量，为单位向量，则，故D正确.
故选：ABC
34．ACD
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故错误；
对于：在中，必有，故正确；
对于：若，则，，一定为一个三角形的三个顶点，
或、、三点共线时，也成立，故错误；
对于，均为非零向量，则，故错误；
故选：．
35．ABC
【分析】
根据向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为，所以与相等的向量只有，所以A正确；
与向量的模相等的向量有：，所以B正确；
在直角中，因为，所以，所以，
所以C正确；
因为，所以与是共线向量，所以D不正确.
故选：ABC.
36．AD
【分析】
根据向量的概念：方向相反或相同的非零向量共线，模相等且方向相同的向量相等，向量除了相等的情况不能比较大小，即可判断选项正误；
【详解】
方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
、、、是不共线的点，，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查了向量的基本概念，需要理解向量共线、相等的条件，属于简单题；
37． 、、、、、、、; 、、
【分析】
根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】
（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；
（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;
（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.
故答案为： ；、、、、、、、；、、
38．④⑤
【分析】
根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当为平行四边形时，可得，所以④正确．
由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
39．5
【分析】
由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数.
【详解】
由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
40．②③
【分析】
根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.
故答案为：②③
41．①②④⑤
【分析】
根据平面向量的概念几何平面图形的性质逐个分析即可求出结果.
【详解】
①由两菱形的边长都为1，故①正确;②正确;③与相等的向量是，故③错误;④与共线的向量是，故④正确;⑤正确.
故答案为：①②④⑤
42．
（1）11个
（2）存在
【分析】
（1）正六边形由对角线分割为六个全等的等边三角形，进而求出向量长度相等的向量；（2）相反向量即模长相等，方向相反的两个向量
（1）
与向量长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11个
（2）
存在，是的相反向量
43．
（1）与共线，与共线
（2）与
（3）无相同向量
（4）
【分析】
（1）利用共线向量的定义判断，
（2）利用相反向量的定义判断，
（3）利用相同向量的定义判断，
（4）求出各个向量的模进行判断
（1）
与共线，与共线
（2）
与是相反向量
（3）
图中无方向相同的向量，所以向量，，，，中无相同的向量
（4）
由图可知，
所以模相等的向量为
44．（1）见解析；（2）米
【分析】
（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】
（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】
本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
45．答案见解析
【分析】
根据共线向量的概念判断①，由四点在一条直线上特殊情况判断②，根据平行四边形及向量相等的概念判断③，由零向量的性质判断④，根据相等向量判断⑤，由特殊情况判断⑥.
【详解】
①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
③在平行四边形ABCD中，，与平行且方向相同，故，③正确；
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；
⑤=，则||=||且与方向相同；=，则||=||且与方向相同，则与方向相同且模相等，故=，⑤正确；
⑥若=，由于的方向与的方向都是任意的，可能不成立；≠时，成立，故⑥不正确.
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