高三数学知识点总结：30：椭圆

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（1）第一定义：在平面内到两定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到定直线（不在上)的距离之比是常数的点的轨迹是椭圆.定点为焦点，定直线为准线，常数为离心率.
2.椭圆的方程
（1）标准方程（注：求椭圆的标准方程应该先“定型”后“定量”）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.
（2）一般方程为
（3）参数方程：
椭圆的参数方程是
3.重要结论
（1）焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的称作焦点三角形.
焦点三角形中常用结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当在短轴端点时，最大. = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若存在一点使得则离心率的范围是. = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤若则.
（2）焦半径公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①对于焦点在轴上的椭圆，设是椭圆上任一点，则
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对于焦点在轴上的椭圆，设是椭圆上任一点，则
4.椭圆的几何性质
5.直线和椭圆的综合问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线和椭圆位置关系判断
联立，转化成，判断：两个公共点，相交；
一个公共点，相切；无公共点，相离.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②弦长公式
正设直线
反设直线
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③“点差法”处理中点弦问题.已知是椭圆上两个不同的点，是的中点，则，得，，
小结：中点弦问题的重要结论：已知是椭圆上两个不同的点，是的中点，则.（解答题要证明）
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④椭圆的一个神结论：椭圆是关于中心对称的两点，是椭圆上任意一点，则.（证明：设则
）
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤过椭圆上一点的切线方程为.（解答题直接设出切线方程，说明将其代入椭圆方程得即可）
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥韦达定理的使用要规范，一定要写.
如要求直线与椭圆相交的弦长，应这样表述：将代入椭圆方程，得
则，
所以
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦定值﹑定点﹑定线问题，可以先特殊情况得到答案，再论证一般情况证出答案.
标准方程
图形


范围


对称性
对称轴：轴和轴
对称中心：原点
顶点


焦点


轴
长轴长： 短轴长：
长半轴长： 短半轴长：
焦距
准线
左焦点：
左准线：；
右焦点：
右准线：.
下焦点：
下准线：；
上焦点：
上准线：.
离心率
通径
的关系