2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中，是随机事件的是( )
①明天本市会下雨；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月．
A. ①③B. ③④C. ①④D. ②③
2.i是虚数单位，若(2k2−3k−2)+(k2−2k)i是纯虚数，则实数k的值为( )
A. 0或2B. 2C. −12D. 2或−12
3.已知向量a=(−1,4)，b=(3,−2λ)，若a//(2a+b)，则λ=( )
A. −1B. 6C. −6D. 2
4.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为( )
A. 4πB. 6πC. 3πD. 12π
5.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，AE=13AC，若DE=λAB+μBC，则λ+μ=( )
A. −56B. −16C. 16D. 56
6.设A、B、C、D是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是( )
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 无法确定
7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为( )
A. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//βB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若m//n，n⊂α，α//β，则m//βD. 若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n
8.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3,4,6}中随机地取一个数b，则向量m=(b,a)与向量n=(1,−2)垂直的概率为( )
A. 112B. 13C. 14D. 16
9.一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档(除夕至大年初六)，在《满江红》《流浪地球2》《熊出没⋅伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是( )
A. 2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多
B. 这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10
C. 这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元
D. 这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年
10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为( )
A. 62
B. 63
C. 33
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.i是虚数单位，化简−4+3i3+4i的结果为______ .
12.某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为14，p，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为12，则p的值为______ .
13.某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是______ .
14.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为______.
15.如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15∘、北偏东45∘方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60∘方向，则A、B两处岛屿的距离为______海里．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
17.(本小题10分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a+b=11，c=7，csA=−17.
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求sinB的值及△ABC的面积．
18.(本小题10分)
某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
(2)试估计该校学生满意度打分的众数、中位数(中位数保留小数点后2位)；
(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40,60)的学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人打分都在[50,60)的概率.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60∘，M是PD的中点．

(Ⅰ)求证：OM//平面PAB；
(Ⅱ)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(Ⅲ)当三棱锥C−PBD的体积等于 32时，求PA的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查随机事件的定义，即可求解．
根据已知条件，结合随机事件的定义，即可求解．
【解答】
解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件，
②不可能发生，是不可能事件，
④一定发生，是必然事件．
故选：A.
2.【答案】C
【解析】解：∵(2k2−3k−2)+(k2−2k)i是纯虚数，
∴2k2−3k−2=0k2−2k≠0，∴k=−12.
故选：C.
由纯虚数的概念得到关于k的关系式，求解即可．
本题考查复数的概念，还考查了数学计算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：向量a=(−1,4)，b=(3,−2λ)，
则2a+b=(1,8−2λ)，
由a//(2a+b)，得4=−8+2λ，
解得λ=6.
故选：B.
利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：圆锥的底面半径为2，母线长为3，
则该圆锥的侧面积为
S侧面积=πrl=π⋅2⋅3=6π.
故选：B.
根据圆锥的底面半径和母线长计算侧面积即可．
本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE=DA+AE
=12BA+13AC
=12BA+13(BC−BA)
=16BA+13BC
=−16AB+13BC，
∴λ=−16，μ=13，
∴λ+μ=16，
故选：C.
利用平面向量的基本运算即可用AB和BC线性表示出DE，从而求出λ，μ的值．
本题主要考查了平面向量的基本运算，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：解法一：如图，延长ME使ME=EF，
因为A，B，C，D为棱的中点，
所以延长DC，AB都会交EF中点H处，
所以直线AB和直线CD的位置关系为相交．
解法二：如图所示，连接AD.EF，BC，
则易得AD平行且等于EF，EF平行且等于2倍BC，
所以AD平行且等于2倍BC，
所以四边形ABCD为梯形，
所以直线AB和直线CD的位置关系是相交．
故选：A.
解法一：在长方体中，延长ME，DC，AB，即会得到直线AB和直线CD的位置关系．
解法二：证明BC平行等于二分之一AD，即可判断．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：选项A，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，即A错误；
选项B，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m与n异面，即B错误；
选项C，若m//n，n⊂α，α//β，则m//β或m⊂β，即C错误；
选项D，因为m⊥α，α//β，所以m⊥β，又n⊥β，所以m//n，即D正确．
故选：D.
根据空间中线与面的位置关系，逐一判断选项，即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面的位置关系分类，线面垂直的性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3,4,6}中随机地取一个数b，基本事件总数N=12.
当向量m=(b,a)与向量n=(1,−2)垂直时，b=2a，满足条件的基本事件有(4,2)，(6,3)，共两个，
则所求概率P=212=16.
故选：D.
先求出基本事件的个数，然后求解满足向量m⊥n的个数，结合古典概率的求解公式可求．
本题主要考查了向量垂直的坐标表示及古典概率的求解公式的简单应用属于基础试题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查条形图图像及性质，众数、极差、平均数概念，属于中档题．
计算2022年，2023年春节档平均每场观影人数可判断A；求得这4年中，每年春节档上映新片的数量的众数可判断B；求出这4年中，每年春节档票房的极差可判断C；求出这4年平均每部影片的观影人数可判断D.
【解答】
解：对于A，2022年春节档平均每场观影人数为11446315≈36，
2023年春节档平均每场观影人数为12921266≈49，故A错误；
对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，所以众数为8，故B错误；
对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为78.43−59.05=19.38亿元，故C错误；
对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为132208≈1653万，1604610≈1605万，114468≈1431万，129217≈1846万，故D正确．
故选：D.
10.【答案】B
【解析】解：在三棱锥P−ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘，O为PB的中点，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AC=BC=1，则C(0,0,0)，P(0,1,1)，B(1,0,0)，O(12,12,12)，A(0,1,0)，
CO=(12,12,12)，CA=(0,1,0)，CP=(0,1,1)，
平面PAC的法向量n=(1,0,0)，
设直线CO与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=|CO⋅n||CO|⋅|n|=12 32= 33，
∴csθ= 1−sin2θ= 1−13= 63.
∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为 63.
故选：B.
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CO与平面PAC所成角的余弦值．
本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】i
【解析】解：−4+3i3+4i=(−4+3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25i25=i.
故答案为：i.
利用复数的除法运算求解作答．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
12.【答案】13
【解析】解：依题意，投篮两次都不中的概率为(1−14)(1−p)=1−12，解得p=13，
所以p的值为13.
故答案为：13.
利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算作答．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
13.【答案】8.2
【解析】解：依题意，评分数据由小到大排列为：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，
而10×75%=7.5，所以该选手得分的样本数据的第75百分位数是8.2.
故答案为：8.2.
把给定数据由小到大排列，再根据第p百分位数的意义求解作答．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
14.【答案】60∘
【解析】解：连接A1C1，BC1，∵AD1//BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，
∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设棱长为1，则A1C1=BC1=BA1= 2，
∴△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1=60∘
故答案是60∘.
连接BC1，证明∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，在△A1BC1中求∠A1BC1.
本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键．
15.【答案】20 6
【解析】【分析】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．
分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB.
【解答】连接AB，由题意可知
CD=40，∠ADC=105∘，∠BDC=45∘，∠BCD=90∘，∠ACD=30∘，
∴∠CAD=45∘，∠ADB=60∘，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin30∘=40sin45∘，∴AD=20 2，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC=45∘，∠BCD=90∘，
∴BD= 2CD=40 2.
在△ABD中，由余弦定理得AB= 800+3200−2×20 2×40 2×cs60∘=20 6
故答案为：20 6.
16.【答案】解：(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}，
事件R={(1,2),(2,1)}，事件G={(3,4),(4,3)}，事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}，
事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.
(2)由(1)知，R∩G=⌀，而R∪GΩ，所以事件R，G互斥，不对立；
M∩N=⌀，M∪N=Ω，所以事件M，N互为对立事件．
(3)由(1)知，R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件．
【解析】(1)利用列举法列出试验的样本空间，再分别列出各事件的基本事件作答．
(2)利用互斥事件与对立事件的定义逐个判断作答．
(3)根据事件分析事件的并事件及关系作答．
本题考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵c=7，csA=−17，
∴由余弦定理得a2=c2+b2−2cbcsA，可得a2=49+(11−a)2−2×7×(11−a)×(−17)，
∴24a=192，
∴a=8，b=11−8=3.
(Ⅱ)∵a=8，b=3，c=7，
∴csB=a2+c2−b22ac=64+49−92×8×7=1314，可得sinB= 1−cs2B=3 314，
∴S△ABC=12acsinB=12×8×7×3 314=6 3.
【解析】(Ⅰ)由余弦定理和a+b=11，可求得a，b值．
(Ⅱ)由余弦定理可求csB的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形的面积公式即可求解三角形的面积．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，
(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，解得a=0.006.
该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×(0.28+0.22+0.18)=680.
(2)众数：75；
0.04+0.06+0.22=0.32，所以中位数为：70+×10≈76.43.
(3)由频率分布直方图可知，打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，
分层抽样抽取5人，则打分在[40,50)和[50,60)内分别抽取2人和3人，
从5人中选取2人进行跟踪分析，这2人打分都在[50,60)的概率P=C32C52=310.
【解析】(1)由频率分布直方图的概率和为1求出a的值，再由频数=频率×概率得出打分不低于70分的人数；
(2)由众数、中位数的定义求解；
(3)先由分层抽样，找到每一组抽取的人数，再根据古典概型求出概率即可．
本题主要考查频率分布直方图，分层抽样方法，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】证明：(Ⅰ)在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，
所以OM//PB，
又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以OM//平面PAB.
(Ⅱ)因为底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
又BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC.
解：(Ⅲ)因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60∘，
所以S△BCD=12×22× 32= 3.
又VC−PBD=VP−BCD，三棱锥P−BCD的高为PA，
所以13× 3×PA= 32，
解得PA=32.
【解析】本题考查线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
(Ⅰ)由中位线定理可知OM//PB，故而OM//平面PAB；
(Ⅱ)由菱形的性质得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；
(Ⅲ)根据VC−PBD=VP−BCD，计算出S△BCD代入体积公式得出棱锥的高PA.