高三数学知识点总结：34：概率

这是一份高三数学知识点总结：34：概率，共6页。学案主要包含了2020全国I文，2016全国I文，2016江苏高考，解题规范，2014江苏高考等内容，欢迎下载使用。
（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；
（2）不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件；
（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
（4）随机事件的概率：对于给定的随机事件在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数常数称为随机事件的概率，记作
注：由定义可知必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
2. 事件的关系与运算
3.古典概型（列举法）
（1）古典概型的两大特点： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①所有的基本事件只有有限个； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②每个基本事件的发生都是等可能的.
（2）古典概型的概率计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是如果某个事件包含了其中个等可能基本事件，那么事件发生的概率为
例1-1【2020全国I文】设为正方形的中心，在中任选三点，则取到三点共线的概率为（ ）
B. C. D.
例1-2【2016全国I文】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任取2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
B. C. D.
例1-3【2016江苏高考】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
答：1-1：A ；1-2：C； 1-3： .
4.互斥事件和对立事件
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件.一般地，如果事件中的任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥.
（2）互斥事件概率公式：如果事件互斥，那么事件发生（注：表示事件至少有一个发生）的概率，等于事件分别发生的概率的和，即
推广：一般地，
若彼此互斥，那么
注：若A，B不互斥，则
（3）对立事件：如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.事件的对立事件记为
（4）对立事件的概率公式： 注：“至多”，“至少”的问题考虑反面（对立事件）往往比较简单.
例2-1：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
例2-2：将一枚骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 .
答：2-1：C； 2-2：
5.事件的独立性
（1）条件概率：一般地，对于两个事件和在已知事件发生的条件下事件发生的概率，称为事件发生的条件下事件的条件概率，记为
概率的乘法公式：注：事件表示事件和事件同时发生.
（2）事件的独立性
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定义：一般地，若事件满足（即事件发生不影响事件发生的概率），则称事件独立.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②性质：若事件相互独立，则事件与，与与都相互独立.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③公式：事件相互独立的充要条件是
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④推广：若相互独立，则这个事件同时发生的概率为

= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤区别：独立事件与互斥事件的根本区别在于是否能同时发生，如果不能那是互斥事件，如果能再满足则为独立事件.
注：求条件概率的两个思路：思路一：缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝eq \f(n(AB),n(B))计算；思路二：直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(P(AB),P(B))计算.
全概率公式
设是一组两两互斥的事件，且
则对任意的事件有我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
6.离散型随机变量及其概率分布
随机变量：一般地，如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母（或小写的希腊字母ξ，η，）等表示，而用小写拉丁字母（加上适当下标）等表示随机变量可能的取值.
（2）离散型随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量有个不同的取值，它们分别是，，…，，且，，① 则称①为随机变量的概率分布列，简称为的分布列．也可以将①用表的形式来表示．
我们将表称为随机变量的概率分布表．它和①都叫做随机变量的概率分布．
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求随机变量的概率分布的步骤：1.确定的可能取值；2.求出相应的概率；3.列成表格的形式.
7.常见离散型随机变量的概率分布
（1）两点分布（0-1分布）
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
则
（2）超几何分布
一批产品共件，其中有件次品，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，其中，称服从超几何分布，记为并将记为
则；（了解）.
8.二项分布
（1）次独立重复试验（伯努利试验）
一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即和每次试验中我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验.
二项分布
一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为在每次试验事件发生的概率均为那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为
.此时称随机变量服从参数为的二项分布，记作
（3）均值与方差
若则，
注：超几何分布与二项分布的区别与联系
（1）区别：是否有放回是两个的本质区别，有放回是二项分布，无放回是超几何分布；
（2）联系：当总体容量较大时如流水线上，也可以用二项分布近似超几何分布.
9.离散型随机变量的均值与方差
（1）一般地，若离散型随机变量的概率分布为
其中
则有如下公式
1.均值（数学期望）：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．注：对于连续型变量通常取“组中值”来代替计算期望.
2.方差：(方差也可以用V(x)表示），它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.
3.标准差：
注：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小，稳定性就越好.
均值和方差的性质
若随机变量（为常数），则
10.正态分布
（1）正态曲线
函数其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；当无限增大时，曲线无限接近轴.
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值 eq \f(1,σ\r(2π)) ；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

（3）正态分布的定义及表示
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若随机变量X的概率分布密度函数为则称随机变量X服从正态分布，则记作．其中，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度，此时，.
特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N（0，1）.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若则如图所示，取值不超过为图中区域的面积，而为区域B的面积.

（4）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ