2022-2023学年福建省龙岩市高一下学期7月期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年福建省龙岩市高一下学期7月期末数学试题（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=a+3i，z=2+bia,b∈R，则a+b=( )
A. −1B. 1
C. −5D. 5
2.已知向量a，b，满足a=3，b=4，a与b的夹角的余弦值为34，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. aB. 3aC. 94bD. 916b
3.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x1,x2,x3,⋅⋅⋅,x40，经计算全班数学平均成绩x=90，且i=140xi2=324400，则该班学生此次数学成绩的标准差为( )
A. 20B. 2 5C. 10D. 10
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F为正方体内(含边界)不重合的两个动点，下列结论错误的是( )
A. 若E∈BD1，F∈BD，则EF⊥AC
B. 若E∈BD1，F∈BD，则平面BEF⊥平面A1BC1
C. 若E∈AC，F∈CD1，则EF//AD1
D. 若E∈AC，F∈CD1，则EF//平面A1BC1
6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图)，纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点(B在A的正下方)，在广场内(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为15米，∠ACB=45∘，∠CBD=30∘，∠ADB=30∘，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为( )
A. 14米B. 15米C. 16米D. 17米
7.已知等边三边形ABC的边长为4，D为BC的中点，将△ADB沿AD折到△ADB1，使得△B1CD为等边三边形，则直线B1D与AC所成的角的余弦值为( )
A. − 32B. 0C. 12D. 14
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs2B+csBcsA−C=sinAsinC，a=2 3，则△ABC周长的取值范围是( )
A. 6 3,6+6 3B. 3+3 3,6+6 3
C. 3+3 3,9 3D. 6 3,9 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足z⋅1−3i=10，则( )
A. z= 10B. z的虚部为3i
C. z−3csπ4+isinπ42=1D. 复数z在复平面内对应的点位于第二象限
10.新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则( )
A. 本地新增阳性人数最多的一天是10日
B. 本地新增确诊病例的极差为84
C. 本地新增确诊病例人数的中位数是46
D. 本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数
11.已知M是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面内一点，t=MA+MC⋅MB+MD，则下列结论正确的是( )
A. 当M为正六边形ABCDEF的中心时，t=12
B. t的最大值为4
C. t的最小值为−14
D. t可以为0
12.如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45∘，得到正方形ABC1D1，再将所得的正方形绕直线BC1向上旋转45∘，得到正方形A2BC1D2，则( )
A. 直线A2C1//平面ABCD
B. D2到平面ABCD的距离为1+ 22
C. 点A到点D2的距离为3− 2
D. 平面A2BC1D2与平面ABCD所成的锐二面角为60∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.方程x2+2x+3=0在复数范围内的根为__________.
14.数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为__________.
15.为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为__________.
16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DB⊥AB，AB=DB=BP=PC=2.记四面体P−BCD的外接球的球心为O，M为球O表面上的一个动点，当∠MAO取最大值时，四面体M−ABD体积的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，AC=BC=6，AB=4，AP=λAB0≤λ≤1.
(1)当λ=23时，用CA，CB表示CP；
(2)求CP⋅CA+CB的值
18.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘，AA1=AB=4，BC=3.

(1)求三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积；
(2)设D为AC的中点，求证：AB1//平面BC1D.
19.(本小题12分)
已知盒中有大小、质地相同的 红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
(i)写出该试验的样本空间Ω；
(ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
20.(本小题12分)
某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如图：

若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.
(1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；
(2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.
(i)已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，s12；n，y，s22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s2.证明：s2=1m+nms 12+x−ω2+ns 22+y−ω2.
(ii)用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PBC⊥底面ABCD.

(1)若∠PBC=90∘，求证：AC⊥PD；
(2)若AC与平面PCD所成角为30∘，求点A到直线PC的距离.
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，A=π4，BD=CD，AD=2.
(1)若BD= 53b，求c；
(2)若a=2 2，求△ABC的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查共轭复数，属于基础题.
由共轭复数的定义求出 a,b 即可.
【解答】
解：复数 z=a+3i ， z=2+bi ，
由共轭复数的定义可知， a=2,b=−3 ，则有 a+b=2−3=−1 .
故选：A
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考察投影向量的定义与计算问题，是基础题.
利用投影向量的定义结合已知条件直接计算即可.
【解答】
解：因为向量a，b，满足a=3，b=4，a与b的夹角的余弦值为34，
所以向量a在向量b上的投影向量为a⋅bb⋅bb=3×4×344×b4=916b，
故选：D.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.
先求5条线段中任取3条的结果数，再用列举法求这3条线段能构成一个三角形的结果数，即可求出概率.
【解答】
解：五条线段中任取3条有 C53 种结果，这些结果等可能出现.
要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边，故只有： 3,7,8,3,7,9,3,8,9,7,8,9 这四种可能，
故所求概率为 P=4C53=410=25 .
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考察标准差，属于基础题。
根据标准差公式结合已知数据直接求解即可.
【解答】
解：因为 x=90 ，且 i=140xi2=324400 ，
所以此次数学成绩的 标准差为
s= i=140(xi−x)240= i=140xi2−2xi=140xi+40x240
= i=140xi2−2x⋅40x+40x240
= i=140xi2−40x240
= 324400−40×90240= 10 ，
故选：D
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线面平行与线面垂直的判定和面面平行与面面垂直的判定，属于基础题.
A. 易知EF⊂平面 B1D1DB，AC⊥ 平面B1D1DB，即可判断；B.易知A1C1⊥平面B1D1DB，再利用面面垂直的判定定理判断；C.易知EF与AD1共面，不一定平行判断；D.易知EF⊂平面 AD1C ，平面AB1C//平面A1BC1，即可判断.
【解答】
解：A.若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面 B1D1DB，
因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则DD1⊥AC，
又AC⊥BD，且DD1∩BD=D，DD1⊂平面B1D1DB，BD⊂平面B1D1DB，
所以AC⊥ 平面B1D1DB，又EF⊂平面B1D1DB，所以EF⊥AC，故A正确；
B.若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面B1D1DB，
由A的分析知AC⊥平面B1D1DB，
又A1C1//AC，则A1C1⊥平面B1D1DB，
即A1C1⊥平面BEF，又A1C1⊂平面A1BC1，
所以平面BEF⊥平面A1BC1，故B正确；
C ： 当E∈AC，F∈CD1时，则EF⊂平面AD1C ，
则EF与AD1共面，不一定平行，故C错误；
D.若E∈AC，F∈CD1，则EF⊂平面AD1C，
因为A1B//D1C，A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，所以A1B//平面ACD1，
同理BC1//平面ACD1，
又A1B∩BC1=B，A1B,BC1⊂平面A1BC1，
所以平面A1BC1//平面ACD1，
又EF⊂平面ACD1，所以EF//平面A1BC1，故D正确.
故选：C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查余弦定理解决高度问题，属于中档题.
设 AB=x 米，然后分别在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中表示出 BC,BD ，再在 △BCD 中利用余弦定理列方程可求出 x即可.
【解答】
解：设 AB=x 米，
在 Rt△ABC 中， tan∠ACB=ABBC ， tan45∘=xBC ，得 BC=x ，
在 Rt△ABD 中， tan∠ADB=ABBD ， tan30∘=xBD ，得 BD= 3x ，
在 △BCD 中， ∠CBD=30∘ ， CD=15 ，
则由余弦定理得
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠CBD ，
225=x2+3x2−2 3x2× 32 ，解得 x=15 ，
所以纪念碑高度为15米，
故选：B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，属于中档题.
根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.
【解答】
解：分别取CD,B1C,AD的中点E,F,G，连接EF,GE,GF,DF，
则EF//B1D，GE//AC，
且EF=12B1D=1,DE=1,DF=GD= 3，GE=2，
所以直线B1D与AC所成的角为∠GEF (或其补角)，
由题意可知：AD⊥B1D,AD⊥CD，B1D∩CD=D，B1D,CD⊂ 平面B1CD，
所以AD⊥平面B1CD，
且DF⊂平面B1CD，可得AD⊥DF，
则GF= GD2+DF2= 6，
在△GEF中，由余弦定理可得cs ∠GEF=GE2+EF2−GF22GE⋅EF=4+1−62×2×1=−14，
所以直线B1D与AC所成的角的余弦值为14.
故选：D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.
先求出 csB=12 ，可得 B=π3 ，由正弦定理得 △ABC 的周长为 a+b+c=3sinA+2 3sinCsinA+2 3 =3tanA2+3 3 ，再求出 π12