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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制同步练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制同步练习题，共31页。试卷主要包含了1 任意角和弧度制，30°，当弧度时，扇形周长最小，为等内容，欢迎下载使用。
5.1 任意角和弧度制
【考点梳理】
大重点一：任意角
考点一：任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．角的分类：
考点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
考点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
考点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
大重点二：弧度制
考点五：度量角的两种单位制
1．角度制：
(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．
(2)1度的角：周角的eq \f(1,360).
2．弧度制：
(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
考点六：弧度数的计算
考点七：角度与弧度的互化
考点八四：弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
【题型归纳】
题型一：任意角的概念
1．（2023·全国·高一课时练习）如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北张家口·高一期末）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏吴江·高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二：终边相同的角
4．（2023·陕西省洛南中学高一月考）与角终边相同的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河南商丘·高一月考）设角的顶点在原点，始边和轴的非负半轴重合，则和角终边相同的最大负角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一期中（文））终边在直线上的角的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：象限角
7．（2023·全国·高一课时练习）已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是（ ）
A．第一象限角的集合B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合D．第一或第四象限角的集合
8．（2023·全国·高一课时练习）设小于的角锐角第一象限角小于而不小于的角，那么有（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·上海·高一课时练习）若是第三象限的角，则所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第二象限D．第二象限或第四象限
题型四：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）
10．（2023·全国·高一课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
11．（2023·湖北十堰·高一期末）如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造､桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需分钟，且是匀速转动的，则经过分钟，点转过的角的弧度是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高一课前预习）下列叙述中，正确的是（ ）
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角的和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
题型五：角度与弧度的互化
13．（2023·全国·高一课时练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是B．化成角度是30°
C．1°化成弧度是180radD．化成角度是
14．（2023·安徽宿州·高一期中）将改写成的形式是（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·山东·济南市长清第一中学高一月考）下列转化结果错误的是（ ）
A．60化成弧度是B．150化成弧度是
C．化成度是600D．化成度是15
题型六：、与扇形的弧长、面积有关的计算
16．（2023·甘肃·静宁县第一中学高一月考（理））已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ）
A．1B．4C．1或4D．2或4
17．（2023·云南省玉溪第一中学高一月考）已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·江西省乐平中学高一开学考试）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
一、单选题
19．（2023·江苏·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限角D．第一象限角一定是锐角
20．（2023·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻.请你联想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·河南·高一期末）已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·上海市建青实验学校高一期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．小于的角一定是锐角B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合D．始边相同且终边重合的角一定相等
23．（2023·河南焦作·高一期中）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
24．（2023·陕西·咸阳百灵学校高一月考）与角终边相同的角可表示为（ ）
A．B．
C． D．
25．（2023·陕西·杨陵区高级中学高一月考）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ）
A．1069千米B．1119千米C．2138千米D．2238千米
26．（2023·上海宝山·高一期末）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·全国·高一课前预习）下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（ ）
A．③④⑤B．①③④C．①③④⑤D．②③④⑤
28．（2023·全国·高一专题练习）已知圆心角为的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为时，该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
一：单选题
29．（2023·江西·横峰中学高一月考（理））下列命题中，正确的是（ ）
A．终边相同的角是相等的角
B．终边在第二象限的角是钝角
C．若角的终边在第一象限，则的终边也一定在第一象限
D．终边落在坐标轴上的所有角可表示为
30．（2023·全国·高一专题练习）下列两组角的终边不相同的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
31．（2023·江西·横峰中学高一月考（理））半径为2，圆心角为的扇形所夹的弓形（如图所示的阴影部分）面积为（ ）
A．B．
C．D．
32．（2023·湖北恩施·高一期末）已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·河南·新蔡县第一高级中学高一期中）已知为第二象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
34．（2023·湖南·衡阳市八中高一期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·北京顺义·高一期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·浙江·高一期末）如图，点、、是圆上的点，且，，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
37．（2020·河北·英才国际学校高一月考）下面表述不正确的是（ ）
A．终边在轴上角的集合是
B．终边在轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线上角的集合是
38．（2023·全国·高一单元测试）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
39．（2023·全国·高一课时练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
40．（2023·河北石家庄·高一期末）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（ ）
A．1、4B．1、2C．2、1D．2、4
41．（2023·浙江浙江·高一期末）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ）
A．若，r确定，则L，S唯一确定
B．若，l确定，则L，S唯一确定
C．若S，L确定，则，r唯一确定
D．若S，l确定，则，r唯一确定
42．（2023·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．若角，则角为第二象限角
B．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为
43．（2020·湖南·益阳市第十五中学高一月考）苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，那么分界线的长度不可能为（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·浙江·湖州市第二中学高一月考）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
45．（2023·江苏·高一课时练习）在区间内与的终边相同的角为___________.
46．（2023·全国·高一课时练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．
47．（2023·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）一扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则该扇形的圆心角为______
48．（2023·上海市金山中学高一期中）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为_________．
49．（2023·上海市复兴高级中学高一期末）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气，如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为______.
50．（2023·全国·高一专题练习）如图，扇形的圆心角为，半径为，记弓形的面积为，扇形的面积为，则______．
四、解答题
51．（2023·全国·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
52．（2023·江苏·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式的元素写出来：
（1）4；
（2）；
（3）；
（4）0.
53．（2020·山西实验中学高一月考）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若， ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.
54．（2020·江苏·涟水县第一中学高一月考）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
55．（2023·全国·高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
【答案详解】
1．D
【分析】
求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解.
【详解】
因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，
故选：D．
2．A
【分析】
由题可得分针需要顺时针方向旋转.
【详解】
分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.
故选：A.
3．B
【分析】
结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.
【详解】
对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；
对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误；
对于③：显然是第一象限角. 故③错误；
对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故④错误；
对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；
对于⑥：因为，所以，是第四象限角. 故⑥正确.
综上，①⑥正确.
故选：B.
4．B
【分析】
根据终边相同的角的定义可得.
【详解】
，所以与角终边相同的角的集合是.
故选：B.
5．A
【分析】
由终边相同的角的求解公式可得出结果.
【详解】
与角终边相同的角连同其本身在内的所有角可以组成集合.
令，解得，则的最大整数值为.所求角为.
故选：A.
6．C
【分析】
根据终边相同的角的定义即可表示.
【详解】
终边在直线上的角可表示为，
故角的取值集合是.
故选：C.
7．C
【分析】
由题设知且，求的范围，进而判断其所在的象限.
【详解】
由题意，且，则，
∴角的范围是第一或第三象限角的集合.
故选：C
8．D
【分析】
由各集合的描述可得，，，，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题意，，，，，
∴不相等，不相等，不相等，而.
故选：D
9．D
【分析】
根据题意写出的范围，再求的范围，从而求所在的象限.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，，
所以，，所以所在象限是第二象限或第四象限.
故选：D.
10．D
【分析】
利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.
【详解】
根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.
故选：D
11．B
【分析】
先计算出5分钟应该旋转圈，进而得到弧度大小.
【详解】
由题意可知，点转过的角的弧度是.
故选：B.
12．D
【分析】
根据弧度的定义即可判断.
【详解】
根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.
故选：D．
13．D
【分析】
根据弧度制与角度制的互化：即可求解.
【详解】
对于A，60°化成弧度是，故A不正确；
对于B，化成角度是，故B不正确；
对于C，1°化成弧度是，故C不正确；
对于D，1rad化成角度是，故D正确．
故选：D．
14．C
【分析】
首先根据题意得到，再转化为弧度即可.
【详解】
因为，
所以转化弧度为.
故选：C
15．B
【分析】
由弧度和角度的互化可判断．
【详解】
根据弧度定义，弧度，弧度＝，
所以弧度，弧度，，，错误的是B．
故选：B．
16．C
【分析】
根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，
当时，可得；
当时，可得，
故选：C.
17．A
【分析】
根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长.
【详解】
设扇形的半径为，则，故，
故弧长为，故该扇形的周长为，
故选：A.
18．A
【分析】
根据扇形的弧长公式和扇形面积公式进行求解即可.
【详解】
设，圆心角是.则，
解得，所以阴影部的面积为，
故选：A
19．C
【分析】
明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．
【详解】
解：A不正确，如就是第一象限角．
B不正确，如是小于的角，但并不是锐角．
C正确，因为钝角大于且小于，它的终边一定在第二象限．
D不正确，如就是第一象限角，但并不是锐角．
故选：C．
20．C
【分析】
分别求出八点二十分，时针和12点方向半径的夹角及分针和12点方向半径的夹角即可求解.
【详解】
如图示：记从表盘中心（圆心）O到12点方向的半径为OA，8：20时分针方向为OB，时针方向为OC.
则，
所以,
即八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为.
故选：C
21．D
【分析】
设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.
【详解】
设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，
故.
故选：.
22．C
【分析】
根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误；
对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误；
对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确；
对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误.
故选：C.
23．A
【分析】
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
24．C
【分析】
直接利用终边相同角的表示即可.
【详解】
因为
所以与-525°角终边相同的角可以表示为
故选：C
25．D
【分析】
利用弧长公式计算即可.
【详解】
嫦娥五号飞行时对应的半径为，
故选：D
26．A
【分析】
依题意分别求得，，进而由扇形的面积减去扇形的面积可得结果.
【详解】
根据题意，则，，则，
所以扇面的面积.
故选：.
27．C
【分析】
①取特殊角：与进行判断；
②根据锐角的范围直接判断；
③取负角进行否定；
④取特殊角进行否定；
⑤取特殊角进行否定．
【详解】
①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等；
②锐角的范围为，必是第一象限角，正确；
③小于的角是锐角错误，如负角；
④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角；
⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误．
其中错误的是①③④⑤．
故选C．
【点睛】
（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.
（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.
28．D
【分析】
根据圆C面积为，求得其半径，然后连接OC，设圆与OA切于点D，然后在中，由 求得扇形的半径即可.
【详解】
设扇形的半径为R， 圆C的半径为r,
因为圆C的面积为，
所以，解得，
如图所示：
在中， ，
所以
所以扇形的面积为，
故选：D
29．D
【分析】
根据角的定义及终边所在的象限逐一判断选项的正误即可.
【详解】
终边相同的角有无数个，比如，与角终边相同的角为，故不一定相等，选项A错误；
终边在第二象限的角可能是，（是钝角），故不一定是钝角，即选项B错误；
若角的终边在第一象限，如，则的终边在第二象限，故选项C错误；
终边落在坐标轴上的角为以及与它们终边相同的所有角，故可表示为，选项D正确.
故选：D.
30．D
【分析】
终边相同的角应相差的整数倍，逐个检验选项可得答案．
【详解】
对于A，与终边相同，正确；
对于B，与终边相同，正确；
对于C，与终边相同，正确；
对于D ，与终边不相同，错误；
故选：D
31．A
【分析】
先根据扇形面积公式求扇形面积，再求三角形面积，作差即可得解.
【详解】
半径为2，圆心角为的扇形面积为，
空白三角形的面积为.
所以弓形（如图所示的阴影部分）面积为.
故选：A.
32．A
【分析】
根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长.
【详解】
设扇形的半径为，则，故，
故弧长为，故该扇形的周长为，
故选：A.
33．C
【分析】
根据的范围，求得的范围，即可得答案.
【详解】
因为为第二象限角，所以，
所以，
所以为第三象限角．
故选：C
34．A
【分析】
设扇形圆心角的弧度数为，由题意可得出，解出的值即可得解.
【详解】
设扇形圆心角的弧度数为，由题意可得出，解得.
故选：A.
35．D
【分析】
根据题意可出关于的等式，即可求得结果.
【详解】
设分钟之后从起始位置转过的角，由题意可得，解得.
故选：D.
36．A
【分析】
求出以及圆的半径，利用扇形的弧长公式可求得劣弧的长.
【详解】
连接、，如下图所示：
由圆的几何性质可得，又，所以，为等边三角形，
所以圆的半径为，因此，劣弧的长为.
故选：A.
37．D
【分析】
根据终边相同的角的定义逐个分析判断
【详解】
解：对于A，终边在轴上角的集合是，所以A正确；
对于B，终边在轴上角的集合是，所以B正确；
对于C，终边在坐标轴上的角的集合为，所以C正确；
对于D，终边在直线上角的集合是，所以D错误，
故选：D
38．B
【分析】
根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解.
【详解】
设扇形的半径为，半圆半径为，，
则，
所以，可得，
解得，
则弧CD与弧AB的长度之比为.
故选：B.
39．CD
【分析】
根据终边相同角的表示判断可得；
【详解】
解：由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误，与终边相同的角的集合是，经验证选项C，D正确.
故选：CD
40．AC
【分析】
设扇形半径为，圆心角弧度数为，根据扇形的周长是，面积是，由求解.
【详解】
设扇形半径为，圆心角弧度数为，
由题意得，
或.
故选：AC
41．ABD
【分析】
根据弧长、周长及扇形面积公式计算可得；
【详解】
解：依题意可得，，
对于A：若、确定，显然，唯一确定，故A正确；
对于B：若、确定，由，则确定，所以，唯一确定，故B正确；
对于C：若、确定，则， 与需要解三次方程，所以、不唯一确定，故C错误；
对于D：若、确定，则， 即可唯一的求出与，所以、唯一确定，故D正确；
故选：ABD
42．CD
【分析】
利用负角的定义、象限角的定义和扇形面积公式对选项逐一判断正误即可.
【详解】
选项A中，，故角为第二象限角，正确；
选项B中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；
选项C中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；
选项D中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故错误.
故选：CD.
43．ABD
【分析】
由题意知半径为R的圆弧所对的弦长为，即可求其圆心角大小，进而求圆弧的长度即可.
【详解】
由分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，
∴弦所对的圆心角为，
∴分界线的长度为.
故选：ABD.
44．BD
【分析】
根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
【详解】
根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
45．
【分析】
根据终边相同角的表示即可求解.
【详解】
的终边相同的角为：，
当时，与的终边相同的角为，
故答案为：.
46．2
【分析】
利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】
，扇形AOB的面积为，
所以，解得．
故答案为：2
47．
【分析】
根据弧长公式，扇形的面积公式即可求出.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，
则，解得
所以，即圆心角的弧度数为.
故答案为：.
48．
【分析】
由已知条件求出扇形的半径，从而可求出扇形的面积
【详解】
解：设扇形的半径为，则由题意可得
，解得，
所以扇形的面积为，
故答案为：
49．
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：环形面积，
故答案为：．
50．
【分析】
本题首先可求出扇形的面积，然后通过弓形的面积求出，即可得出结果.
【详解】
扇形的面积，
弓形的面积，
则，
故答案为：.
51．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；
（2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；
（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.
【详解】
（1）终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
【点睛】
本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
52．答案见详解
【分析】
利用终边相同的角的关系可直接写出集合，进而可直接写出适合不等式的元素.
【详解】
（1），
其中适合不等式的元素为：；
（2），
其中适合不等式的元素为：；
（3），
其中适合不等式的元素为：；
（4），
其中适合不等式的元素为：；
53．（1）；（2），.
【详解】
试题分析：（1）由已知利用弧长公式即可计算得解．
（2）根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．
试题解析：
（1）∵， ,∴
（2）设扇形的弧长为，则，即（）,
扇形的面积，
所以当且仅当时， 有最大值36，
此时,∴
54．（1），；（2）.
【分析】
(1)由公式算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积
(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把S用R表示出来，运用函数的知识即可求出最大值.
【详解】
（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
【点睛】
当周长C为定值时可得面积
当面积为定值时可得周长.
55．13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【分析】
（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解；
（2）扇形周长，可得，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
（3）依题意，则，则在利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；
（2）扇形周长，
，
．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
5.1 任意角和弧度制
【考点梳理】
大重点一：任意角
考点一：任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．角的分类：
考点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
考点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
考点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
大重点二：弧度制
考点五：度量角的两种单位制
1．角度制：
(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．
(2)1度的角：周角的eq \f(1,360).
2．弧度制：
(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
考点六：弧度数的计算
考点七：角度与弧度的互化
考点八四：弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
【题型归纳】
题型一：任意角的概念
1．（2023·全国·高一课时练习）如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北张家口·高一期末）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏吴江·高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二：终边相同的角
4．（2023·陕西省洛南中学高一月考）与角终边相同的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河南商丘·高一月考）设角的顶点在原点，始边和轴的非负半轴重合，则和角终边相同的最大负角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一期中（文））终边在直线上的角的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：象限角
7．（2023·全国·高一课时练习）已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是（ ）
A．第一象限角的集合B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合D．第一或第四象限角的集合
8．（2023·全国·高一课时练习）设小于的角锐角第一象限角小于而不小于的角，那么有（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·上海·高一课时练习）若是第三象限的角，则所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第二象限D．第二象限或第四象限
题型四：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）
10．（2023·全国·高一课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
11．（2023·湖北十堰·高一期末）如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造､桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需分钟，且是匀速转动的，则经过分钟，点转过的角的弧度是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高一课前预习）下列叙述中，正确的是（ ）
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角的和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
题型五：角度与弧度的互化
13．（2023·全国·高一课时练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是B．化成角度是30°
C．1°化成弧度是180radD．化成角度是
14．（2023·安徽宿州·高一期中）将改写成的形式是（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·山东·济南市长清第一中学高一月考）下列转化结果错误的是（ ）
A．60化成弧度是B．150化成弧度是
C．化成度是600D．化成度是15
题型六：、与扇形的弧长、面积有关的计算
16．（2023·甘肃·静宁县第一中学高一月考（理））已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ）
A．1B．4C．1或4D．2或4
17．（2023·云南省玉溪第一中学高一月考）已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·江西省乐平中学高一开学考试）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
一、单选题
19．（2023·江苏·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限角D．第一象限角一定是锐角
20．（2023·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻.请你联想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·河南·高一期末）已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·上海市建青实验学校高一期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．小于的角一定是锐角B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合D．始边相同且终边重合的角一定相等
23．（2023·河南焦作·高一期中）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
24．（2023·陕西·咸阳百灵学校高一月考）与角终边相同的角可表示为（ ）
A．B．
C． D．
25．（2023·陕西·杨陵区高级中学高一月考）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ）
A．1069千米B．1119千米C．2138千米D．2238千米
26．（2023·上海宝山·高一期末）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·全国·高一课前预习）下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（ ）
A．③④⑤B．①③④C．①③④⑤D．②③④⑤
28．（2023·全国·高一专题练习）已知圆心角为的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为时，该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
一：单选题
29．（2023·江西·横峰中学高一月考（理））下列命题中，正确的是（ ）
A．终边相同的角是相等的角
B．终边在第二象限的角是钝角
C．若角的终边在第一象限，则的终边也一定在第一象限
D．终边落在坐标轴上的所有角可表示为
30．（2023·全国·高一专题练习）下列两组角的终边不相同的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
31．（2023·江西·横峰中学高一月考（理））半径为2，圆心角为的扇形所夹的弓形（如图所示的阴影部分）面积为（ ）
A．B．
C．D．
32．（2023·湖北恩施·高一期末）已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·河南·新蔡县第一高级中学高一期中）已知为第二象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
34．（2023·湖南·衡阳市八中高一期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·北京顺义·高一期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·浙江·高一期末）如图，点、、是圆上的点，且，，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
37．（2020·河北·英才国际学校高一月考）下面表述不正确的是（ ）
A．终边在轴上角的集合是
B．终边在轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线上角的集合是
38．（2023·全国·高一单元测试）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
39．（2023·全国·高一课时练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
40．（2023·河北石家庄·高一期末）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（ ）
A．1、4B．1、2C．2、1D．2、4
41．（2023·浙江浙江·高一期末）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ）
A．若，r确定，则L，S唯一确定
B．若，l确定，则L，S唯一确定
C．若S，L确定，则，r唯一确定
D．若S，l确定，则，r唯一确定
42．（2023·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．若角，则角为第二象限角
B．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为
43．（2020·湖南·益阳市第十五中学高一月考）苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，那么分界线的长度不可能为（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·浙江·湖州市第二中学高一月考）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
45．（2023·江苏·高一课时练习）在区间内与的终边相同的角为___________.
46．（2023·全国·高一课时练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．
47．（2023·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）一扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则该扇形的圆心角为______
48．（2023·上海市金山中学高一期中）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为_________．
49．（2023·上海市复兴高级中学高一期末）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气，如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为______.
50．（2023·全国·高一专题练习）如图，扇形的圆心角为，半径为，记弓形的面积为，扇形的面积为，则______．
四、解答题
51．（2023·全国·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
52．（2023·江苏·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式的元素写出来：
（1）4；
（2）；
（3）；
（4）0.
53．（2020·山西实验中学高一月考）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若， ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.
54．（2020·江苏·涟水县第一中学高一月考）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
55．（2023·全国·高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
【答案详解】
1．D
【分析】
求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解.
【详解】
因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，
故选：D．
2．A
【分析】
由题可得分针需要顺时针方向旋转.
【详解】
分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.
故选：A.
3．B
【分析】
结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.
【详解】
对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；
对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误；
对于③：显然是第一象限角. 故③错误；
对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故④错误；
对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；
对于⑥：因为，所以，是第四象限角. 故⑥正确.
综上，①⑥正确.
故选：B.
4．B
【分析】
根据终边相同的角的定义可得.
【详解】
，所以与角终边相同的角的集合是.
故选：B.
5．A
【分析】
由终边相同的角的求解公式可得出结果.
【详解】
与角终边相同的角连同其本身在内的所有角可以组成集合.
令，解得，则的最大整数值为.所求角为.
故选：A.
6．C
【分析】
根据终边相同的角的定义即可表示.
【详解】
终边在直线上的角可表示为，
故角的取值集合是.
故选：C.
7．C
【分析】
由题设知且，求的范围，进而判断其所在的象限.
【详解】
由题意，且，则，
∴角的范围是第一或第三象限角的集合.
故选：C
8．D
【分析】
由各集合的描述可得，，，，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题意，，，，，
∴不相等，不相等，不相等，而.
故选：D
9．D
【分析】
根据题意写出的范围，再求的范围，从而求所在的象限.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，，
所以，，所以所在象限是第二象限或第四象限.
故选：D.
10．D
【分析】
利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.
【详解】
根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.
故选：D
11．B
【分析】
先计算出5分钟应该旋转圈，进而得到弧度大小.
【详解】
由题意可知，点转过的角的弧度是.
故选：B.
12．D
【分析】
根据弧度的定义即可判断.
【详解】
根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.
故选：D．
13．D
【分析】
根据弧度制与角度制的互化：即可求解.
【详解】
对于A，60°化成弧度是，故A不正确；
对于B，化成角度是，故B不正确；
对于C，1°化成弧度是，故C不正确；
对于D，1rad化成角度是，故D正确．
故选：D．
14．C
【分析】
首先根据题意得到，再转化为弧度即可.
【详解】
因为，
所以转化弧度为.
故选：C
15．B
【分析】
由弧度和角度的互化可判断．
【详解】
根据弧度定义，弧度，弧度＝，
所以弧度，弧度，，，错误的是B．
故选：B．
16．C
【分析】
根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，
当时，可得；
当时，可得，
故选：C.
17．A
【分析】
根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长.
【详解】
设扇形的半径为，则，故，
故弧长为，故该扇形的周长为，
故选：A.
18．A
【分析】
根据扇形的弧长公式和扇形面积公式进行求解即可.
【详解】
设，圆心角是.则，
解得，所以阴影部的面积为，
故选：A
19．C
【分析】
明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．
【详解】
解：A不正确，如就是第一象限角．
B不正确，如是小于的角，但并不是锐角．
C正确，因为钝角大于且小于，它的终边一定在第二象限．
D不正确，如就是第一象限角，但并不是锐角．
故选：C．
20．C
【分析】
分别求出八点二十分，时针和12点方向半径的夹角及分针和12点方向半径的夹角即可求解.
【详解】
如图示：记从表盘中心（圆心）O到12点方向的半径为OA，8：20时分针方向为OB，时针方向为OC.
则，
所以,
即八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为.
故选：C
21．D
【分析】
设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.
【详解】
设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，
故.
故选：.
22．C
【分析】
根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误；
对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误；
对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确；
对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误.
故选：C.
23．A
【分析】
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
24．C
【分析】
直接利用终边相同角的表示即可.
【详解】
因为
所以与-525°角终边相同的角可以表示为
故选：C
25．D
【分析】
利用弧长公式计算即可.
【详解】
嫦娥五号飞行时对应的半径为，
故选：D
26．A
【分析】
依题意分别求得，，进而由扇形的面积减去扇形的面积可得结果.
【详解】
根据题意，则，，则，
所以扇面的面积.
故选：.
27．C
【分析】
①取特殊角：与进行判断；
②根据锐角的范围直接判断；
③取负角进行否定；
④取特殊角进行否定；
⑤取特殊角进行否定．
【详解】
①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等；
②锐角的范围为，必是第一象限角，正确；
③小于的角是锐角错误，如负角；
④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角；
⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误．
其中错误的是①③④⑤．
故选C．
【点睛】
（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.
（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.
28．D
【分析】
根据圆C面积为，求得其半径，然后连接OC，设圆与OA切于点D，然后在中，由 求得扇形的半径即可.
【详解】
设扇形的半径为R， 圆C的半径为r,
因为圆C的面积为，
所以，解得，
如图所示：
在中， ，
所以
所以扇形的面积为，
故选：D
29．D
【分析】
根据角的定义及终边所在的象限逐一判断选项的正误即可.
【详解】
终边相同的角有无数个，比如，与角终边相同的角为，故不一定相等，选项A错误；
终边在第二象限的角可能是，（是钝角），故不一定是钝角，即选项B错误；
若角的终边在第一象限，如，则的终边在第二象限，故选项C错误；
终边落在坐标轴上的角为以及与它们终边相同的所有角，故可表示为，选项D正确.
故选：D.
30．D
【分析】
终边相同的角应相差的整数倍，逐个检验选项可得答案．
【详解】
对于A，与终边相同，正确；
对于B，与终边相同，正确；
对于C，与终边相同，正确；
对于D ，与终边不相同，错误；
故选：D
31．A
【分析】
先根据扇形面积公式求扇形面积，再求三角形面积，作差即可得解.
【详解】
半径为2，圆心角为的扇形面积为，
空白三角形的面积为.
所以弓形（如图所示的阴影部分）面积为.
故选：A.
32．A
【分析】
根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长.
【详解】
设扇形的半径为，则，故，
故弧长为，故该扇形的周长为，
故选：A.
33．C
【分析】
根据的范围，求得的范围，即可得答案.
【详解】
因为为第二象限角，所以，
所以，
所以为第三象限角．
故选：C
34．A
【分析】
设扇形圆心角的弧度数为，由题意可得出，解出的值即可得解.
【详解】
设扇形圆心角的弧度数为，由题意可得出，解得.
故选：A.
35．D
【分析】
根据题意可出关于的等式，即可求得结果.
【详解】
设分钟之后从起始位置转过的角，由题意可得，解得.
故选：D.
36．A
【分析】
求出以及圆的半径，利用扇形的弧长公式可求得劣弧的长.
【详解】
连接、，如下图所示：
由圆的几何性质可得，又，所以，为等边三角形，
所以圆的半径为，因此，劣弧的长为.
故选：A.
37．D
【分析】
根据终边相同的角的定义逐个分析判断
【详解】
解：对于A，终边在轴上角的集合是，所以A正确；
对于B，终边在轴上角的集合是，所以B正确；
对于C，终边在坐标轴上的角的集合为，所以C正确；
对于D，终边在直线上角的集合是，所以D错误，
故选：D
38．B
【分析】
根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解.
【详解】
设扇形的半径为，半圆半径为，，
则，
所以，可得，
解得，
则弧CD与弧AB的长度之比为.
故选：B.
39．CD
【分析】
根据终边相同角的表示判断可得；
【详解】
解：由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误，与终边相同的角的集合是，经验证选项C，D正确.
故选：CD
40．AC
【分析】
设扇形半径为，圆心角弧度数为，根据扇形的周长是，面积是，由求解.
【详解】
设扇形半径为，圆心角弧度数为，
由题意得，
或.
故选：AC
41．ABD
【分析】
根据弧长、周长及扇形面积公式计算可得；
【详解】
解：依题意可得，，
对于A：若、确定，显然，唯一确定，故A正确；
对于B：若、确定，由，则确定，所以，唯一确定，故B正确；
对于C：若、确定，则， 与需要解三次方程，所以、不唯一确定，故C错误；
对于D：若、确定，则， 即可唯一的求出与，所以、唯一确定，故D正确；
故选：ABD
42．CD
【分析】
利用负角的定义、象限角的定义和扇形面积公式对选项逐一判断正误即可.
【详解】
选项A中，，故角为第二象限角，正确；
选项B中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；
选项C中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；
选项D中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故错误.
故选：CD.
43．ABD
【分析】
由题意知半径为R的圆弧所对的弦长为，即可求其圆心角大小，进而求圆弧的长度即可.
【详解】
由分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，
∴弦所对的圆心角为，
∴分界线的长度为.
故选：ABD.
44．BD
【分析】
根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
【详解】
根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
45．
【分析】
根据终边相同角的表示即可求解.
【详解】
的终边相同的角为：，
当时，与的终边相同的角为，
故答案为：.
46．2
【分析】
利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】
，扇形AOB的面积为，
所以，解得．
故答案为：2
47．
【分析】
根据弧长公式，扇形的面积公式即可求出.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，
则，解得
所以，即圆心角的弧度数为.
故答案为：.
48．
【分析】
由已知条件求出扇形的半径，从而可求出扇形的面积
【详解】
解：设扇形的半径为，则由题意可得
，解得，
所以扇形的面积为，
故答案为：
49．
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：环形面积，
故答案为：．
50．
【分析】
本题首先可求出扇形的面积，然后通过弓形的面积求出，即可得出结果.
【详解】
扇形的面积，
弓形的面积，
则，
故答案为：.
51．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；
（2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；
（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.
【详解】
（1）终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
【点睛】
本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
52．答案见详解
【分析】
利用终边相同的角的关系可直接写出集合，进而可直接写出适合不等式的元素.
【详解】
（1），
其中适合不等式的元素为：；
（2），
其中适合不等式的元素为：；
（3），
其中适合不等式的元素为：；
（4），
其中适合不等式的元素为：；
53．（1）；（2），.
【详解】
试题分析：（1）由已知利用弧长公式即可计算得解．
（2）根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．
试题解析：
（1）∵， ,∴
（2）设扇形的弧长为，则，即（）,
扇形的面积，
所以当且仅当时， 有最大值36，
此时,∴
54．（1），；（2）.
【分析】
(1)由公式算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积
(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把S用R表示出来，运用函数的知识即可求出最大值.
【详解】
（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
【点睛】
当周长C为定值时可得面积
当面积为定值时可得周长.
55．13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【分析】
（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解；
（2）扇形周长，可得，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
（3）依题意，则，则在利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；
（2）扇形周长，
，
．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
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