2022-2023学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数i⋅(3+i)的虚部是( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
2.已知向量a=(−1,1)，则下列向量中与a平行的单位向量是( )
A. ( 22,− 22)B. ( 22, 22)C. (1,−1)D. (1,1)
3.若tanα=−512，csα>0，则sinα=( )
A. 1213B. 513C. −1213D. −513
4.已知tan(α−π4)=2，则tanα的值为( )
A. 3B. 1C. −3D. −1
5.下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=sin2xD. y=cs2x
6.已知向量a=(1, 3)，向量b为单位向量，且a⋅b=1，则|2b−a|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
7.函数f(x)=sinx+sin(x+π2)的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
8.在△ABC中，“sinA=sinB”是“A=B”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知|AB|=1，|AC|=2，AD⋅AC=4，则|BD|的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
10.海洋中的波动是海水的重要运动形式之一.在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播.(节选自《海洋科学导论》冯士筰李凤岐李少菁主编高等教育出版社)某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y(米)与时间t(秒)的关系近似满足y=sin(ωt+φ)，t∈[0,8]，其中常数ω>0，|φ|<π.经测定，在t=2秒时该质点第一次到达波峰，在t=8秒时该质点第三次到达波峰.在t∈[0,8]时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为( )
A. 32秒B. 2秒C. 52秒D. 3秒
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则zi=______ .
12.已知A(0,1)，B(3,−2)，且AC=2CB，则AC的坐标为______ .
13.在平面直角坐标系xOy中，点A(2csα,2sinα)，B(cs(α+π3),sin(α+π3))，则△OAB的面积为______ .
14.在△ABC中，c=8，∠B=30∘，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是______ .
15.已知函数f(x)=sinπxx2−x，给出下列四个结论：
①f(x)存在无数个零点；
②f(x)在(1,+∞)上有最大值；
③若f(2023.7)=a，则f(−2022.7)=a；
④区间(12,1)是f(x)的单调递减区间.
其中所有正确结论的序号为______ .
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(3,2)，C(2,5)，点P满足AP=λAB+μAC.
(Ⅰ)当λ=1，μ=−1时，求点P的坐标；
(Ⅱ)若AP⊥BC，求λμ的值.
17.(本小题9分)
如图所示，已知△ABC中，D为AC上一点，∠A=π4，AB=4，BD= 10，AD>AB.
(Ⅰ)求sin∠ADB；
(Ⅱ)若sin∠BDC=2sin∠C，求DC的长.
18.(本小题11分)
已知函数f(x)=sin(x+π6)csx+sin(π3−x)sinx.
(Ⅰ)求f(π3)的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)将函数f(x)图象上的所有点向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，使得直线x=π是函数g(x)图象的一条对称轴，求m的最小值.
19.(本小题11分)
设T>0，对定义在R上的函数f(x)，若存在常数S，使得f(x+T)=f(x)+S对任意x∈R恒成立，则称函数f(x)满足性质P(T).
(Ⅰ)判断下列函数是否具有性质P(2)？
①f1(x)=sinπx，②f2(x)=x2，③f3(x)=2x+1.
(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P(T1)，P(T2)，其中T2>T1>0，求证：函数f(x)具有性质P(T2−T1)；
(Ⅲ)设函数F(x)=f(x)+g(x)具有性质P(T)，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.若f(T2)=1，求f(2023T2)的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：i(3+i)=−1+3i，其虚部为3.
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，设要求向量为b，且b=λa，
则b=λa=(−λ,λ)，
b为单位向量，则(−λ)2+λ2=1，
解可得：λ=± 22，
故b=(− 22, 22)或( 22,− 22).
故选：A.
根据题意，设要求向量为b，且b=λa，可得b的坐标为(−λ,λ)，由单位向量的定义可得(−λ)2+λ2=1，解可得λ的值，即可得b的坐标，即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及单位向量的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵tanα=−512=sinαcsα，csα>0，则sinα<0.
再根据sin2α+cs2α=1，可得sinα=−513.
故选：D.
由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵已知tan(α−π4)=2，
则tanα=tan[(α−π4)+π4]=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=2+11−2×1=−3.
故选：C.
由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A，函数y=sinx为奇函数，周期为2π，故A错误；
对于B，函数y=csx为偶函数，周期为2π，故B错误；
对于C，函数y=sin2x为奇函数，周期为2π2=π，故C错误；
对于D，函数y=cs2x为偶函数，周期为2π2=π，故D正确．
故选：D.
根据三角函数的奇偶性和周期公式，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，可得|a|= 1+3=2，
则|2b−a|2=(2b−a)2
=4⋅|b|2−4⋅b⋅a+|a|2
=4×1−4×1+22
=4，
∴|2b−a|=2.
故选：C.
先根据题干已知条件计算出|a|的值，进一步根据平面向量的运算性质计算|2b−a|2的结果，进一步计算出|2b−a|的值，得到正确选项．
本题主要考查平面向量的运算．考查了转化与化归思想，向量的模运算，向量数量积的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意：
f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
故当sin(x+π4)=1时，f(x)有最大值 2.
故选：B.
根据诱导公式及三角恒等变换，可对函数进行化简，进而找出最大值．
本题考查三角变换，三角函数的最值，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：显然，A=B⇒sinA=sinB，
反之，在△ABC中，sinA=sinB⇒A=B，
故选：C.
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件的定义以及三角函数的性质，是一道基础题．
9.【答案】A
【解析】解：已知|AB|=1，|AC|=2，AD⋅AC=4，
则(AB+BD)⋅AC=4，
则AB⋅AC+BD⋅AC=4，
又AB⋅AC≤|AB||AC|=1×2=2，
即BD⋅AC≥2，
又|BD||AC|≥BD⋅AC，
即|BD||AC|≥2，
即|BD|≥1，
则|BD|的最小值为1.
故选：A.
由平面向量的加法运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的加法运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数应用，属于基础题．
由正弦函数的性质得出解析式，再由sin(2π3t−5π6)=12，得出总时长．
【解答】
解：因为t=2秒时该质点第一次到达波峰，在t=8秒时该质点第三次到达波峰．
所以2T=8−2，T=3，即ω=2πT=2π3，
当t=2时，y=sin(4π3+φ)=1，4π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，
即φ=−5π6+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π，所以φ=−5π6，则y=sin(2π3t−5π6)，
由sin(2π3t−5π6)=12，得出2π3t−5π6=π6+2kπ或2π3t−5π6=5π6+2kπ，k∈Z，
即t=32+3k，或t=52+3k，k∈Z，因为t∈[0,8]，
所以t=32,52,92,112,152，
因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为：
(52−32)+(112−92)+(8−152)=52.
故选：C.
11.【答案】2−i
【解析】解：复数z对应的点的坐标是(1,2)，
则z=1+2i，
故zi=1+2ii=2−i.
故答案为：2−i.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
12.【答案】(2,−2)
【解析】解：设C(x,y)，
A(0,1)，B(3,−2)，
则AC=(x,y−1)，CB=(3−x,−2−y)，
AC=2CB，
则x=2(3−x)y−1=2(−2−y)，解得x=2y=−1，
故C(2,−1)，
AC=(2,−2).
故答案为：(2,−2).
根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算法则，属于基础题．
13.【答案】 32
【解析】解：由题意|OA|=2，|OB|=1，OA⋅OB=2csαcs(π3+α)+2sinαsin(π3+α)=2csπ3=1，
所以cs∠AOB=OA⋅OB|OA|⋅|OB|=12，
而三角形中，∠AOB∈(0,π)所以sin∠AOB= 32，
所以S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12×2×1× 32= 32.
故答案为： 32.
由题意可得|OA|，|OB|的值，再由向量的夹角的余弦值公式，可得∠AOB的余弦值，进而求出它的正弦值，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积．
本题考查向量夹角的运算性质的应用及三角形面积公式的应用，属于基础题．
14.【答案】5(b∈(4,8)均可)
【解析】解：由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=a2+64−8 3a，
即a2−8 3a+64−b2=0有两解，所以(a−4 3)2=b2−16有两解，
所以a=4 3± b2−16，所以4 3> b2−16，解得b<8，
又由b2−16>0⇒b>4，
所以实数b的范围是4则b的一个值是5.
故答案为：5(b∈(4,8)均可).
根据余弦定理转化为关于a的方程有两解可得b的取值范围，从b的范围中取值即可．
本题主要考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】①②③
【解析】解：对于①，由x2−x≠0，可得x≠0且x≠1，即函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，
令f(x)=0可得sinπx=0，则πx=kπ(k∈Z)，且x∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，
故x=k(k∈Z,k≠0,k≠1)，所以函数f(x)有无数个零点，①对；
对于②，当x>1时，x2−x=x(x−1)>0，
令sinπx≥0，可得2kπ≤πx≤(2k+1)π(k∈N*)，解得2k≤x≤2k+1(k∈N*)，
假设函数f(x)在(1,+∞)上的最大值点为x0，则x0∈[2k,2k+1](k∈N*)，
因为函数y=x2−x2在(1,+∞)上单调递增，且y=x2−x>0，
对任意的x∈[2k,2k+1](k∈N*)，且t∈N*，则(x+2t)2−(x+2t)>x2−x>0，
所以1x2−x>1(x+2t)2−(x+2t)>0，
则f(x+2t)=sin(πx+2tπ)(x+2t)2−(x+2t)=sinπx(x+2t)2−(x+2t)≤sinπxx2−x=f(x)，
所以若f(x)在(1,+∞)上存在最大值点x0，则x0∈[2,3]，
因为函数f(x)在[2,3]上是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在[2,3]上存在最大值，
故函数f(x)在(1,+∞)上存在最大值，②对；
对于③，对任意的x∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，
f(1−x)=sin(π−πx)(1−x)2−(1−x)=sinπxx2−x=f(x)，
因为2023.7−2022.7=1，所以若f(2023.7)=a，则f(−2022.7)=a，③对；
对于④，f(23)=sin2π3(23)2−23= 32×(−92)=−9 34，
f(34)=sin34π(34)2−34= 22×(−163)=−8 23，
因为(9 34)2−(8 23)2=24316−1289=2187−204848>0，即9 34>8 23，故f(23)故函数f(x)在(12,1)上不可能单调递减，④错．
故答案为：①②③．
解方程f(x)=0，可判断①；分析出函数f(x)在(1,+∞)的最大值点在区间[2,3]内，再利用最值定理可判断②；推导出f(1−x)=f(x)，可判断③；利用特殊值法可判断④．
本题主要考查函数的单调性与最值，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)设P(x,y)，由A(1,0)，B(3,2)，C(2,5)，
可得AB=(2,2)，AC=(1,5)，AP=(x−1,y)，
由题意，AP=AB−AC，即(x−1,y)=(2,2)−(1,5)=(1,−3)，
∴x−1=1y=−3，解得点p的坐标为(2,−3)；
(Ⅱ)BC=(−1,3)，由AP⊥BC可得：AP⋅BC=0，
即−(x−1)+3y=0，即x=3y+1，
又(x−1,y)=λ(2,2)+μ(1,5)，
∴x−1=2λ+μy=2λ+5μ，
∴4λ=−14μ，即λμ=−72.
【解析】(Ⅰ)直接将坐标代入向量关系求解；
(Ⅱ)由线段垂直，得到数量积为0，再由向量关系得到λ与μ的关系式，整理即得．
本题考查平面向量坐标运算，属基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，∠A=π4，AB=4，BD= 10，
由正弦定理可得ABsin∠ADB=BDsinA，可得sin∠ADB=ABBD⋅sinA=4 10⋅ 22=2 55，
即sin∠ADB=2 55；
(Ⅱ)由图知sin∠BDC=sin∠ADC，
在△ACD中，由正弦定理可得：BCsin∠BDC=CDsinC，又因为sin∠BDC=2sin∠C，
所以BC=2CD，
因为AD>AB，则∠ADC为锐角，所以∠BDC为钝角，即cs∠BDC=− 55，
在△BCD中，由余弦定理可得：BC2=BD2+CD2−2BD⋅CD⋅cs∠ADC，
即4CD2=10+CD2−2 10⋅CD⋅(− 55)，
解得CD=53 2.
【解析】(Ⅰ)由题意在△ABD中，由正弦定理可得sin∠ADB的值；
(Ⅱ)也题意及(Ⅰ)可得cs∠BDC的值，正弦定理的BC，CD的关系，由余弦定理可得CD的大小．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin(x+π6)csx+sin(π3−x)sinx=sin(x+π6)csx+cs(x+π6)sinx
=sin(2x+π6).
∴f(π3)=sin5π6=sinπ6=12.
(Ⅱ)对f(x)=sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
可得函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.
(Ⅲ)将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象上的所有点向右平移m(m>0)个单位长度，
得到函数g(x)=sin(2x−2m+π6)的图象．
要使得直线x=π是函数g(x)图象的一条对称轴，需2π−2m+π6=kπ+π2，k∈Z.
故当k=1时，m取得最小值为π3.
【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得f(π3)的值．
(Ⅱ)由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
(Ⅲ)由题意，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①因为f1(x+2)=sin[π(x+2)]=sinπx=f1(x)，所以f1(x)具有性质P(2)；
②因为f2(x+2)=(x+2)2=x2+4x+4≠f2(x)+s，所以f2(x)不具有性质P(2)；
③f3(x+2)=2(x+2)+1=f3(x)+4，所以具有性质P(2).
(2)因为函数f(x)具有性质P(T2)，则存在常数S2使得f(x+T2)=f(x)+S2对任意x∈R恒成立．
因为函数f(x)具有性质P(T1)，则存在常数S1使得f(x+T1)=f(x)+S1对任意x∈R恒成立，
故f(x−T1+T1)=f(x−T1)+S1，即f(x−T1)=f(x)−S1也对任意x∈R恒成立，
因此f(x+T2−T1)=f(x+T2)−S1=f(x)+S2−S1对任意x∈R恒成立．
又因为T2>T1>0，
所以函数f(x)具有性质P(T2−T1).
(3)由已知存在S满足F(x+T)=F(x)+S，即f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)+S，
令x=a，则f(a+T)+g(a+T)=f(a)+g(a)+S①，
令x+T=−a，则f(−a)+g(−a)=f(−a−T)+g(−a−T)+S②，
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(−a)=−f(a)，g(−a)=g(a)，f(−a−T)=−f(a+T)，g(−a−T)=g(a+T)，
①+②，整理得f(a+T)=f(a)+S，
令a=−T2，则f(T2)=f(−T2)+S，即f(T2)=S2，
又因为f(T2)=1，所以S=2，
所以f(2033T2)=f(1011T+T2)=f(1010T+T2)+2=⋯=1011×2+f(T2)=2023.
【解析】(1)利用性质P(T)的定义判断；
(2)利用性质P(T)的定义证明；
(3)根据函数F(x)=f(x)+g(x)具有性质P(T)，得到F(x+T)=F(x)+S，从而有f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)+S，分别令x=a，x+T=−a，再结合f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f(a+T)=f(a)+S，然后令a=−T2，得到f(T2)=S2，从而得到S=2，然后利用f(2023T2)=f(1011T+T2)−f(1010T+T2)+2求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．