2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（A卷）（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（A卷）（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足zi=2−i(i为虚数单位)，则z在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为( )
A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82
3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=30∘，a=5，b=6，求角B时，解的情况是( )
A. 无解B. 一解C. 两解D. 无数解
4.已知向量a与b的夹角为60∘，b=(1,2)，b⋅(a−b)=0，则|a|=( )
A. 5B. 2 5C. 5或2 5D. 以上都不对
5.已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若l//α，m⊥α，则l⊥m
B. 若l⊥m，m⊥α，则l//α
C. 若l⊂α，m⊂α，l//β，m//β，则α//β
D. 若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//m
6.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度.他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=120∘，CD=112m，在C，D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为45∘，30∘，则大运塔AB的高为( )
A. 56 2mB. 112mC. 112 2mD. 112 3m
7.已知sin(α−π4)= 55，0≤α≤π，则sin(2α−π3)=( )
A. 4 3−310B. 3−4 310
C. 3+4 310D. 3−4 310或3+4 310
8.如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是( )
A. B与C是互斥事件B. A与B不是相互独立事件
C. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D. A与C是相互独立事件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A. EF=13AB
B. AD+DC=AB+BC
C. BE=CB−CE
D. AF=23AD+13AC
10.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命(单位：年)的检测结果如下表：
记甲工厂样本使用寿命的众数为x1，平均数为x2，极差为x3，方差为x4；乙工厂样本使用寿命的众数为y1，平均数为y2，极差为y3，方差为y4.则下列选项正确的有( )
A. x1y4
11.在△ABC中，已知A=2π3，AD为∠A的内角平分线且AD=2，则下列选项正确的有( )
A. 1AC+1AB=1ADB. BC2−2AC⋅AB=16
C. AB⋅AC−DB⋅DC=4D. △ABC的面积最小值为4 3
12.已知函数f(x)=2sinωx⋅sin(π2+ωx)−2sin2ωx+1(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有( )
A. f(x)在区间(0,π)上有且仅有3条对称轴B. f(x)的最小正周期不可能是π2
C. ω的取值范围是[118,158)D. f(x)在区间(0,π16)上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知非零向量a与b的夹角为45∘，|b|=2 2，向量b在向量a上投影向量为c，则|c|=______ .
14.写出一个同时具有下列两个性质的复数z=______ .
性质1：|z−z−|=2
性质2：z⋅z−=4
15.已知角α的终边经过点P(cs50∘,sin50∘)，且满足 3(tanα+tan2α)+xtanα⋅tan2α=−1，则实数x=______ .
16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是底面A1B1C1D1(含边界)上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45∘，则PC1的取值范围为______ ；当PC1取得最小值时，四棱锥P−ABCD的外接球表面积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(2,x)，b=(x−1,1)，x∈R.
(1)若x=4，试判断a，b能否构成平面的一组基底？并请说明理由.
(2)若c=(2,−6)，且c⊥(2a+b)，求a与b的夹角大小.
18.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点.
(1)求证：BD1//平面EAC；
(2)求点D到平面EAC的距离.
19.(本小题12分)
某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：千克)均分布在区间[1.5,7.5]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[2.5,3.5),[3.5,4.5)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以20元/千克收购；
B.低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
20.(本小题12分)
如图，在三棱锥S−ABC中，平面SAB⊥平面SBC，∠CBA=90∘，SA=AB=BC=2，SC=2 3，D、E分别为SB，AB的中点.
(1)求证：SB⊥BC；
(2)求二面角E−DC−B的正弦值.
21.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB.
(1)求角C的大小；
(2)若D是边AB的三等分点(靠近点A)，CD=tAD.求实数t的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)= 2a(sinx+csx)+2bsin2x−2，(a∈R,b∈R).
(1)若a=1，b=0，证明：函数g(x)=f(x)+12在区间[0,π4]上有且仅有1个零点；
(2)若对于任意的x∈R，f(x)≤0恒成立，求a+b的最大值和最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据复数的除法运算求复数z，再结合复数的几何意义分析判断．
【解答】
解：因为zi=2−i，
则z=2i−1=−1−2i，
所以z在复平面上所对应的点为(−1,−2)，位于第三象限．
故选C.
2.【答案】B
【解析】解：因为10个样本数据是从小到大排列的，且10×75%=7.5，
所以第75百分位数是第8个数2.80.
故选：B.
由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为A=30∘，a=5，b=6，
由正弦定理可得：asinA=bsinB，则512=6sinB，
所以sinB=35，因为a所以角B有两解．
故选：C.
由正弦定理结合大边对大角求解即可．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角形的性质，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：∵b=(1,2)，
∴|b|= 5，
又b⋅(a−b)=0，则a⋅b=b2=|b|2=5，
∵向量a与b的夹角为60∘，∴a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs60∘=|a|× 5×12=5，
∴|a|=2 5.
故选：B.
由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得a⋅b=5，再由数量积的定义求解，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：对于A，∵m⊥α，∴m垂直平面α内任意一条线，又l//α，∴∃n⊂α，使得l//n，
∴m⊥n，则有l⊥m，故A正确；
对于B，当l⊥m，m⊥α时，有l//α或l⊂α，故B错误；
对于C，当l⊂α，m⊂α，l//β，m//β时，α与β可以相交，故C错误；
对于D，若α//β，l⊂α，m⊂β时，有l//m或l与m异面，故D错误．
故选：A.
根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得，在直角△ABC中，∠ACB=45∘，
所以BC=AB，
在直角△ABD，∠ADB=30∘，
所以ABBD=tan30∘，即BD= 3AB，
在△BCD中，∠BCD=120∘，CD=112，
由余弦定理BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs120∘，可得3AB2=AB2+1122−2×112⋅(−12)⋅AB，
因为AB>0，
所以解得AB=112，即大运塔AB的高为112m.
故选：B.
根据仰角分别得出BC=AB，BD= 3AB，在△BCD中由余弦定理即可求出AB.
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为sin(α−π4)= 55，所以sinαcsπ4−csαsinπ4= 55，
即 22(sinα−csα)= 55，所以sinα−csα= 105，
所以(sinα−csα)2=( 105)2，
即sin2α−2sinαcsα+cs2α=25，即1−sin2α=25，所以sin2α=35，
因为0≤α≤π，所以−π4≤α−π4≤3π4，
又0所以π2<2α<π，所以cs2α=− 1−sin22α=−45，
所以sin(2α−π3)=sin2αcsπ3−cs2αsinπ3
=35×12−(−45)× 22=3+4 310.
故选：C.
先将sin(α−π4)用两角差的正弦公式化简得到sinα−csα，两边平方即可求出sin2α，再根据同角三角函数的基本关系求出cs2α，最后利用两角差的正弦公式计算可得到sin(2α−π3).
本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：对于选项A，事件C，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶，
即事件B与事件C可以同时发生，不是互斥事件，故选项A错误；
对于选项B，对于事件A与事件B，P(A)=48=12，P(B)=48=12，P(AB)=4×48×8=14，
满足P(AB)=P(A)P(B)，故A与B是相互独立事件，选项B错误；
对于选项C，由题意可得，P(A)=48=12，P(B)=48=12，P(C)=4×4×28×8=12，
P(ABC)=4×48×8=14，故P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，选项C错误；
对于选项D，P(A)=48=12，P(C)=4×4×28×8=12，P(AC)=4×48×8=14，
满足P(AC)=P(A)P(C)，故A与C是相互独立事件，选项D正确；
故选：D.
根据互斥事件，独立事件的概念以及古典概型概率计算公式逐项分析即可得出答案．
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于选项A：由题意可知：EF与AB方向相同且E、F分别是CD边上的两个三等分点，
则EF=13AB，
故选项A正确；
对于选项B：由图可知，AD+DC=AC，AD+DC=AC，
所以AD+DC=AB+BC，
故选项B正确；
对于选项C：CB−CE=EB，
所以选项C错误；
对于选项D：AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23(AC−AD)=13AD+23AC，
故选项D错误．
故选：AB.
根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：由题意可得，x1=8，x2=110(3+5+6+7+7+8+8+8+9+10)=7.1，
x4=110[(3−7.1)2+(5−7.1)2+(6−7.1)2+(7−7.1)2+(7−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(9−7.1)2+(10−7.1)2]=3.69，
x3=10−3=7，
y1=8，y2=110(4+6+6+7+8+8+8+8+8+8)=7.1，
y3=8−4=4，y4=110[(4−7.1)2+(6−7.1)2+(6−7.1)2+(7−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2]=1.69，
则x2=y2，x1=y1，x3>y3，x4>y4.
故选：BD.
根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题考查众数，平均数，极差以及方差的计算公式，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：依题意S△ABC=S△ABD+S△ADC，即12AB⋅ACsin2π3=12AB⋅ADsinπ3+12AD⋅ACsinπ3，
所以AB⋅AC=AD(AB+AC)，
所以1AC+1AB=1AD，故A正确；
AB⋅AC=2(AB+AC)，
所以AB⋅AC2=AB+AC≥2 AB⋅AC，当且仅当AB=AC时取等号，
所以AB⋅AC≥16或AB⋅AC≤0(舍去)，
则S△ABC=12AB⋅ACsin2π3= 34AB⋅AC≥4 3，当且仅当AB=AC=4时取等号，故D正确；
又BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsπ3，DC2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsπ3，
即BD2=AB2+AD2−AB⋅AD，DC2=AC2+AD2−AC⋅AD，
所以BD2+DC2=AB2+AC2+2AD2−AC⋅AD−AB⋅AD，
又BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs2π3，即BC2=AB2+AC2+AB⋅AC，
所以(BD+DC)2=BD2+2BD⋅DC+DC2=AB2+AC2+AB⋅AC，
所以2BD⋅DC=AB⋅AC−2AD2+(AC+AB)⋅AD，
即2BD⋅DC=2AB⋅AC−2AD2，
所以AB⋅AC−DB⋅DC=AD2=4，故C正确；
由余弦定理BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs2π3，
即BC2=AB2+AC2+AB⋅AC
=(AB+AC)2−AB⋅AC
=(AB⋅AC2)2−AB⋅AC
=14(AB⋅AC)2−AB⋅AC，
所以BC2−2AC⋅AB=14(AB⋅AC)2−3AB⋅AC，
由于由已知条件无法得知AB⋅AC的值，
故无法确定BC2−2AC⋅AB的值，故B错误．
故选：ACD.
利用等面积法得到AB⋅AC=AD(AB+AC)，即可判断A；再利用基本不等式求出AB⋅AC的最小值，即可判断D；利用余弦定理判断B、C.
本题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由题意f(x)=2sinωxcsωx−(1−cs2ωx)+1=sin2ωx+cs2ωx= 2sin(2ωx+π4)，
令2ωx+π4=kπ,k∈Z，则x=(4k−1)π8ω,k∈Z，
函数 f(x)在区间[0,π]上有且仅有 3个不同零点，即0≤(4k−1)π8ω≤π 有 3个整数k符合，
由 0≤(4k−1)π8ω≤π，得0≤4k−18ω≤1⇒0≤4k−1≤8ω，则k=1，2，3，
即4×3−1≤8ω<4×4−1，
∴118≤ω<158，故C正确；
对于A，∵x∈(0,π)，∴2ωx+π4∈(π4,2ωπ+π4)，
∵2ωπ+π4∈[3π,4π),当 2ωx+π4∈[π4,3π) 时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3条对称轴；
当2ωx+π4∈[π4,4π) 时，f(x)在区间(0,π)有且仅有4条对称轴，故A错误；
对于B，周期 T=2πω，由118≤ω<158，则815<1ω≤811，∴16π15又π2∉(16π15,16π11],所以f(x)的最小正周期不可能是π2，故B正确；
对于D，∵x∈(0,π16)，∴2ωx+π4∈(π4,ωπ8+π4)，∵ω∈[118,158),
∴ωπ8+π4∈(27π64,31π64)，又31π64<π2，所以f(x)在区间 (0,π16) 上单调递增，故D正确．
故选：BCD.
令 ωx+π4=kπ,k∈Z，则 x=(4k−1)π8ω,k∈Z，由函数 f(x)在区间[0,π]上有且仅有 3个零点，即 0≤(4k−1)π8ω≤π 有3个整数k符合，可求出ω∈[134,174) 判断 C，再利用三角函数的性质可依次判断ABD.
本题主要考查三角函数的周期性，属中档题．
13.【答案】2
【解析】解：根据题意，非零向量a与b的夹角为45∘，|b|=2 2，
向量b在向量a上投影向量为c，则|c|=||b|cs|=2.
故答案为：2.
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的运算和性质，属于基础题．
14.【答案】± 3±i(写出其中一个即可)
【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，则z−=a−bi，从而z−z−=(a+bi)−(a−bi)=2bi，
因为|z−z−|=2，所以|2b|=2，解得b=±1，
因为z⋅z−=4，所以(a+bi)⋅(a−bi)=a2+b2=4，解得a=± 3，
所以z=± 3±i.
故答案为：± 3±i(写出其中一个即可).
设z=a+bi，a，b∈R，根据条件列式计算可得a，b，即可得解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
15.【答案】−1
【解析】解：因为角α的终边上有一点P(cs50∘,sin50∘)，
所以tanα=sin50∘cs50∘=tan50∘，
因为点P(cs50∘,sin50∘)在第一象限，不妨取α=50∘，
所以 3(tanα+tan2α)+xtanα⋅tan2α=−1等价于 3(tan50∘+tan100∘)+xtan50∘⋅tan100∘=−1.
因为tan(50∘+100∘)=tan150∘=tan50∘+tan100∘1−tan50∘⋅tan100∘=− 33，
所以 3(tan50∘+tan100∘)=tan50∘⋅tan100∘−1，
所以(x+1)tan50∘⋅tan100∘=0，
所以x+1=0，
解得x=−1.
故答案为：−1.
根据三角函数的定义求得α=50∘，再利用两角和正切公式化简求解即可．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
16.【答案】[2 2−2,2] (32−16 2)π
【解析】解：连接A1P，AP，
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以∠APA1即为直线AP与平面A1B1C1D1所成的角，
因为平面A1B1C1D1//平面ABCD，
故直线AP与平面ABCD所成的角等于直线AP与平面A1B1C1D1所成的角，
故∠APA1=45∘，
在Rt△APA1中，tan∠APA1=AA1PA1=1，
故P点轨迹为以A1为圆心，2为半径的圆位于底面A1B1C1D1内的部分，
故连接A1C1，与圆弧交于点M，
当P与M重合时，PC1取得最小值，最小值为A1C1−2=2 2−2，
当P与B1或C1重合时，PC1取得最大值，最大值为2，
故PC1的取值范围是[2 2−2,2]；
连接AC，BD相交于点T，连接B1D1与A1C1相交于点H，连接TH，
则TH=2，AT=A1H= 22+222= 2，
球心O在TH上，连接OP，OA，
则OP=OA=R，
其中PH=2− 2，
设OH=x，
则TO=2−x，
由勾股定理得AO2=OT2+AT2=(2−x)2+( 2)2，PO2=OH2+PH2=x2+(2− 2)2，
故(2−x)2+( 2)2=x2+(2− 2)2，
解得x= 2，
则R2=2+(2− 2)2=8−4 2，
当PC1取得最小值时，四棱锥P−ABCD的外接球表面积为4πR2=(32−16 2)π.
故答案为：[2 2−2,2]；(32−16 2)π.
作出辅助线，得到P点轨迹为以A1为圆心，2为半径的圆位于底面A1B1C1D1内的部分，数形结合得到PC1的最值，得到取值范围；再作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径，得到外接球表面积．
本题考查了线面角的作法，重点考查了空间几何体的外接球问题，属中档题．
17.【答案】解：(1)当x=4时，a=(2,4)，b=(3,1)，
因为2×1≠4×3，所以向量a，b不共线，所以a，b能构成平面的一组基底；
(2)因为a=(2,x)，b=(x−1,1)，所以2a+b=(x+3,2x+1)，
又c=(2,−6)，且c⊥(2a+b)，所以2(x+3)−6(2x+1)=0，所以x=0，
此时a=(2,0)，b=(−1,1)，则cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=−22 2=− 22，
又因为0≤⟨a,b⟩≤π，所以⟨a,b⟩=3π4，即向量a与b的夹角为3π4.
【解析】(1)利用向量共线的坐标运算及基底的概念即可判断；
(2)利用向量垂直的坐标运算求解x，然后再利用数量积的夹角坐标公式计算即可．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：连接BD交AC于O，连接EO，
由正方体ABCD−A1B1C1D1可知底面ABCD为正方形，知O为BD中点，
∵E为棱DD1的中点，∴EO//BD1，
又EO⊂平面EAC，BD1⊄平面EAC，∴BD1//平面EAC；
(2)解：设点D到平面EAC的距离为h，
由正方体ABCD−A1B1C1D1可知DD1⊥平面ABCD，底边ABCD为正方形，
∴三棱锥E−ADC的体积VE−ADC=13×ED×S△ADC=13×12×12×1×1=112，
在△EAC中，∵EA=EC，O为AC中点，∴EO⊥AC，
又EO=12BD1= 32，
∴三棱锥D−AEC的体积VD−AEC=13×h×S△EAC=13×h×12× 32× 2= 612h，
∵VD−EAC=VE−ADC，∴ 612h=112，解得h= 66，
即点D到平面EAC的距离 66.
【解析】(1)由线面平行的判定定理即可证明；
(2)设点D到平面EAC的距离为h，由VD−EAC=VE−ADC求解即可．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得x=1−(0.1×2+0.4+0.2+0.05)=0.15，
∴蜜柚质量在区间[2.5,3.5)和[3.5,4.5)的比为2：3，
∴应该分别在蜜柚质量在区间[2.5,3.5)和[3.5,4.5)的蜜柚中抽取2个和3个，
记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A，
从这5个蜜柚中随机抽取2个，
基本事件总数n=C52=10，
这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克包含的基本事件个数m=C22+C21C31=7，
∴这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率为P(A)=mn=710.
(2)方案A好．
理由如下：
由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间[1.5,2.5),[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5)的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，
若按方案A收购，由题意知各区间的蜜柚个数分别为500，500，750，2000，1000，250，
∴总收益为：(1.5+2.52×500+2.5+3.52×500+3.5+4.52×750+4.5+5.52×2000+5.5+6.52×1000+6.5+7.52×250)×20=465000(元)，
若按方案B收购，由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750，
蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为5000−1750=3250，
所以总收益为1750×70+3250×90=415000(元).
因为415000<465000，
所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.
【解析】(1)依题意可得蜜柚质量在区间[2.5,3.5)和[3.5,4.5)的比为2：3，则分别在质量为[2.5,3.5),[3.5,4.5)的蜜柚中抽取2个和3个，求出从这5个蜜柚中随机抽取2个的可能情况，再求出至少有一个小于3.5千克的方法种数，由古典概率公式代入即可得出答案．
(2)分别计算两种方案的收益，比较两者的大小即可得出答案．
本题考查古典概型、排列组合、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】(1)证明：因为SA=AB，D为SB的中点，所以AD⊥SB，
因为平面SAB⊥平面SBC，AD⊂平面SAB，平面SAB∩平面SBC=SB，
所以AD⊥平面SBC，又BC⊂平面SBC，所以AD⊥BC，
因为∠CBA=90∘，所以AB⊥BC，又AD∩AB=A，AD⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，
所以BC⊥平面SAB，又SB⊂平面SAB，所以SB⊥BC；
(2)解：取BD中点H，过H作HK⊥CD于K，连接EK，
因为E、H分别为AB、BD的中点，所以EH//AD，
由(1)知AD⊥SB，AD⊥BC，所以EH⊥SB，EH⊥BC，
又SB∩BC=B，SB⊂平面SBC，BC⊂平面SBC，
所以EH⊥平面SBC，即EH⊥平面BDC，又CD⊂平面BDC，所以EH⊥CD，
因为HK⊥CD，EH∩HK=H，EH⊂平面EHK，HK⊂平面EHK，
所以CD⊥平面EHK，又EK⊂平面EHK，所以CD⊥EK，
所以∠EKH为二面角E−DC−B的平面角，
在△SBC中，∠CBS=90∘，BC=2，SC=2 3，所以SB= 12−4=2 2，
在△SAB中，SA=AB=2，SB=2 2，所以SA⊥AB，
由(1)可知BC⊥平面SAB，SA⊂平面SAB，所以SA⊥BC，
又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥平面ABC，
因为CE⊂平面ABC，所以SA⊥EC，
因为D、E分别为SB、AB的中点，所以DE//SA且DE=12SA=1，所以DE⊥EC，
在Rt△BEC中，BE=1，BC=2，所以EC= 5，
在Rt△DEC中，DE=1，EC= 5，所以DC= 6，所以EK= 5 6，
在Rt△ADB中，AD= AB2−BD2= 2，所以EH= 22，
由HK在面SBC内，则EH⊥HK，
所以在Rt△EHK中，sin∠EKH=EHEK= 155，即二面角E−DC−B的正弦值 155.
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理得到AD⊥平面SBC，再利用线面垂直的判定及性质即可证明．
(2)先利用平面角的定义得到二面角E−DC−B的平面角为∠EKH，在Rt△EHK中可求得二面角的平面角的正弦值．
本题主要考查线线垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】(1)解：由正弦定理可得：(a−c)(a+c)=(a−b)b，
∴a2+b2−c2=ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又∵C∈(0,π)，∴C=π3.
(2)设AD=x，∠ACD=θ，θ∈(0,π3)，
则BD=2x，CD=tx，
在△ACD中，由正弦定理得：sinA=tsinθ，
在△BCD中，由正弦定理得：sinB=CDsin∠BCDBD=t2sin(π3−θ).
又sinB=sin(π3+A)= 32csA+12sinA= 32csA+t2sinθ，
由 32csA+t2sinθ=t2sin(π3−θ)，得csA=tcs(π3+θ).
因为sin2A+cs2A=t2sin2θ+t2cs2(π3+θ)=1，
所以t2=1sin2θ+cs2(π3+θ)=21−cs2θ+1+cs(2π3+2θ)=22− 3cs(2θ−π6).
因为θ∈(0,π3)，所以−π6<2θ−π6<π2，
∴0∴1【解析】(1)由(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB，利用正弦定理得到a2+b2−c2=ab，再利用余弦定理求解；
(2)设AD=x，∠ACD=θ，θ∈(0,π3)，在△ACD和△BCD中，利用正弦定理结合得到sinA=tsinθ，csA=tcs(π3+θ)，再利用平方关系得到sin2A+cs2A=t2sin2θ+t2cs2(π3+θ)=1，整理表示t，利用余弦函数的性质求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，还考查了余弦函数性质的应用，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：已知函数f(x)= 2a(sinx+csx)+2bsin2x−2，(a∈R,b∈R)，
当a=1，b=0时，f(x)= 2(sinx+csx)−2=2sin(x+π4)−2，
此时g(x)=2sin(x+π4)−32
因为g(0)= 2−32<0，g(π4)=12>0且函数g(x)的图象在区间[0,π4]上不间断，
所以g(x)在[0,π4]上存在零点，
因为0≤x≤π4，
所以π4≤x+π4≤π2，
此时函数g(x)在[0,π4]上单调递增，
则g(x)在[0,π4]上有且仅有1个零点；
(2)若对于任意的x∈R，f(x)≤0恒成立，
不妨令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，− 2≤t≤ 2，
又sin2x=2sinxcsx=(sinx+csx)2−1=t2−1，
此时对于任意的x∈R， 2at+2b(t2−1)−2≤0恒成立，
不妨设h(t)= 2at+2b(t2−1)−2，函数定义域为[− 2, 2]，
当− 2≤t≤ 2时，h(t)≤0恒成立，
令 2t=2(t2−1)，
解得t= 2或− 22，
当t= 2时，a+b≤1，
令a=1，b=0，
此时h(t)= 2t−2≤ 2× 2−2=0恒成立，其满足条件，
所以a+b的最大值为1，
当t=− 22时，满足a+b≥−2，
令a=−43，b=−23，
此时h(t)=−43× 2t−43(t2−1)−2=−43(t+ 22)2≤0恒成立，其满足条件，
所以a+b的最小值为−2，
综上：a+b的最小值为−2，a+b的最大值为1.
【解析】(1)由题意，将a=1，b=0代入函数解析式中，对函数f(x)的解析式进行化简，进而得到函数g(x)的解析式，结合函数单调性即可求证；
(2)利用换元法，令t=sinx+csx，此时问题转化成对于任意的x∈R， 2at+2b(t2−1)−2≤0恒成立，根据a和b的系数相等，列出等式即可求出a+b的最值．
本题考查不等式恒成立问题和三角恒等变换，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．甲厂产品
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