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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积复习练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积复习练习题，共35页。试卷主要包含了求正四棱台的表面积，5尺､10833立方尺B．12，85m，底的边长是1，4m，高为27等内容，欢迎下载使用。
【考点梳理】
考点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
考点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【题型归纳】
题型一：棱柱侧面积和表面积
1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（ ）
A．12B．48C．64D．72
2．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为
A．B．C．D．
3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．135
题型二：棱锥的侧面积和表面积
4．已知四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，，则该四棱锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
题型三：棱台的侧面积和表面积
7．正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
9．已知正四棱台上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.
题型四：棱柱的体积
10．已知圆柱及其展开图如图所示，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，棱锥体积与长方体体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
12．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的边长为，侧棱，若侧面水平放置时（如下图2），水面恰好过，，，的中点．
（1）求容器中水的体积；
（2）当容器底面水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．
题型五：棱锥的体积
13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
14．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．12B．24C．4D．30
15．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型六：棱台的体积
16.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8B．4
C．2D．2
17．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（ ）
A．B．C．D．6
18．已知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为，
（1）求棱台的高.
（2）求棱台的表面积.
【双基达标】
一、单选题
16．若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为
19．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
20．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．14
21．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2
23．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）
A．B．
C．D．
24．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，则水面的高为（ ）
A．2B．C．3D．
25．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）
A．648B．324C．162D．108
【高分突破】
一：单选题
26．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
27．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．4
28．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为.后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即，为球的半径，也即正方体的棱长均为，从而计算出，记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，棱长为的正方形的方盖差为，则等于（ ）
A．B．C．D．
29．已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，，则此正三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
30．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（ ）
A．12.5尺､10833立方尺B．12.5尺､32500立方尺
C．3.125尺､10833立方尺D．3.125尺､32500立方尺
二、多选题
31．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥的侧面积为
32．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
33．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1，则（ ）
A．该四棱台的侧棱长为
B．二面角的大小为
C．该四棱台的体积为
D．与所成角的余弦值为
34．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）
A．该截角四面体一共有12条棱
B．该截角四面体一共有8个面
C．该截角四面体的表面积为
D．该截角四面体的体积为
三、填空题
35．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.
36．如图，已知斜三棱柱的体积是12，点P为棱上任意一点，则四棱锥的体积为______．
37．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是__________．
38．如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______．
四、解答题
39．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？
40．如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为35.4m，高为27.9m的等腰三角形．试求：
(1)展览馆的高度；
(2)外墙的面积；
(3)该四棱锥的体积．
41．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）的底面边长为2，侧棱长为3．
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积．
42．如图，四棱台，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且AB=5，=4，.
（1）求四棱台的侧面积；
（2）求四棱台的体积.(台体体积公式)
43．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.
求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）棱锥的表面积与体积.
44．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
45．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积．
图形
表面积
多面体
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥
V棱锥＝eq \f(1,3)Sh
S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台
V棱台＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h
S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
【答案详解】
1．D
【详解】
解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，
故底面周长，
又侧面是矩形，侧棱长为4，
故棱柱的高，
棱柱的侧面积，
故选：D
2．A
【解析】
求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．
【详解】
由题意侧棱长为．
所以表面积为：．
故选：A.
【点睛】
本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．
3．A
由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为，则这个直棱柱的侧面积为.
4．D
【详解】
因为四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，
所以，
所以该四面体的表面积.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．
【详解】
解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，
所以这个正三棱锥的侧面积为：，正三棱锥的底面积为：．
所以正三棱锥的表面积为
故选：．
6．D
【解析】
【分析】
先在正四棱锥中由高，，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.
【详解】
依题意，正四棱锥的高底面，且，知为等腰直角三角形，则侧棱，且，
则底面正方形的对角线，得正方形的边长，
从而知正四棱锥的个侧面均是边长为的正三角形；
所以底面积为： ；侧面积为：
故正四棱锥的表面积为：．
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设，，，可得正四棱台的斜高为，
所以棱台的侧面积为．
故选：．
8．棱台的高为，体积为.
【解析】
【分析】
根据题意分析该三棱锥为正三棱锥，作出该棱锥的高和斜高，先利用侧面面积等于上、下底面面积之和求出斜高，再利用直角梯形求出高，进而利用体积公式求其体积.
【详解】
如图所示，在三棱锥中，
、分别是上、下底面的中心，
、分别是、的中点，
连接、、、，
则、分别在、上，
则是三棱锥的高，记为，
是等腰梯形的高，也是三棱锥的斜高，记为，
所以；
上、下底面面积之和为，
由得：，即，
又，，
在直角梯形中，
，
则三棱锥的体积.
9．
【解析】
【分析】
首先在等腰梯形 中，过作于，从而得到，再计算表面积即可.
【详解】
如图所示：
正四棱台中，，
在等腰梯形 中，过作于，则，
所以，
所以正四棱台的表面积为.
【点睛】
本题主要考查几何体的表面积，属于简单题.
10．D
【解析】
【分析】
结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.
【详解】
设底面半径为，高为，根据展开图得，则，所以圆柱的体积为，
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
设，然后表示出棱锥体积和长方体的体积，再进行相除可得答案
【详解】
解：设，
因为平面，
所以，
因为，
所以棱锥体积与长方体体积的比值为，
故选：C
12．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；
（2）设图1中水高度为，根据水的体积相等得到方程，解得即可；
【详解】
解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为，又高为
所以水的体积为，
（2）设图1中水高度为，则，解得．
所以当容器底面水平放置时，容器内水面的高度为．
13．C
【解析】
【分析】
根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】
因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，
设三条侧棱长分别为，则，所以，
所以三棱锥的体积.
故选：C
14．C
【解析】
【分析】
求出菱形的面积后可求四棱锥的体积.
【详解】
所求的体积为，
故选：C.
15．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，根据椎体体积公式，即可得答案.
【详解】
如图所示，正四棱锥棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO
根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.
所以，，
所以正四棱锥的体积.
故选：C
16．C
【解析】
【分析】
根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.
【详解】
如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x，8x，斜高为5x，则棱台的高h==4x，
由棱台的体积公式得：，解得，
棱台的高为h=4x=2.
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.
【详解】
依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，
故由公式可知，棱台的体积是，
故选：C.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设､分别为上､下底面的中心，连接，过作于，过作
于，可得，根据各线段的长利用勾股定理即可求高；
（2）由棱台的高求出斜高，由梯形的面积公式求出侧面积，与上下底面积求和即可.
【详解】
（1）因为棱台是正四棱台，所以上下底面都是正方形，
因为两底面边长分别为2和4，所以，，
如图，设､分别为上､下底面的中心，连接,
因为棱台是正四棱台，所以面，
过作于，则，过作于，连接，
则为正四棱台的斜高，
由题意知，
因为正四棱台两底面边长分别为2和4，
所以，
所以棱台的高为，
（2）因为正四棱台的高为，
又，
所以斜高，
所以侧面积为：，
底面积为，
所以表面积为：.
19．C
【解析】
【分析】
根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可.
【详解】
解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,
所以该三棱柱底面棱长为，高为，
所以该正三棱柱的体积为：
故选：C
20．C
【解析】
【分析】
根据棱台的体积公式即可直接求出答案.
【详解】
.
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
利用柱体体积公式求体积.
【详解】
不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，即.故该曲池的体积.
故选：B
22．A
【解析】
【分析】
由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求及剩余部分的体积，进而求其比例即可.
【详解】
由图知：，，而，
∴剩余部分的体积为，
∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5.
故选：A
23．B
【解析】
【分析】
根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.
【详解】
正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.
故选:B.
24．C
【解析】
【分析】
根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，利用等体积法可得解.
【详解】
当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形面积为，此时水的体积
当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，此时水的体积
又，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，等体积法时解题的关键，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
25．B
【解析】
【分析】
利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：即可求解.
【详解】
如图：由正六边形的每个内角为，
按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱，即，
所以 ，即正六棱柱的高为
所以正六棱柱体积：.
故选：B
26．D
【解析】
【分析】
利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.
【详解】
正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，
所以棱台的斜高为: .
所以棱台的侧面积是: .
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
首先计算正四棱锥的高，再计算体积.
【详解】
如图，正四棱锥，，，则，
则该正四棱锥的体积.
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
根据已知条件计算出、，即可得解.
【详解】
由题意可得，
所有棱长都为的正四棱锥的底面对角线长为，高为，
所以，，因此，.
故选：A.
29．A
【解析】
【分析】
根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，再结合题中给出三棱锥的高，进而求得正三棱锥的体积.
【详解】
因为直观图中，，
所以在原图中为底面正三角形的高，，
则正三角形边长为，面积为，
又因为正三棱锥高为，所以其体积为.
故选：A.
30．A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．
【详解】
解：如图所示，
正四棱锥的下底边长为三丈，即尺，
高二丈五，即尺；
截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
（立方尺）．
故选：A．
31．ABD
【解析】
【分析】
先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.
【详解】
设为等边三角形的中心，为的中点，连接，
则为正三棱锥的高，为斜高，
又，，故,
故AB正确.
而正三棱锥的体积为，侧面积为，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
32．ABD
【解析】
【分析】
由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．
【详解】
在直三棱柱中，，，,
则，底面和是等腰三角形，侧面全是矩形，
所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；
设底面外接圆半径为，即，即，
所以直棱柱的外接球半径，
直三棱柱的外接球表面积为，故B正确；
由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，
三棱锥的高为定值，
××2＝，××＝，故C错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，
取最小值，，故D正确．
故选：ABD．
33．AB
【解析】
【分析】
结合正四棱台中的直角梯形、直角三角形根据二面角的定义、体积公式、异面直线所成的角的定义计算．
【详解】
如图，平面于，于，则是的高，是斜高，
显然在对角线中，，
，则，所以，A正确，
直角中是二面角的平面角，，所以，B正确；
，C错；
，所以与所成的角为或其补角．
又，，正四棱台中，D错．
故选：AB．
34．BCD
【解析】
【分析】
确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.
【详解】
对于AB，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A错误，B正确；
对于C，边长为1的正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积，故该截角四面体的表面积为，故C正确；
对于D，棱长为1的正四面体的高，利用等体积法可得该截角四面体的体积为，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.
35．32
【解析】
【分析】
根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.
【详解】
在正四面体中易知，是正棱锥的高，是正棱锥的斜高，
, ,
,
，
故答案为：32
36．8
【解析】
【分析】
利用等体积法证明四棱锥的体积与斜三棱柱的体积的关系，即可得解.
【详解】
故答案为：8
37．
【解析】
【分析】
利用柱体体积公式分别计算六棱柱和中间空圆柱的体积，相减即得.
【详解】
六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：．
故答案为：.
38．
【解析】
【分析】
利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解.
【详解】
由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设棱台的高为，则点到的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为，
则.
故答案为：.
39．3.4
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．
【详解】
如图，连接SE：
表示塔的顶点，表示底面的中心，则是高，设是斜高，
在中，根据勾股定理得，
所以，
答：制造这种塔顶需要铁板约．
40．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算棱锥的高；
（2）每个侧面均为等腰三角形，从而可得出侧面积；
（3）代入棱锥的体积公式计算体积．
(1)
解：（1）设正四棱锥为，连接交与点，连接，
则即为正四棱锥为的高，设的中点为，连接，，
，，
，
即展览馆的高度为；
(2)
，
展览馆的外墙面积为；
(3)
四棱锥的体积．
41．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设为正三角形的中心，则底面．求解，再由棱锥体积公式求解．
【详解】
解：（1）取的中点，连接，
在中，可得．
．
正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
正三棱锥的侧面积是．
正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，．
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设为正三角形的中心，则底面．
且．
在中，．
正三棱锥的体积为．
42．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出梯形的面积后可得四棱台的侧面积.
（2）求出四棱台的高后利用公式可求其体积.
【详解】
（1）在梯形中，过作的垂线，垂足分别为，
则，故，
故梯形的面积为，
故四棱台的侧面积为.
（2）如图，过作平面，垂足为，连接.
因为侧面是全等的等腰梯形，故，
所以在的平分线上，故，
因为平面，故，而，
故平面，而平面，故.
由（1）可得，故，所以，
故四棱台的体积为.
43．（1）侧棱长为，侧面的高为；（2）表面积，体积为.
【解析】
【分析】
（1）设为正四棱锥的高，则，作，连结，分别在和，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.
【详解】
（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，
作，则为中点，
连结，则，
因为，可得，
在中，，
在中，，
所以棱锥的侧棱长为，侧面的高为.
（2）棱锥的表面积为=，
几何体的体积为.
44． L.
【解析】
【分析】
由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】
如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,
当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，
又，
∴，
∴，
∴罐内液体车油最多还能剩 L.
45．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）求出棱柱的高和底面积后可求“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数.
（2）若裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，则，故可求此时容器的侧面积.
【详解】
（1）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高，
其底面积，
则三棱柱容器的容积，
即所求函数关系式为；
（2）此时，而相应棱柱的高，
故侧面积为．
【考点梳理】
考点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
考点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【题型归纳】
题型一：棱柱侧面积和表面积
1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（ ）
A．12B．48C．64D．72
2．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为
A．B．C．D．
3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．135
题型二：棱锥的侧面积和表面积
4．已知四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，，则该四棱锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
题型三：棱台的侧面积和表面积
7．正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
9．已知正四棱台上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.
题型四：棱柱的体积
10．已知圆柱及其展开图如图所示，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，棱锥体积与长方体体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
12．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的边长为，侧棱，若侧面水平放置时（如下图2），水面恰好过，，，的中点．
（1）求容器中水的体积；
（2）当容器底面水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．
题型五：棱锥的体积
13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
14．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．12B．24C．4D．30
15．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型六：棱台的体积
16.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8B．4
C．2D．2
17．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（ ）
A．B．C．D．6
18．已知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为，
（1）求棱台的高.
（2）求棱台的表面积.
【双基达标】
一、单选题
16．若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为
19．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
20．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．14
21．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2
23．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）
A．B．
C．D．
24．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，则水面的高为（ ）
A．2B．C．3D．
25．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）
A．648B．324C．162D．108
【高分突破】
一：单选题
26．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
27．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．4
28．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为.后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即，为球的半径，也即正方体的棱长均为，从而计算出，记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，棱长为的正方形的方盖差为，则等于（ ）
A．B．C．D．
29．已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，，则此正三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
30．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（ ）
A．12.5尺､10833立方尺B．12.5尺､32500立方尺
C．3.125尺､10833立方尺D．3.125尺､32500立方尺
二、多选题
31．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥的侧面积为
32．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
33．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1，则（ ）
A．该四棱台的侧棱长为
B．二面角的大小为
C．该四棱台的体积为
D．与所成角的余弦值为
34．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）
A．该截角四面体一共有12条棱
B．该截角四面体一共有8个面
C．该截角四面体的表面积为
D．该截角四面体的体积为
三、填空题
35．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.
36．如图，已知斜三棱柱的体积是12，点P为棱上任意一点，则四棱锥的体积为______．
37．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是__________．
38．如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______．
四、解答题
39．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？
40．如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为35.4m，高为27.9m的等腰三角形．试求：
(1)展览馆的高度；
(2)外墙的面积；
(3)该四棱锥的体积．
41．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）的底面边长为2，侧棱长为3．
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积．
42．如图，四棱台，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且AB=5，=4，.
（1）求四棱台的侧面积；
（2）求四棱台的体积.(台体体积公式)
43．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.
求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）棱锥的表面积与体积.
44．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
45．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积．
图形
表面积
多面体
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥
V棱锥＝eq \f(1,3)Sh
S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台
V棱台＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h
S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
【答案详解】
1．D
【详解】
解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，
故底面周长，
又侧面是矩形，侧棱长为4，
故棱柱的高，
棱柱的侧面积，
故选：D
2．A
【解析】
求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．
【详解】
由题意侧棱长为．
所以表面积为：．
故选：A.
【点睛】
本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．
3．A
由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为，则这个直棱柱的侧面积为.
4．D
【详解】
因为四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，
所以，
所以该四面体的表面积.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．
【详解】
解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，
所以这个正三棱锥的侧面积为：，正三棱锥的底面积为：．
所以正三棱锥的表面积为
故选：．
6．D
【解析】
【分析】
先在正四棱锥中由高，，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.
【详解】
依题意，正四棱锥的高底面，且，知为等腰直角三角形，则侧棱，且，
则底面正方形的对角线，得正方形的边长，
从而知正四棱锥的个侧面均是边长为的正三角形；
所以底面积为： ；侧面积为：
故正四棱锥的表面积为：．
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设，，，可得正四棱台的斜高为，
所以棱台的侧面积为．
故选：．
8．棱台的高为，体积为.
【解析】
【分析】
根据题意分析该三棱锥为正三棱锥，作出该棱锥的高和斜高，先利用侧面面积等于上、下底面面积之和求出斜高，再利用直角梯形求出高，进而利用体积公式求其体积.
【详解】
如图所示，在三棱锥中，
、分别是上、下底面的中心，
、分别是、的中点，
连接、、、，
则、分别在、上，
则是三棱锥的高，记为，
是等腰梯形的高，也是三棱锥的斜高，记为，
所以；
上、下底面面积之和为，
由得：，即，
又，，
在直角梯形中，
，
则三棱锥的体积.
9．
【解析】
【分析】
首先在等腰梯形 中，过作于，从而得到，再计算表面积即可.
【详解】
如图所示：
正四棱台中，，
在等腰梯形 中，过作于，则，
所以，
所以正四棱台的表面积为.
【点睛】
本题主要考查几何体的表面积，属于简单题.
10．D
【解析】
【分析】
结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.
【详解】
设底面半径为，高为，根据展开图得，则，所以圆柱的体积为，
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
设，然后表示出棱锥体积和长方体的体积，再进行相除可得答案
【详解】
解：设，
因为平面，
所以，
因为，
所以棱锥体积与长方体体积的比值为，
故选：C
12．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；
（2）设图1中水高度为，根据水的体积相等得到方程，解得即可；
【详解】
解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为，又高为
所以水的体积为，
（2）设图1中水高度为，则，解得．
所以当容器底面水平放置时，容器内水面的高度为．
13．C
【解析】
【分析】
根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】
因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，
设三条侧棱长分别为，则，所以，
所以三棱锥的体积.
故选：C
14．C
【解析】
【分析】
求出菱形的面积后可求四棱锥的体积.
【详解】
所求的体积为，
故选：C.
15．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，根据椎体体积公式，即可得答案.
【详解】
如图所示，正四棱锥棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO
根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.
所以，，
所以正四棱锥的体积.
故选：C
16．C
【解析】
【分析】
根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.
【详解】
如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x，8x，斜高为5x，则棱台的高h==4x，
由棱台的体积公式得：，解得，
棱台的高为h=4x=2.
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.
【详解】
依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，
故由公式可知，棱台的体积是，
故选：C.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设､分别为上､下底面的中心，连接，过作于，过作
于，可得，根据各线段的长利用勾股定理即可求高；
（2）由棱台的高求出斜高，由梯形的面积公式求出侧面积，与上下底面积求和即可.
【详解】
（1）因为棱台是正四棱台，所以上下底面都是正方形，
因为两底面边长分别为2和4，所以，，
如图，设､分别为上､下底面的中心，连接,
因为棱台是正四棱台，所以面，
过作于，则，过作于，连接，
则为正四棱台的斜高，
由题意知，
因为正四棱台两底面边长分别为2和4，
所以，
所以棱台的高为，
（2）因为正四棱台的高为，
又，
所以斜高，
所以侧面积为：，
底面积为，
所以表面积为：.
19．C
【解析】
【分析】
根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可.
【详解】
解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,
所以该三棱柱底面棱长为，高为，
所以该正三棱柱的体积为：
故选：C
20．C
【解析】
【分析】
根据棱台的体积公式即可直接求出答案.
【详解】
.
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
利用柱体体积公式求体积.
【详解】
不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，即.故该曲池的体积.
故选：B
22．A
【解析】
【分析】
由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求及剩余部分的体积，进而求其比例即可.
【详解】
由图知：，，而，
∴剩余部分的体积为，
∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5.
故选：A
23．B
【解析】
【分析】
根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.
【详解】
正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.
故选:B.
24．C
【解析】
【分析】
根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，利用等体积法可得解.
【详解】
当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形面积为，此时水的体积
当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，此时水的体积
又，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，等体积法时解题的关键，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
25．B
【解析】
【分析】
利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：即可求解.
【详解】
如图：由正六边形的每个内角为，
按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱，即，
所以 ，即正六棱柱的高为
所以正六棱柱体积：.
故选：B
26．D
【解析】
【分析】
利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.
【详解】
正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，
所以棱台的斜高为: .
所以棱台的侧面积是: .
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
首先计算正四棱锥的高，再计算体积.
【详解】
如图，正四棱锥，，，则，
则该正四棱锥的体积.
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
根据已知条件计算出、，即可得解.
【详解】
由题意可得，
所有棱长都为的正四棱锥的底面对角线长为，高为，
所以，，因此，.
故选：A.
29．A
【解析】
【分析】
根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，再结合题中给出三棱锥的高，进而求得正三棱锥的体积.
【详解】
因为直观图中，，
所以在原图中为底面正三角形的高，，
则正三角形边长为，面积为，
又因为正三棱锥高为，所以其体积为.
故选：A.
30．A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．
【详解】
解：如图所示，
正四棱锥的下底边长为三丈，即尺，
高二丈五，即尺；
截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
（立方尺）．
故选：A．
31．ABD
【解析】
【分析】
先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.
【详解】
设为等边三角形的中心，为的中点，连接，
则为正三棱锥的高，为斜高，
又，，故,
故AB正确.
而正三棱锥的体积为，侧面积为，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
32．ABD
【解析】
【分析】
由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．
【详解】
在直三棱柱中，，，,
则，底面和是等腰三角形，侧面全是矩形，
所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；
设底面外接圆半径为，即，即，
所以直棱柱的外接球半径，
直三棱柱的外接球表面积为，故B正确；
由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，
三棱锥的高为定值，
××2＝，××＝，故C错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，
取最小值，，故D正确．
故选：ABD．
33．AB
【解析】
【分析】
结合正四棱台中的直角梯形、直角三角形根据二面角的定义、体积公式、异面直线所成的角的定义计算．
【详解】
如图，平面于，于，则是的高，是斜高，
显然在对角线中，，
，则，所以，A正确，
直角中是二面角的平面角，，所以，B正确；
，C错；
，所以与所成的角为或其补角．
又，，正四棱台中，D错．
故选：AB．
34．BCD
【解析】
【分析】
确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.
【详解】
对于AB，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A错误，B正确；
对于C，边长为1的正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积，故该截角四面体的表面积为，故C正确；
对于D，棱长为1的正四面体的高，利用等体积法可得该截角四面体的体积为，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.
35．32
【解析】
【分析】
根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.
【详解】
在正四面体中易知，是正棱锥的高，是正棱锥的斜高，
, ,
,
，
故答案为：32
36．8
【解析】
【分析】
利用等体积法证明四棱锥的体积与斜三棱柱的体积的关系，即可得解.
【详解】
故答案为：8
37．
【解析】
【分析】
利用柱体体积公式分别计算六棱柱和中间空圆柱的体积，相减即得.
【详解】
六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：．
故答案为：.
38．
【解析】
【分析】
利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解.
【详解】
由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设棱台的高为，则点到的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为，
则.
故答案为：.
39．3.4
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．
【详解】
如图，连接SE：
表示塔的顶点，表示底面的中心，则是高，设是斜高，
在中，根据勾股定理得，
所以，
答：制造这种塔顶需要铁板约．
40．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算棱锥的高；
（2）每个侧面均为等腰三角形，从而可得出侧面积；
（3）代入棱锥的体积公式计算体积．
(1)
解：（1）设正四棱锥为，连接交与点，连接，
则即为正四棱锥为的高，设的中点为，连接，，
，，
，
即展览馆的高度为；
(2)
，
展览馆的外墙面积为；
(3)
四棱锥的体积．
41．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设为正三角形的中心，则底面．求解，再由棱锥体积公式求解．
【详解】
解：（1）取的中点，连接，
在中，可得．
．
正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
正三棱锥的侧面积是．
正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，．
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设为正三角形的中心，则底面．
且．
在中，．
正三棱锥的体积为．
42．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出梯形的面积后可得四棱台的侧面积.
（2）求出四棱台的高后利用公式可求其体积.
【详解】
（1）在梯形中，过作的垂线，垂足分别为，
则，故，
故梯形的面积为，
故四棱台的侧面积为.
（2）如图，过作平面，垂足为，连接.
因为侧面是全等的等腰梯形，故，
所以在的平分线上，故，
因为平面，故，而，
故平面，而平面，故.
由（1）可得，故，所以，
故四棱台的体积为.
43．（1）侧棱长为，侧面的高为；（2）表面积，体积为.
【解析】
【分析】
（1）设为正四棱锥的高，则，作，连结，分别在和，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.
【详解】
（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，
作，则为中点，
连结，则，
因为，可得，
在中，，
在中，，
所以棱锥的侧棱长为，侧面的高为.
（2）棱锥的表面积为=，
几何体的体积为.
44． L.
【解析】
【分析】
由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】
如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,
当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，
又，
∴，
∴，
∴罐内液体车油最多还能剩 L.
45．（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）求出棱柱的高和底面积后可求“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数.
（2）若裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，则，故可求此时容器的侧面积.
【详解】
（1）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高，
其底面积，
则三棱柱容器的容积，
即所求函数关系式为；
（2）此时，而相应棱柱的高，
故侧面积为．
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