2020-2021学年河南省驻马店市汝南县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年河南省驻马店市汝南县八年级上学期期中数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
2．如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．BEB．ADC．CFD．AF
3．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么不能判定Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（ ）
A．AASB．SASC．SSSD．HL
5．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DFB．BO＝EOC．AD⊥lD．AB∥EF
6．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（ ）
①AC＝AF，
②∠FAB＝∠EAB，
③EF＝BC，
④∠EAB＝∠FAC，
A．①②B．①③④C．①②③④D．①③
7．如图，△ABC≌△A′B′C，点B′在边AB上，线段A′B′与AC交于点D，若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠A′CB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．140°
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是（ ）
A．BE＝3ECB．5BE＝3ECC．3BE＝2ECD．BE＝2EC
9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，那么∠EDF等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
10．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件： ，使得△ABC≌△DEF．
12．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．
13．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．
14．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
15．如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝ ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
16．（8分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E．∠A＝65°，∠CBD＝36°，求∠BEC的度数．
17．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．
19．（8分）尺规作图
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知点A，点B和直线l．
（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最短；
（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明PA+PB＜QA+QB．
20．（9分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
21．（10分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
23．（10分）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．BEB．ADC．CFD．AF
【分析】根据三角形的高的定义得出即可．
【解答】解：在△ABC中，AC边上的高是线段BE，
故选：A．
3．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：根据三角形具有稳定性可得选项B具有稳定性，
故选：B．
4．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么不能判定Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（ ）
A．AASB．SASC．SSSD．HL
【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的性质可得∠DAC＝∠BAC，∠ACB＝∠ACD，再利用全等三角形的判定方法进行推理即可．
【解答】解：∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ACD和Rt△ABC中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△ABC（HL），
∵CD＝CB，
∴AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∵∠DAC＝∠BAC，∠B＝∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ADC≌△ABC（ASA），
则不能判定Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是SSS，
故选：C．
5．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝DFB．BO＝EOC．AD⊥lD．AB∥EF
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ACB≌△DFE，直线l垂直平分线段AD，直线l垂直平分线段BE，
∴AC＝DF，AD⊥l，OB＝OE，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
6．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（ ）
①AC＝AF，
②∠FAB＝∠EAB，
③EF＝BC，
④∠EAB＝∠FAC，
A．①②B．①③④C．①②③④D．①③
【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠FAC．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，
正确的是①③④，
故选：B．
7．如图，△ABC≌△A′B′C，点B′在边AB上，线段A′B′与AC交于点D，若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠A′CB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．140°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，根据三角形内角和定理求出∠A′CB′＝80°，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BCB′＝60°，根据角的和差关系计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，
∴∠A′CB′＝80°，∠BCB′＝60°，
∴∠A′CB＝∠A′CB′+∠BCB′＝140°．
故选：D．
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是（ ）
A．BE＝3ECB．5BE＝3ECC．3BE＝2ECD．BE＝2EC
【分析】连接AE．依据线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
如图，连接EA，
由尺规作图可知直线MN是线段CA的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
在Rt△BAE中，∠B＝30°，
∴BE＝2EA，
∴BE＝2EC．
故选：D．
9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，那么∠EDF等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】由“SAS”可证△BDF≌△CED，可得∠CDE＝∠BFD，由外角的性质可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠C＝65°，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE＝∠BFD，
∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠CDE+∠EDF，
∴∠EDF＝∠B＝65°，
故选：C．
10．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，
∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°
故∠EGB的度数是105°，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件： AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF） ，使得△ABC≌△DEF．
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵∠D＝∠A，
∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），
添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），
添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．
12．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 3 ．
【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
13．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ．
【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：∵正n边形的每个外角相等，且其和为360°，
∴＝40°，
解得n＝9．
∴（9﹣2）×180°＝1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
14．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 6 ．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
15．如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝ ﹣5 ．
【分析】利用轴对称的性质求出点Q的坐标即可．
【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为﹣5．
三、解答题（共8小题，满分70分）
16．（8分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E．∠A＝65°，∠CBD＝36°，求∠BEC的度数．
【分析】依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠AEC的度数，再根据邻补角即可得到∠BEC的度数．
【解答】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝36°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝90°﹣36°＝54°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝×54°＝27°，
∵∠A＝65°，∠A+∠AEC+∠ACE＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣65°﹣27°＝88°，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣88°＝92°．
17．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．
【分析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形的性质得出∠CAE＝∠CAF，利用角平分线的性质解答即可．
【解答】证明：连接AC，
在△AEC与△AFC中
，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠CAE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD．
19．（8分）尺规作图
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知点A，点B和直线l．
（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最短；
（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明PA+PB＜QA+QB．
【分析】（1）要使PA+PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P；
（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，
则点P即为所求；
（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．
∵点A与A′关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上
∴PA＝PA′，QA＝QA′．
∵QA′+QB＞A′B，
∴QA+QB＞A′B
即QA+QB＞A′P+BP，
∴QA+QB＞AP+BP．
∴PA+PB最小．
20．（9分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）填表如下：
故答案为：60°，45°，36°，30°，10°；
（2）存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°，
理由是：根据题意得：°＝20°，
解得：n＝9，
即当多边形是正九边形，能使其中的∠α＝20°；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 n 边形使得∠α＝21°，得 ，
解得：，又 n 是正整数，
所以不存在正 n 边形使得∠α＝21°．
21．（10分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF；
（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AGE和△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（AAS）；
（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG，如图所示：
由（1）得：△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH，
∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．
23．（10分）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，①，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
正多边形的边数
3
4
5
6
……
18
∠α的度数




……

正多边形的边数
3
4
5
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……
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
……
10°
正多边形的边数
3
4
5
6
……
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
……
10°