高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念当堂达标检测题

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【考点梳理】
考点一 复数的有关概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
考点二 复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
考点三 复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.
考点四 复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
考点五 复数的模
1.定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
考点六 共轭复数
1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.
【题型归纳】
题型一：复数的概念
1．（2023·全国·高一课时练习）设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（ ）
A．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系
B．在复平面中，实轴上的点都表示实数
C．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数
D．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系
3．（2023·浙江·高一单元测试）下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
题型二：复数实部和虚部
4．（2022·全国·高一）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高一课时练习）已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．-2iC．1D．i
6．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）已知为虚数单位，且复数，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
题型三：根据相等条件求参数
7．（2023·全国·高一课时练习）复数（，，为虚数单位），若，则（ ）
A．B．C．3D．
8．（2020·天津红桥·高一期中）已知是虚数单位，，，则等于（ ）
A．1B．1C．3D．4
9．（2023·上海·高一期末）已知为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则为实数
C．若，则为纯虚数D．若，则
题型四：复数的分类问题
10．（2023·全国·高一课时练习）下列命题中，真命题是（ ）．A．虚数所对应的点在虚轴上
B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件
C．若，则
D．“”是“”的必要非充分条件
11．（2023·全国·高一课时练习）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．（2023·安徽·东至县第二中学高一期末）有以下四个命题：
①若复数，则；
②若复数，且，则；
③若复数，则在复平面内对应的点的坐标为；
④若复数，则的实部与虚部至少有一个为0．
其中所有真命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型五：复数的几何意义问题
13．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
14．（2023·全国·高一课时练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
题型六：复数的模的问题（最值）
16．（2022·全国·高一）设复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．2B．C．4D．
17．（2023·全国·高一课时练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·广东·深圳市富源学校高一期中）若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【双基达标】
一、单选题
19．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1B．-2C．D．
21．（2022·全国·高一）已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（ ）
A．B．2C．4D．3
22．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（ ）
A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应
23．（2023·全国·高一课时练习）已知复数，有下列四个命题：
甲：乙：的虚部为丙：复数对应的点位于第二象限丁：，
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
24．（2023·重庆市育才中学高一期中）已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
25．（2023·云南·罗平县第二中学高一期末）当x复数 的模长的最小值是（ ）
A．2B．C．10D．
【高分突破】
一、单选题
26．（2023·福建尤溪·高一期中）已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
27．（2023·山西柳林·高一期中）设是虚数，是实数，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．无法确定
28．（2023·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．（2023·安徽池州·高一期中）已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·安徽宣城·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
31．（2023·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（ ）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
32．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点在第一象限B．|z|=
C．z的虚部是iD．z的实部是1
33．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
34．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
35．（2023·浙江·效实中学高一期中）已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数，则的值为
D．若复数满足，则的最小值为
36．（2023·浙江宁波·高一期末）已知复数（为虚数单位），复数满足，则下列结论正确的是（ ）．A．在复平面内所对的点在第四象限
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
37．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
38．（2023·全国·高一课时练习）若复数，则的最大值为______．
39．（2023·全国·高一课时练习）设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i，若z2