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数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用当堂达标检测题
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这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用当堂达标检测题,共42页。
【考点梳理】
考点一 向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点二 向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
技巧:(1)用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底,利用向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.
②建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|=eq \r(x2+y2).
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【题型归纳】
题型一:用向量证明线段垂直问题
1.(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习)在△ABC中,若,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
2.(2023·四川省内江市第六中学高一期中)已知非零向量与满足,且,则为( )
A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
题型二:用向量解决夹角问题
3.(2023·广东·佛山市南海区里水高级中学(待删除学校不要竞拍)高一阶段练习)在中,,,动点位于直线上,当取得最小值时,的正弦值为( )
A.B.C.D.
4.(2019·四川·绵阳中学高一阶段练习)直角三角形中,,,,M为的中点,,且P为与的交点,则( )
A.B.C.D.
题型三:用向量解决线段的长度问题
5.(2023·江西·九江一中高一期中)在中,,点满足,若,则的值为( )
A.B.C.D.
6.(2023·重庆南开中学高一期中)如图所示在四边形中,是边长为4的等边三角形,,,,则( )
A.B.C.3D.
题型四:向量与几何最值问题
7.(2023·江西·九江一中高一期中)在直角梯形中,,,,,,点是线段上的一点,为直线上的动点,若,,且,则的最大值为( )
A.B.C.D.
8.(2023·河北邢台·高一阶段练习)在平面四边形中,,,,,,若点为边上的动点,则的最大值为( )
A.B.C.D.
题型五:向量在物理中的应用
9.(2023·山东潍坊·高一期中)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,若行李包所受的重力为,两个拉力分别为,,且,与夹角为,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是( )
A.B.当时,
C.当角越大时,用力越省D.当时,
10.(2023·全国·高一课时练习)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为米,一艘船从河岸的地出发,向河对岸航行.已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,船的速度与水流速度的合速度为,那么当航程最短时,下列说法正确的是( )
A.船头方向与水流方向垂直B.
C.D.该船到达对岸所需时间为分钟
题型六:平面向量应用的综合问题
11.(2023·全国·高一课时练习)如图,已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
12.(2023·江苏·高一课时练习)如图,在中,,,点在的延长线上,点是边上的一点,且存在非零实数,使.
(Ⅰ)求与的数量积;
(Ⅱ)求与的数量积.
13.(2018·全国·高一单元测试)如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.
(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.
【双基达标】
一、单选题
14.(2023·全国·高一课前预习)在中,,则的形状是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定
15.(2023·全国·高一课时练习)物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N,它们的合力F与水平方向成30°角,则的大小为( )
A.3NB.C.2ND.
16.(2023·全国·高一课时练习)平面上有三点A,B,C,设, ,若的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角
C.ABC必为直角三角形,且∠B=90°
D.ABC必为等腰直角三角形
17.(2023·吉林·延边二中高一期中)在中,斜边长为2,O是平面外一点,点P满足,则等于( )
A.2B.1C.D.4
18.(2023·江西·九江一中高一阶段练习)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图二中正六边形的边长为2,圆的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点在正六边形的边上运动,为圆的直径,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
19.(2023·全国·高一课时练习)用力推动一物体水平运动,设与水平面的夹角为,则对物体所做的功为( )
A.B.C.D.
20.(2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习)扇形的半径为1,圆心角为,是上的动点,则的最小值为( )
A.B.0C.D.
21.(2023·湖南省邵东市第三中学高一期中)在中,,则一定是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
22.(2023·全国·高一期中)已知矩形ABCD的一边AB的长为4,点M,N分别在边BC,DC上,当M,N分别是边BC,DC的中点时,有.若,x+y=3,则线段MN的最短长度为( )
A.B.2C.2D.2
【高分突破】
一:单选题
23.(2023·福建·福州三中高一期中)已知是所在平面内的一点,若|,则一定为( )
A.以为底边的等腰三角形
B.为底边的等腰三角形
C.以为斜边的直角三角形
D.以为斜边的直角三角形
24.(2023·全国·高一课时练习)加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为500,则该学生的体重(单位:)约为( )(参考数据:取重力加速度大小为g=10,≈1.732)
A.81B.87C.89D.91
25.(2023·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中)已知点满足,,,则点依次是的( )
A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心
26.(2023·江苏通州·高一期中)如图所示,在中,为中点,过点的直线分别交于不同的两点,设,,则的值为( )
A.B.1C.2D.不确定
27.(2023·山西太原·高一期中)已知,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
28.(2023·山西运城·高一期末)已知向量,,满足,,与的夹角为,,则的最大值为( )
A.B.C.D.
29.(2023·全国·高一课前预习)一条河流的两岸平行,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为,水流速度的大小为.设船行驶方向与水流方向的夹角为,若船的航程最短,则( )
A.B.C.D.
30.(2023·河南驻马店·高一期末(文))在菱形中,,,,是菱形内部及边界上一点,则的最大值是( )
A.B.C.D.
31.(2023·江苏泰州·高一期末)已知外接圆的圆心为O,半径为1.设点O到边,,的距离分别为,,.若,则( )
A.B.1C.D.3
二、多选题
32.(2023·山东邹城·高一期中)已知外接圆的圆心为,半径为2,且,,则有( )
A.B.
C.点是的垂心D.在方向上的投影向量的长度为
33.(2023·重庆·西南大学附中高一阶段练习)已知、是平面上夹角为的两个单位向量,在该平面上,且,则下列结论中正确的有( )
A.B.
C.D.与的夹角是钝角
34.(2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习)设,若平面上点满足对任意的,恒有,则下列一定正确的是( )
A.B.C.D.
35.(2023·江苏常州·高一期末)如图,在等腰直角三角形中,,,,分别为,上的动点,设,,其中,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则与不共线
C.若,记三角形的面积为,则的最大值为
D.若,且,分别是,边的中点,则的最小值为
36.(2023·广东广州·高一期末)中,,,则下列结论中正确的是( )
A.若为的重心,则
B.若为边上的一个动点,则为定值4
C.若、为边上的两个动点,且则的最小值为
D.已知Q是内部(含边界)一点,若,且,则的最大值是1
三、填空题
37.(2023·全国·高一课时练习)已知向量,,满足,,,则的最大值是______________.
38.(2023·全国·高一课时练习)已知为的外心,且,则________.
39.(2023·全国·高一课时练习)如图,墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体,则边上点处的受力情况是___________.
40.(2023·全国·高一课时练习)已知,作用于同一质点,使其由原点移动到点,则合力对质点所做的功为___________.
41.(2023·四川·成都外国语学校高一阶段练习(文))设为内一点,且满足关系式,则__.
四、解答题
42.(2023·全国·高一课时练习)如图,重为的匀质球,半径为,放在墙与均匀的木板之间,端固定在墙上,端用水平绳索拉住,板长,木板与墙夹角为,如果不计木板重,当为时,求绳的拉力大小.
43.(2023·全国·高一课时练习)如图,正方形ABCD的边长为a, E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF.
44.(2023·全国·高一课时练习)长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度.一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为.设和的夹角为,北岸的点在A的正北方向.
(1)当时,试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧,并说明理由.
(2)当多大时,游船能到达处?需要航行多长时间?(不必近似计算)
(3)当时,游船航行到达北岸的实际航程是多少?
45.(2023·广东·仲元中学高一期末)如图所示,是的一条中线,点满足,过点的直线分别与射线,射线交于,两点.
(1)求证:;
(2)设,,,,求的值;
(3)如果是边长为的等边三角形,求的取值范围.
【答案详解】
1.B
【分析】
由已知平方可得,得出可判断.
【详解】
,,
则,
,,则△ABC为直角三角形.
故选:B.
2.C
【分析】
由推出,由推出,则可得答案.
【详解】
由,得,得,得,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,即,
所以为等腰直角三角形.
故选:C
3.C
【分析】
建立平面直角坐标系,写出坐标表示,利用二次函数求出最小值时的坐标,最后利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系:
则,
设,
因为动点位于直线上,
直线的方程为:,
所以
,
当时,取得最小值,此时,
,
所以,
又因为,
所以,
故选:C.
4.C
【解析】
【分析】
设, 且与的夹角为, 由此可表示出和;结合已知可求出和,由此可求出,接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.
【详解】
设, ,则,,,
设与的夹角为,
∵,,
∴,
∴|,,
∴,.
∵,∴.
∵即为向量与的夹角,
∴,
故.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的计算,掌握向量数量积的运算公式是关键,属于常考题.
5.C
【分析】
取中点O,由已知可确定,利用向量的运算和长度关系将转化为,由此构造方程求得.
【详解】
取中点O,连接,
,即,M为BC边上靠近C的三等分点,
,
,,,
又,,.
故选:C.
6.C
【分析】
根据可得,再利用余弦定理可求的长度.
【详解】
取的中点为,
因为,故即,
故,所以三点共线,故与重合,所以,
故,解得或,
因为且,故,故,
故选:C.
7.D
【分析】
如图建立直角坐标系,设,则由已知条件可求出点的坐标,再由,求出的值,则可得点的坐标,,则可表示,,从而可得,进而利用二次函数的性质可求得答案
【详解】
如图,以为原点,所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系,
因为直角梯形中,,,,,,
所以,则
,,,,,
所以,,
设,则,
因为,所以,解得,
所以,则,,
因为,所以,得,则,
设,则,
,
所以,
当时,取得最大值,
故选:D
8.C
【分析】
作图,以为原点,、所在的直线分别为轴,轴建立直角坐标系;
由题意可得点A、D的坐标,设(),利用向量数量积的坐标表示得出
,结合二次函数的性质求出最大值即可.
【详解】
如图,以为原点,,所在的直线分别为轴,轴建立直角坐标系.
作,,垂足分别为,,
在中,因为,所以,.
在中,因为,,所以,,
则,.设,,
则,,
所以,
当时,取得最大值,且.
故选:C
9.B
【分析】
根据题意可得,则,再根据各个选项分析即可得出答案.
【详解】
解:根据题意可得:,
则,
当时,,故A错误;
当时,,及,故B正确;
,因为在上递减,
又因行李包所受的重力为不变,所以当角越大时,用力越大,故C错误;
当时,即,解得,
又因,所以,故D错误.
故选:B.
10.B
【分析】
分析可知,当船的航程最短时,,利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误,利用路程除以速度可得航行时间,可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知,,当船的航程最短时,,而船头的方向与同向,
由,可得,,A选项错误,B选项正确;
,C选项错误;
该船到达对岸所需时间为(分钟),D选项错误.
故选:B.
11.(1)见试题解析;(2)见试题解析
【分析】
(1) 如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1),再求出和的坐标,再计算得=0即证
BE⊥CF.(2) 设P(x,y),再根据已知求出P,再求=4=,即证明AP=AB.
【详解】
如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
【点睛】
(1)本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算,考查向量垂直和平行的坐标表示,考查模的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)向量,则.
12.(Ⅰ)-18;(Ⅱ).
【详解】
试题分析:
(Ⅰ)在中由余弦定理得,从而得到三角形为等腰三角形,可得,由数量积的定义可得.(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上,故可得,所以,因为,所以得到.设设,则得到,,根据数量积的定义及运算率可得所求.
试题解析:
(Ⅰ)在中,
由余弦定理得,
所以,
所以是等腰三角形,且,
所以,
所以
(Ⅱ)由,
得,
所以点在的角平分线上,
又因为点是边上的一点,
所以由角平分线性质定理得,
所以.
因为,
所以.
设,
则,.
由,得,
所以,
又,
所以
点睛:解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系:
(1)在中,若或,则点是的外心;
(2)在中,若,则点是的重心;
(3)在中,若,则直线一定过的重心;
(4)在中,若,则点是的垂心;
(5)在中,若,则直线通过的内心.
13.(1)见解析;(2)0
【分析】
(1) 设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.(2)先利用向量的数量积和向量的线性运算求得==-,再利用二次函数求出函数的最小值.
【详解】
(1)设=m=n,
由题意知)
=+m)=,
又+n+n()
=(1-n)+n,
∴
∴=m,即M是CD的中点.
(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点,
∴MB=,∠ABM=45°,
∴=()·=-()·=--||2
=-||||cs(180°-∠ABH)-||2
=||||cs 45°-||2
=|-||2=-,
又0
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