数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用当堂达标检测题

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用当堂达标检测题，共42页。
【考点梳理】
考点一 向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点二 向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
技巧：(1)用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【题型归纳】
题型一：用向量证明线段垂直问题
1．（2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
2．（2023·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
题型二：用向量解决夹角问题
3．（2023·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·四川·绵阳中学高一阶段练习）直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：用向量解决线段的长度问题
5．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A．B．C．3D．
题型四：向量与几何最值问题
7．（2023·江西·九江一中高一期中）在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北邢台·高一阶段练习）在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：向量在物理中的应用
9．（2023·山东潍坊·高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当角越大时，用力越省D．当时，
10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直B．
C．D．该船到达对岸所需时间为分钟
题型六：平面向量应用的综合问题
11．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
12．（2023·江苏·高一课时练习）如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.
（Ⅰ）求与的数量积；
（Ⅱ）求与的数量积.
13．（2018·全国·高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.
(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.
【双基达标】
一、单选题
14．（2023·全国·高一课前预习）在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
15．（2023·全国·高一课时练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
16．（2023·全国·高一课时练习）平面上有三点A，B，C，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在同一条直线上
B．ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角
C．ABC必为直角三角形，且∠B=90°
D．ABC必为等腰直角三角形
17．（2023·吉林·延边二中高一期中）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2B．1C．D．4
18．（2023·江西·九江一中高一阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全国·高一课时练习）用力推动一物体水平运动，设与水平面的夹角为，则对物体所做的功为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
21．（2023·湖南省邵东市第三中学高一期中）在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
22．（2023·全国·高一期中）已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A．B．2C．2D．2
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·福建·福州三中高一期中）已知是所在平面内的一点，若|，则一定为（ ）
A．以为底边的等腰三角形
B．为底边的等腰三角形
C．以为斜边的直角三角形
D．以为斜边的直角三角形
24．（2023·全国·高一课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为g=10，≈1.732）
A．81B．87C．89D．91
25．（2023·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知点满足，，，则点依次是的（ ）
A．重心､外心､垂心B．重心､外心､内心
C．外心､重心､垂心D．外心､重心､内心
26．（2023·江苏通州·高一期中）如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交于不同的两点，设，，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．不确定
27．（2023·山西太原·高一期中）已知，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·山西运城·高一期末）已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
29．（2023·全国·高一课前预习）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·河南驻马店·高一期末（文））在菱形中，，，，是菱形内部及边界上一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
31．（2023·江苏泰州·高一期末）已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ）
A．B．1C．D．3
二、多选题
32．（2023·山东邹城·高一期中）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，，则有（ ）
A．B．
C．点是的垂心D．在方向上的投影向量的长度为
33．（2023·重庆·西南大学附中高一阶段练习）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．与的夹角是钝角
34．（2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·江苏常州·高一期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与不共线
C．若，记三角形的面积为，则的最大值为
D．若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
36．（2023·广东广州·高一期末）中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值4
C．若、为边上的两个动点，且则的最小值为
D．已知Q是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1
三、填空题
37．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
38．（2023·全国·高一课时练习）已知为的外心，且，则________.
39．（2023·全国·高一课时练习）如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
40．（2023·全国·高一课时练习）已知，作用于同一质点，使其由原点移动到点，则合力对质点所做的功为___________.
41．（2023·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设为内一点，且满足关系式，则__．
四、解答题
42．（2023·全国·高一课时练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.
43．（2023·全国·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
44．（2023·全国·高一课时练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
45．（2023·广东·仲元中学高一期末）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
【答案详解】
1．B
【分析】
由已知平方可得，得出可判断.
【详解】
，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
2．C
【分析】
由推出，由推出，则可得答案.
【详解】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
3．C
【分析】
建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系：
则,
设，
因为动点位于直线上，
直线的方程为：，
所以
，
当时，取得最小值，此时，
，
所以，
又因为，
所以，
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
设， 且与的夹角为， 由此可表示出和；结合已知可求出和，由此可求出，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.
【详解】
设， ，则，，，
设与的夹角为，
∵，，
∴，
∴|，，
∴，.
∵，∴.
∵即为向量与的夹角，
∴，
故.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.
5．C
【分析】
取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.
【详解】
取中点O，连接，

，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
6．C
【分析】
根据可得，再利用余弦定理可求的长度.
【详解】
取的中点为，
因为，故即，
故，所以三点共线，故与重合，所以，
故，解得或，
因为且，故，故，
故选：C.
7．D
【分析】
如图建立直角坐标系，设，则由已知条件可求出点的坐标，再由，求出的值，则可得点的坐标，，则可表示，，从而可得，进而利用二次函数的性质可求得答案
【详解】
如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
因为直角梯形中，，，，，，
所以，则
，，，，，
所以，，
设，则，
因为，所以，解得，
所以，则，，
因为，所以，得，则，
设，则，
，
所以，
当时，取得最大值，
故选：D
8．C
【分析】
作图，以为原点，、所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系；
由题意可得点A、D的坐标，设()，利用向量数量积的坐标表示得出
，结合二次函数的性质求出最大值即可.
【详解】
如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系．
作，，垂足分别为，，
在中，因为，所以，．
在中，因为，，所以，，
则，．设，，
则，，
所以，
当时，取得最大值，且.
故选：C
9．B
【分析】
根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可得：，
则，
当时，，故A错误；
当时，，及，故B正确；
，因为在上递减，
又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；
当时，即，解得，
又因，所以，故D错误.
故选：B.
10．B
【分析】
分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
11．（1）见试题解析；（2）见试题解析
【分析】
(1) 如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出和的坐标，再计算得=0即证
BE⊥CF.(2) 设P(x,y),再根据已知求出P，再求=4=，即证明AP=AB.
【详解】
如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
【点睛】
（1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）向量，则.
12．(Ⅰ)-18；(Ⅱ).
【详解】
试题分析：
(Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求．
试题解析：
（Ⅰ）在中，
由余弦定理得，
所以，
所以是等腰三角形，且，
所以,
所以
（Ⅱ）由,
得，
所以点在的角平分线上，
又因为点是边上的一点，
所以由角平分线性质定理得，
所以.
因为，
所以.
设，
则，．
由，得，
所以，
又，
所以

点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：
（1）在中，若或，则点是的外心；
（2）在中，若，则点是的重心；
（3）在中，若，则直线一定过的重心；
（4）在中，若，则点是的垂心；
（5）在中，若，则直线通过的内心.
13．（1）见解析；（2）0
【分析】
(1) 设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得==-,再利用二次函数求出函数的最小值.
【详解】
(1)设=m=n,
由题意知)
=+m)=,
又+n+n()
=(1-n)+n,
∴
∴=m,即M是CD的中点.
(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点,
∴MB=,∠ABM=45°,
∴=()·=-()·=--||2
=-||||cs(180°-∠ABH)-||2
=||||cs 45°-||2
=|-||2=-,
又0