高三数学知识点总结：22：数列的概念和等差数列

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数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，即简记为数列其中，称为数列的首项，称为数列的第项。
数列的通项公式：如果数列的前项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，可以记为填空题要写出数列的通项公式要记得写成“”的形式。
如：已知数列的前项和为那么该数列的通项公式为
数列的前项和
（1） （2）与的关系：.
例：已知数列的前项和的公式，求的通项公式.
； （2）.
答案：（1）；（2）
3.数列的单调性
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①递增数列：对于任意均有 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②递减数列：对于任意均有
例：已知数列是递增数列，且则实数的取值范围为_________.
答：
4.求数列的最大项（或最小项）
利用数列的单调性：求.
例：若求数列第几项最大.
解：，
当时，；当时，；当时，.
，中第8项或第9项最大.
（2）利用相邻项的关系求解：若最大，则；若最小，则.
5.数列是关于项数的函数，其定义域是正整数集或它的子集，其图像是一些离散的点。数列问题也可以利用函数的视角解题。
例：已知数列的通项公式则数列的第________项最大.答：10.
等差数列
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，即（常数）.
例：若数列满足则_________.答：
2.等差数列的通项公式
若等差数列的首项为公差为则其通项公式为.
注：（1）推广：如：
（2），等差数列的通项是关于的一次函数，一次项前的系数为公差。
等差中项
若三个数组成等差数列，那么叫做与的等差中项，且.
注:证明等差数列的方法两种
（1）定义法：（常数）或（常数）
例1：已知各项均为正数的数列的前项和为且求数列的通项公式. 答：
例2：已知数列的前项和为且满足
求证：是等差数列；（2）求的表达式.
答：（1）（2）.
等差中项法：
若，则，即成等差数列.
例：已知数列中，前项和
求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.
答：（1）（2）
等差数列的前项和公式
若已知首项和末项则；
（2）若等差数列的首项为公差为则其前项和公式为；（3）若等差数列的首项为公差为则其前项和公式为.
注:等差数列的前项和则是关于的二次函数，且常数项为0.
例：等差数列的前项和分别为且则_____.答： 变式：_____.答：
5.等差数列的常用性质
（1）等和性质：若为等差数列，且则有
.
（2）片段和性质：数列也成等差数列，公差为
（3）隔项成等差：若为等差数列，公差为则使公差为的等差数列.
（4）奇数项的和等于中间项乘以项数，即
（5）奇偶性质：若为偶数，则；若为奇数，则（中间项）.
（6）若为等差数列，为其前项和，则也是等差数列.
（7）若与是等差数列，且前项和分别为与则
例：（1）在等差数列中，已知则___________.
（2）已知、分别是等差数列的前项和，且则___________.
（3）设等差数列的前项和为若则正整数______.
答：（1） （2） （3）
6.求的最值：法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当 由可得达到最大值时的值．（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当 由可得达到最小值时的值．
例：设递减的等差数列的前项和为若
（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）求答:（1）（2）或（3）.
7.已知等差数列求字母的值：特值法（利用前三项成等差）+检验
例：已知等差数列中，公差其前项和为且满足
求数列的通项公式；（2）设若是等差数列，求的值；
求的最大值.
答：（1）；（2），；（3）时取最大值