2022-2023学年河北省秦皇岛市金科大联考高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省秦皇岛市金科大联考高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.1+2i1−3i=( )
A. 12+12iB. −12+12iC. 12−12iD. −12−12i
2.已知集合M={x|lg2x<2}，N={x|x2−x−2<0}，则M∩N=( )
A. (0,4)B. (0,2)C. (−1,4)D. (−1,2)
3.智力竞赛决赛由A，B两队进行比赛，A队有甲、乙两名队员，某一道题由甲、乙两名队员共同解答，甲答对的概率为15，乙答对的概率为16，则此题A队答对的概率是(至少一人答对即可)( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
4.如图，在等腰△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120∘，M为BC上的动点，BM=x，AM=y，则y关于x的函数解析式是( )
A. y= x2−2 3x+4(0≤x≤2 3)B. y= x2−4x+4(0≤x≤2 3)
C. y= x2−2x+4(0≤x≤2 3)D. y= x2−2 3+6(0≤x≤2 3)
5.在三棱雉A−BCD中，△ABC，△BCD均为等边三角形，BC=2，∠ACD=90∘，M为AD的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为( )
A. 0B. 22C. 32D. 1
6.已知a>1，b>2，(a−1)⋅(b−2)=2，则a+b的最小值为( )
A. 3 2B. 2 3C. 3+2 2D. 2+3 3
7.在平行四边形ABCD中，∠A=60∘，AB=1，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则B到平面ACD的距离为( )
A. 33B. 22C. 53D. 32
8.如图，△ABC外接圆的圆心为O，∠ACB=90∘，AB⋅AC=64，OB⋅OC=7，则圆O的半径R=( )
A. 10
B. 5
C. 7
D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知条件p：a>b，则是条件p的充要条件的是( )
A. a2>b2B. a3>b3C. 2a>a+bD. ac2>bc2
10.一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则( )
A. 这组数据的平均数为6B. 这组数据的方差为16
C. 这组数据的极差为11D. 这组数据的第70百分位数为7
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π,π))相邻的两个零点为π3，5π6，则( )
A. 函数f(x)的图象的一条对称轴是x=π6
B. 函数f(x)的图象的一条对称轴是x=π12
C. φ的值可能是π3
D. φ的值可能是5π6
12.已知tanα=2tanβ，则( )
A. 若sinαcsβ=25，则sin(α−β)=15
B. 若sinαcsβ=25，则cs(2α+2β)=−725
C. 若α,β∈(0,π2)，则tan(α−β)的最大值为 24
D. α,β∈(0,π2)，使得α=2β
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知|a|=1,|b|=2，a⋅b=32，则(a−b)⋅(a+2b)=______ .
14.若一组10个数据a1，a2，⋅⋅⋅，a10的平均值为3，方差为11，则a12+a22+⋅⋅⋅+a102=______ .
15.已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=ex，则以下结论：
①[f(x)]2+[g(x)]2=g(2x)；
②2f(x)⋅g(x)=f(2x)；
③g(x)的最小值为2.
其中正确结论的序号为__________.
16.已知AB是球O的直径，AB=4，C，D是球面上两点，CD⊥AB，CD=2，AB与平面COD所成的角为60∘，则四面体ABCD的体积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2ccsC+c2bcsB=ab2+ac2−a3.
(1)求A；
(2)若b+c=2，求a的最小值.
18.(本小题12分)
甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，从甲、乙两袋中各摸出1个球.
(1)求这两个球为1个红球和1个白球的概率；
(2)求这两个球颜色相同的概率.
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0)，B(1,m)(m>0)，|AB|=5
(1)求m的值；
(2)C，M是坐标平面上的点，BC=(−1,−1)，OM=xOA+(2−x)OC(020.(本小题12分)
已知函数f(x)=(2x−1)(2x−3).
(1)当x∈[0,2]时，求f(x)的值域；
(2)当x∈R时，若f(x)+f(−x)≥m2−2m恒成立，求实数m的取值范围.
21.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的体积为1，底面ABCD为平行四边形，E，F分别是PB，PC上的点，PE=EB，PF=2FC，平面AEF交CD于点G.
(1)求DGGC
(2)求四棱锥E−ABCG的体积.
22.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，AB=BC=4，A1B1=2，BB1=2 2.
(1)证明：BC1⊥A1C；
(2)求A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1+2i1−3i=(1+2i)(1+3i)10=−12+12i.
故选：B.
根据复数四则运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵M={x|lg2x<2}=(0,4)，N={x|x2−x−2<0}=(−1,2)，
∴M∩N=(0,2)，
故选：B.
分别解不等式可得集合M与N，进而可得M∩N.
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，甲答对的概率为15，乙答对的概率为16，则甲乙都没有答对的概率P1=(1−15)(1−16)=23，
则此题A队答对的概率P=1−P1=1−23=13.
故选：A.
根据题意，先计算甲乙都没有答对的概率，进而由对立事件的性质计算可得答案．
本题考查互斥事件和相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120∘，
BC= AB2+AC2−2⋅AB⋅ACcs∠BAC= 4+4+4=2 3，
则有0≤x≤2 3，
在△ABM中，AB=2，BM=x，AM=y，B=30∘，
由余弦定理有AM= AB2+BM2−2⋅AB⋅BMcsB，
即y= x2+22−2×2xcs30∘= x2−2 3x+4(0≤x≤2 3).
故选：A.
根据题意，在△ABC中，利用余弦定理求出BC的长，进而在△ABM中，由余弦定理分析可得答案．
本题考查函数解析式的求法，涉及余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图，取BD的中点N，连接CN，MN，则MN//AB，
异面直线AB与CM所成角即为异面直线AB与CM所成角，
而异面直线AB与CM所成角的余弦值为|cs∠NMC|，
因为△ABC，△BCD均为等边三角形，BC=2，
所以AB=AC=BC=BD=CD=2，
在△NMC中，MN=12AB=1，CN= BC2−BN2= 3，
因为∠ACD=90∘，所以AD= AC2+CD2=2 2，所以AM=12AD= 2，
CM= 2，所以cs∠NMC=NM2+MC2−CN22NM⋅MC=1+2−32×1× 2=0.
故选：A.
取BD的中点N，连接MN，CN，由题意可知异面直线AB与CM所成角的余弦值为|cs∠NMC|，求出NM，MC，NC，由余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：∵a>1，b>2，所以a−1>0，b−2>0，
所以a−1+b−22≥ (a−1)(b−2)= 2，
即a+b≥3+2 2，当且仅当a−1=b−2，即a=1+ 2，b=2+ 2时取等号．
故选：C.
根据(a+1)⋅(b−2)=2，由a−1+b−22≥ (a−1)(b−2)= 2求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由∠A=60∘，AB=1，AD=2，得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cs60∘=1+4−2×1×2×12=3，BD= 3，
则AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又四边形ABCD为平行四边形，∴BD⊥CD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，
在平面ABD内，作BH⊥AD于点H，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD=AD，
∴BH⊥平面ACD，则BH即为所求点B到平面ACD的距离，
在直角三角形ABD中，AB⊥BD，又BH⊥AD，
∴12AD⋅BH=12AB⋅BD⇒BH=AB⋅BDAD= 32.
∴B到平面ACD的距离为 32.
故选：D.
计算可得BD⊥CD，结合平面ABD⊥平面BCD，得CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD内，作BH⊥AD于点H，则BH即为所求点B到平面ACD的距离，计算可得结果．
本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90∘，
∴AC⋅CB=0，
∴AB⋅AC=(AC+CB)⋅AC=AC2+AC⋅CB=AC2=|AC|2=64，
∴|AC|=8，
由OB⋅OC=7，
得：12AB⋅(OA+AC)=12AB⋅OA+12AB⋅AC=−R2+12×64=7，
∴R=5.
故选：B.
利用直径所对的圆周角为直角，再结合向量的数量积定义及运算律计算求解．
本题考查圆的性质和平面向量的数量积，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：幂函数y=x2在R上不是单调函数，a2>b2时不能得到a>b，a>b时也不能得到a2>b2，故A错误；
幂函数y=x3在R上单调递增，a>b时一定有a3>b3，a3>b3时也一定有a>b，故B正确；
由不等式的性质可知，当a>b时，有a+a>b+a，即2a>a+b，
当2a>a+b时，有2a−a>a+b−a，即a>b，故C正确；
当a>b时，若c=0，则ac2>bc2不成立，故D错误．
故选：BC.
由充要条件的定义，根据不等式的性质和幂函数单调性判断．
本题考查充分必要条件的判断，考查幂函数与基本不等式的性质，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对A，这组数据的平均数为：17×(0+1+5+6+7+11+12)=6，故A选项正确；
对B，这组数据的方差为：17×(62+52+12+02+12+52+62)=1247，故B选项错误；
对C，这组数据的极差为：12−0=12，故C选项错误；
对D，由7×70%=4.9，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确．
故选：AD.
由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可．
本题考查平均数、方差、极差、第70百分位数的定义，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π,π))相邻的两个零点为5π6，
则T2=5π6−π3=π2，解得T=π，
故ω=2πT=2，
x=12(π3+5π6)=7π12，
则x=7π12为f(x)的一条对称轴，
所以f(x)的对称轴为x=7π12+k⋅π2，k∈Z，故A错误，B正确；
π3是函数f(x)的零点，
则2π3+φ=kπ,k∈Z，
φ=kπ−2π3，k∈Z，故C正确，D错误．
故选：BC.
根据已知条件，结合三角函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：A：tanα=2tanβ⇒sinαcsα=2⋅sinβcsβ⇒sinαcsβ=2csαsinβ，
又sinαcsβ=25，则csαsinβ=15⇒sin(α−β)=25−15=15，故A正确；
B：sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=35，cs(2α+2β)=1−2sin2(α+β)=725.故B错误；
C：tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=tanβ1+2tan2β=11tanβ+2tanβ≤ 24，当且仅当tanβ= 22，tanα= 2时取“=”，故C正确；
D：若α=2β，则tanα=tan2β⇒2tanβ=2tanβ1−tan2β，在(0,π2)上无解，故D错误．
故选：AC.
根据切化弦再结合两角和差计算判断A选项，再应用二倍角余弦公式判断B选项，两角差的正切结合基本不等式可以判断C选项，根据正切值得出角的关系判断D选项．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】−112
【解析】解：因为|a|=1,|b|=2，a⋅b=32，
所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=4，
所以(a−b)⋅(a+2b)=a2+a⋅b−2b2=1+32−8=−112.
故答案为：−112.
利用数量积的运算法则将(a−b)⋅(a+2b)展开，结合a2=|a|2=1,b2=|b|2=4求解即可．
本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题．
14.【答案】200
【解析】解：若一组10个数据a1，a2，⋅⋅⋅，a10的平均值为3，
所以a1+a2+...+a1010=3，
即a1+a2+...+a10=30，
不妨设这组数据的方差为s2，
此时10s2=(a1−3)2+(a2−3)2+⋅⋅⋅+(a10−3)2，
即10×11=(a12+a22+⋅⋅⋅+a102)−6(a1+a2+⋅⋅⋅+a10)+90，
则a12+a22+⋅⋅⋅+a102=110+6×30−90=200.
故答案为：200.
由题意，根据平均数和方差的计算公式，进行求解即可．
本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
15.【答案】①②
【解析】【分析】
本题考查了函数奇偶性的应用，属于中档题．
根据函数奇偶性结合已知列方程组计算可得解析式，逐个判断各个小题即可．
【解答】
解：f(−x)+g(−x)=e−x，即−f(x)+g(x)=e−x与f(x)+g(x)=ex，
解得f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，
由[f(x)]2+[g(x)]2=e2x+e−2x2=g(2x)，故①正确；
由2f(x)⋅g(x)=e2x−e−2x2=f(2x)，故②正确；
由g(x)=ex+e−x2≥12⋅2 ex⋅e−x=1，当且仅当x=0时取等号，故③错误，
故答案为：①②．
16.【答案】2
【解析】解：球O的半径为2，CD=OC=OD=2，△OCD为等边三角形，
取CD的中点H，连接OH，如图所示：
则OH= OD2−HD2= 4−1= 3，
因为CD⊥OH与CD⊥AB，OH，AB⊂平面HAB，OH∩AB=O，
所以CD⊥平面HAB，
又因为CD⊂平面COD，所以平面COD⊥平面HAB，
平面COD∩平面HAB=HO，所以∠HOB是AB与平面COD所成线面角，
所以∠HOB=60∘，
所以S△HAB=2S△HOB=2×12OH⋅OB⋅sin60∘=3，
VA−BCD=VC−HAB+VD−HAB=13⋅S△HAB⋅CD=13×3×2=2.
故答案为：2.
取CD中点H，由已知可证平面COD⊥平面HAB，得∠HOB=60∘，解得S△HAB=3，由VA−BCD=VC−HAB+VD−HAB求出体积即可．
本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
b2ccsC+c2bcsB=a(b2+c2−a2)=a⋅2bccsA，
所以bcsC+ccsB=2acsA，
即sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
即sinA=2sinAcsA⇒csA=12,A∈(0,π)⇒A=π3；
(2)由余弦定理有a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3⋅(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，
故a的最小值为1.
【解析】(1)根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
(2)应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在两个口袋中取得球是相互独立事件，
“两球为1红1白”可分为两个互斥事件：
A1=甲袋取白球且乙袋取红球，概率为P(A1)=13×13=19；
A2=甲袋取红球且乙袋取白球，概率为P(A2)=23×23=49，
故两球为1红1白的概率为19+49=59；
(2)这两个球颜色相同与这两个球为1个红球和1个白球，互为对立事件，
所以这两球颜色相同的概率为P=1−59=49.
【解析】(1)甲袋取白球且乙袋取红球或甲袋取红球且乙袋取白球，这两种事件互斥，在两个口袋中取得球是相互独立事件，根据概率公式得到结果．
(2)利用对立事件的概率公式求解．
本题考查相互独立事件以及对立事件相关知识，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为A(4,0)，B(1,m)，所以AB=(−3,m)，
故|AB|2=9+m2=25⇒m=±4，
因为m>0，所以m=4；
(2)OC=OB+BC=(0,3)，
OM=xOA+(2−x)OC=x⋅(4,0)+(2−x)⋅(0,3)=(4x,6−3x)，
OM2=16x2+(6−3x)2=25x2−36x+36=25(x−1825)2+57625，
因为0【解析】(1)先求出AB=(−3,m)，再根据模长公式可求出结果；
(2)先求出OM=(4x,6−3x)，再根据模长公式以及二次函数知识可得结果．
本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的加法和数乘运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)令2x=t，因为x∈[0,2]，所以t∈[1,4]，
令g(t)=(t−1)(t−3)=t2−4t+3=(t−2)2−1，t∈[1,4]，
因为|4−2|>|1−2|，所以当t=2时，取最小值为g(t)min=−1，
当t=4时，取最大值为g(t)max=3，即g(t)∈[−1,3]，
故当x∈[0,2]时，f(x)值域为[−1,3]；
(2)f(x)+f(−x)=(2x−1)(2x−3)+(2−x−1)(2−x−3)，
令t=2x，则2−x=1t，且t>0，
所以g(t)+g(1t)=t2+1t2−4(t+1t)+6
=(t+1t)2−4(t+1t)+4
=(t+1t−2)2≥0，
其中t+1t−2≥2 t⋅1t−2=0，
当且仅当t=1t即t=1时取等号，此时x=0，
即f(x)+f(−x)≥0，
所以m2−2m≤0，解得0≤m≤2，即实数m的取值范围为[0,2].
【解析】(1)令2x=t，结合二次函数的性质计算可得；
(2)利用换元法及基本不等式求出f(x)+f(−x)的最小值，即可得到关于m的一元二次不等式，解得即可．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在平面PBC内，延长EF，与BC交于点H，取PC中点为Q，连接EQ，如图所示：
QC=12PC，FC=13PC，所以QF=QC−FC=16PC，
由EQ//BH，所以△EQF∽△HCF，所以EQCH=QFFC=12，
所以CH=2EQ=BC，
连接AH交CD于点G，AD=CH，所以G为CD中点，
所以DGGC=1；
(2)因为G为CD中点，所以△ADG的面积是平行四边形ABCD面积的14，
所以梯形ABCG的面积是平行四边形ABCD面积的34，
又因为E是PB的中点，所以点E到平面ABCG的距离是点P到平面ABCD的距离的12，
所以四棱锥E−ABCG的体积为VE−ABCG=38VP−ABCD=38.
【解析】(1)延长EF，与BC交于点H，连接AH交CD于点G，通过构造相似三角形求相关线段的比例，可求DGGC的值；
(2)由点E和点G的位置，判断四棱锥E−ABCG的体积与四棱锥P−ABCD的体积的关系，即可求出四棱锥E−ABCG的体积．
本题考查了空间几何体的结构特征与几何体体积计算问题，是中档题．
22.【答案】(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，
所以以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,4,0)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，A1(0,2,2 2)，C1(2,0,2 2)，
所以BC1=(2,0,2 2)，A1C=(4,−2,−2 2)，
所以BC1⋅A1C=2×4−2 2×2 2=0，即BC1⊥A1C.
(2)解：由(1)知，BA1=(0,2,2 2)，AC=(4,−4,0)，
设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅A1C=0n⋅AC=0，即4x−2y−2 2z=04x−4y=0，
令x=y= 2，则z=1，所以n=( 2, 2,1)，
设A1B与平面ACC1A1所成角为θ，则sinθ=|cs|=|BA1⋅n||BA1|⋅|n|=2 2+2 22 3× 5=2 3015，
故A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为2 3015.
【解析】(1)以B为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需各点的坐标，由BC1⋅A1C=0，即可得证；
(2)求得平面ACC1A1的法向量n，设A1B与平面ACC1A1所成角为θ，由sinθ=|cs|，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直、求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．