2022-2023学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(4,2)，b=(x,3)，且a//b，则x等于( )
A. 9B. 6C. 5D. 3
2.如果直线a和b没有公共点，那么a与b( )
A. 共面B. 平行
C. 可能平行，也可能是异面直线D. 是异面直线
3.已知z1=a+i，z2=1+i，a∈R，若z1z2是纯虚数，则z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2023=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
4.福建省第七次人口普查统计数据显示，漳州市11个县(市、区)常住人口数据如下表所示，则这11个县(市、区)人口数据的第80百分位数是( )
A. 638060B. 560969C. 455042D. 411558
5.已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分条件是( )
A. α⊥γ，β⊥γB. m⊥n，α∩β=m，n⊂β
C. m//α，m//βD. m//α，m⊥β
6.利用公式cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ可得csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α−β)].则cs10∘cs50∘+sin20∘cs70∘=( )
A. 1B. 34C. 12D. 14
7.已知向量a与b垂直，若a=(6,−8),|b|=5，且b与向量(1,0)的夹角是锐角，则b=( )
A. (4,3)B. (−4,−3)C. (3,4)D. (−3,−4)
8.《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，AB=AD=2，点E，F分别在棱AB，BC上，则空间四边形PEFD的周长的最小值为( )
A. 3+ 5B. 4+ 5C. 5+ 5D. 6+ 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在以下调查中，适合用抽样调查的有( )
A. 调查某品牌的冰箱的使用寿命
B. 调查某个班级10名学生每周的体育锻炼时间
C. 调查一批炮弹的杀伤半径
D. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，则( )
A. 直线BA1与CC1所成的角等于30∘B. 直线BA1与AC所成的角等于60∘
C. 直线AO1与CC1是异面直线D. 直线AO1与BD所成的角等于90∘
11.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，则P(A∪B)=16
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB−)=19
D. 若P(A−)=13,P(B−)=12，且P(A−B)=14，则A，B是独立事件
12.已知△ABC的重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，则下列说法正确的是( )
A. 若M是BC中点，则AG：GM=2：1
B. 若|AB|=1，则AB⋅AO=12
C. AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC不共线
D. 若|AB|=1,|AC|=2,∠BAC=23π,AI=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+μ=9−3 72
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：
5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
则其射击成绩的方差s2=______ .
14.△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a=4，A=30∘，试写出一个b值，使该三角形有两解，则满足题意的b的值可以是__________.
15.龙文塔位于漳州市龙文区步文镇鹤鸣山，是漳州古城的标志性建筑，某研究性学习小组想利用正弦定理测量龙文塔的高度，他们在塔底B点的正西处的C点测得塔顶A点的仰角为30∘，然后沿着东偏南67∘的方向行进了64m后到达D点(B,C,D三点位于同一水平面内)，且B点在D点北偏东37∘方向上，由此可得龙文塔的高度为______ m.(参考数据：取sin53∘=0.8)
16.已知正四棱锥S−ABCD的底面边长为 2，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为______ ；该正四棱锥的外接球的体积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点，设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示CD,AE；
(2)如果|a|=3|b|,CD,AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
18.(本小题12分)
某调研机构从某校2023届高三年级学生中随机抽取60名学生，将其某次质检的化学科赋分后的成绩分成七段：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并制作了相应的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该校高三年级学生在这次质检考试中化学科赋分后成绩的众数、平均数、中位数(小数点后保留一位有效数字)；
(2)用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则[70,80)分数段抽取的人数是多少？
19.(本小题12分)
下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00，
∴x=4，y=3，
∴b=(4,3).
故选：A.
可设b=(x,y)，根据a⊥b可得出y=34x，根据b与向量(1,0)的夹角是锐角得出x>0，而根据|b|=5即可求出x，y的值，从而得出向量b的坐标．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，在棱锥P−ABCD中，PD= 4+1= 5为定值，
若空间四边形PEFD的周长取得最小值，只需PE+EF+FD取得最小值，
如图，将AP、PB展开，使得△PAB与矩形ABCD在同一个平面内，
延长DC到M，使得CM=DC，则有FD=FM，
当四点P、E、F、M在同一条直线上时，PE+EF+FD取得最小值，且其最小值为PM，
在展开图中：PD=2+1=3，DM=2+2=4，则PM= 16+9=5，即PE+EF+FD的最小值为5，
故空间四边形PEFD的周长的最小值5+ 5.
故选：C.
根据题意，分析可得PD为定值，由此将AP、PB展开，使得△PAB与矩形ABCD在同一个平面内，再延长DC到M，使得CM=DC，利用平面图形分析PE+EF+FD的最小值，将其最小值和PD的值相加即可得答案．
本题考查棱锥的结构特征，涉及几何体表面距离最值的计算，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于B，样本数量较小，适宜全面调查，故B错误；
对于ACD，由于调查的范围较广，经济成本会较高，不适宜全面调查，适宜抽样调查．
故选：ACD.
根据已知条件，结合抽样调查、全面调查的定义，即可求解．
本题主要考查抽样调查、全面调查的定义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：如图，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1.

对于选项A.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有CC1//BB1，
所以∠A1BB1(或其补角)为直线BA1与CC1所成的角，
在Rt△A1BB1中，A1B1=BB1，A1B1⊥BB1，所以∠A1BB1=45∘，选项A错．
对于选项B.连接BC1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有AC//A1C1，
所以∠BA1C1(或其补角)为直线BA1与AC所成的角，
又BC1=A1C1=A1B= 2，即△BA1C1为正三角形，∠BA1C1=60∘，
选项B对．
对于选项C.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设AC∩BD=O，连接O1O，
则O1O//C1C//A1A，即ACC1O1A1共面，
又AC//A1C1，所以直线AO1与CC1是相交直线，选项C错．
对于选项D.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD⊥AC，AA1⊥BD，
所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥AO1，选项D对．
故选：BD.
以正方体为模型，考查平面内直线与直线所成的角，需要把直线平移到同一个三角形中解决，直线与直线垂直可以运用线面垂直的性质定理求解．
本题以正方体为模型，考查平面内直线与直线所成的角，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A：若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=13+12=56，故A错误；
对于C：若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则A，B−也是独立事件P(B−)=13，则P(AB−)=P(A)P(B−)=13×13=19，故C正确；
对于B：若A，B是对立事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故B正确；
对于D：若P(A−)=13,P(B−)=12，则P(A−B)=14≠13×12=P(A−)P(B)，则A−，B不是独立事件，故A，B也不是独立事件，故D错误．
故选：BC.
利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可．
本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，连接CG交AB于D点，则点D是AB的中点，M是BC中点，连接DM，
∴DM//AC，∴DM=12AC，∴AG：GM=AC：DM=2：1，故A正确；
对于B，取AB中点N，连接AO，NO，
∵O为△ABC的外心，∴NO⊥AB，
∴|AO|cs∠NAO=|AN|，∵|AB|=1，∴|AN|=12，
∴AB⋅AO=|AB|⋅|AO|cs∠NAO=|AB|⋅|AN|=12，故B正确；
对于C，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，
∵BC⋅(AB|AB|csB+AC|AC|csC)=BC⋅AB|AB|csB+BC⋅AC|AC|csC
=|BC|⋅|AB|cs(π−B)|AB|csB+|BC|⋅|AC|csC|AC|csC=−|BC|+|BC|=0，
∴BC⊥(AB|AB|csB+AC|AC|csC)，∵AH⊥BC，∴AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC共线，故C错误；
对于D，分别作IF⊥AB，IE⊥AC，交AB，AC于F，E点，
连接AI，并延长交BC于P点，可得∠BAP=∠CAP=π3，
设内切圆半径为r，则|IF|=|IE|=r，∴|AI|sin∠BAP=|IF|=r，
AB⋅AI=AB(λAB+μAC)=λAB⋅AB+μAB⋅AC，
∴|AB|⋅|AI|csπ3=|AC|⋅rsinπ3⋅csπ3=r 3=λ×12+μ×2×−12=λ−μ，
∴r 3=λ−μ，①，
AC⋅AI=AC⋅(λAB+μAC)=λAC⋅AB+μAC⋅AC，
∴|AC|⋅|AI|csπ3=|AC|⋅rsinπ3csπ3=2r 3=λ×2×−12+μ×22=−λ+4μ，
∴2r 3=−λ+4μ，②，
由①②可得λ=2r 3，μ=r 3，
在△ABC中，由余弦定理可得：
|BC|= |AB|2+|AC|2−2|AB|×|AC|cs2π3= 1+4+2×1×2×12= 7，
∵S△ABC=12|AB|×|AC|sin2π3=12(|AB|+|AC|+|BC|)r，
解得r= 33+ 7，∴λ+μ=2r 3+r 3= 3r= 3⋅ 33+ 7=9−3 72，故D正确．
故选：ABD.
连接CG交AB于D，得DM//AC，DM=12AC，根据三角形相似可判断A；取AB的中点N得NO⊥AB，从而|AO|cs∠NAO=|AN|，再由AB⋅AO=|AB|⋅|AO|cs∠NAO可判断B；点H为垂心得AH⊥BC，利用BC⋅(AB|AB|csB+AC|AC|csC)=0，得BC⊥(AB|AB|csB+AC|AC|csC)，可得AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC共线可判断C；分别做IF⊥AB，IE⊥AB，交AB，AC于F，E点，设内切圆半径为r，得|AI|sin∠BAP=|IF|=r，利用AB⋅AI=λAB⋅AB+μAB⋅AC，得r 3=λ−μ，AC⋅AI=λAC⋅AB+μAC⋅AC，得2r 3=−λ+4μ，从而求出λ=2r 3，μ=r 3，再由余弦定理可得|BC|= 7，再利用S△ABC=12|AB|×|AC|sin2π3=12(|AB|+|AC|+|BC|)r，求出r可判断D.
本题考查三角形五心、平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
13.【答案】1.2
【解析】解：命中环数的平均数为：x−=110×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7，
其射击成绩的方差s2=110[(5−7)2+2×(6−7)2+4×(7−7)2+2×(8−7)2+(9−7)2]=1.2.
故答案为：1.2.
根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
14.【答案】5(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查正弦定理和三角形的解的个数问题，属于基础题．
利用正弦定理求出sinB，然后根据三角形有两解得到b>a，sinBA，
∴b>asinB4b8