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（人教A版2019必修第二册）数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破 专题训练一 常见几何体表面积和体积必刷题精练）【附答案详解】
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这是一份（人教A版2019必修第二册）数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破 专题训练一 常见几何体表面积和体积必刷题精练）【附答案详解】，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·湖南·高一）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
2．（2020·河南·洛阳欧亚国际双语学校高一阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一课时练习）(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
4．（2022·全国·高一）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2019·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（文））已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
6．（2023·湖南·永州市第一中学高一期中）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津经济技术开发区第一中学高一期中）若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北·衡水市第十四中学高一期末）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·辛集中学高一期中）已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高一课时练习）四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）
A．3B．2C．1D．
11．（2020·山东·烟台二中高一阶段练习）已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是
A．16B．15C．D．
12．（2023·江苏省苏州实验中学高一期中）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河北·深州长江中学高一期中）如图，已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为若截面的面积为则正四棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·安徽安庆·高一期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．（2023·福建省宁化第一中学高一阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（ ）
A．该三棱锥的内切球半径为B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为D．该三棱锥体积为
16．（2023·湖南省邵东市第三中学高一期中）已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是（ ）
A．该正方体外接球的直径为
B．该正方体内切球的表面积为
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D．该正方体外接球的体积为
17．（2023·全国·高一课时练习）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
18．（2023·浙江·高一期中）已知圆锥底面半径为3，高为4，则（ ）
A．圆锥的体积是
B．圆锥的侧面积是
C．圆锥的内切球体积是
D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
19．（2023·广东白云·高一期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
20．（2023·福建宁德·高一期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为
三、填空题
21．（2023·全国·高一课时练习）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
22．（2023·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.
23．（2020·山东·新泰市第一中学高一期中）已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．
24．（2023·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一阶段练习）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为______cm3．
25．（2023·浙江·高一单元测试）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．
四、解答题
26．（2023·湖北·咸丰春晖学校高一阶段练习）如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
27．（2023·全国·高一课时练习）已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积､表面积.
28．（2023·全国·高一课时练习）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
29．（2020·广东·广州市第一一三中学高一期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．
30．（2023·河北·任丘市第一中学高一阶段练习）一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.
（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
2．A
【解析】
【详解】
根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，
∴，
∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，
∴．
考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
3．B
【解析】
【详解】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
4．B
【解析】
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积．
【详解】
由已知得，作下图
，连结，延长至圆上交于H，
过作交于，
则为，所以，为斜边的中点，
所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则
，则，，
则球的半径
球的表面积为
答案选D.
【点睛】
本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等．
6．C
【解析】
【分析】
由题设得到三棱锥，由已知Rt△外接圆圆心在中点上，则其外接圆半径r，三棱锥外接球半径为R，及的关系为，进而求外接球表面积.
【详解】
如下图，若，，有，
∴Rt△外接圆圆心在中点上，设外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，则：.
∴.
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．
【详解】
解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．
所以外接球的表面积为：．
故选：C
【点睛】
本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
8．A
【解析】
【分析】
由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．
【详解】
设圆锥母线为，底面半径为，
则，解得，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，
，，
，，
所以球表面积为．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．
9．C
【解析】
由余弦定理求，再由正弦定理求△的外接圆半径，又面知△的外接圆的圆心与所构成的截面必过三棱锥外接球的球心，即可求出球的半径，根据球的体积公式求体积即可.
【详解】
由，，， 则由余弦定理有：
，即，
∴由正弦定理知△的外接圆半径：，
由题意知：面，又，三棱锥的外接球半径：
，
由球的体积公式，有：，
故选：C
【点睛】
本题考查了求三棱锥外接球的体积，根据三棱锥一条棱与底面垂直，该底面的外接圆的圆心与棱所成截面过球心即可求球体的半径，进而求体积.
10．C
【解析】
【分析】
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.
【详解】
解：
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,
OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，
可得，可得，
解得PA=1,
故选C.
【点睛】
本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.
11．A
【解析】
由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.
【详解】
由题， ，
因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
故三棱柱的高
故体积
故选A
【点睛】
本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.
12．B
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．
【详解】
设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
圆柱的侧面展开图是一个正方形，
，
圆柱的侧面积为，
圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，
圆柱的表面积与侧面积的比为：，
故选：．
13．B
【解析】
【分析】
连接，交于，连接，根据截面的面积为可解得，即可求出体积.
【详解】
解：连接，交于，连接，则底面且是中点，
，，
截面的面积为，
，解得，
正四棱锥的体积为：
.
故选：B．
14．A
【解析】
【分析】
设，，由三棱锥外接球的表面积为，可得出.根据等体积法得，利用基本不等式可求得三棱锥体积的最大值.
【详解】
设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径.又平面，，
所以，所以，所以.
因为平面，，所以，，过D作，垂足为E，则平面，
所以，所以，所以，所以
，当且仅当，即，时，“=”成立，所以三棱锥体积的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关计算，等体积法的运用，属于较难题.
15．ABD
【解析】
【分析】
设是棱锥的高，则是的中心，是中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.
【详解】
如图，是棱锥的高，则是的中心，是中点，
，，故C错D正确；
，，．
，
所以，
设内切球半径为，则，，A正确；
易知外接球球心在高上，球心为，设外接球半径为，
则，解得，B正确；
故选：ABD．
【点睛】
本题考查空间几何体的内切球，外接球问题，三棱锥的体积求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题内切球的半径的求解利用等体积法求解，即：（其中为内切球半径）.
16．ABC
【解析】
【分析】
由正方体的棱长为2，分别求出正方体的外接球，正方体的内切球，与正方体的各棱相切的直径或半径，进一步求解可得：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，可判断A、D选项；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，可判断B选项；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，可判断C选项．
【详解】
若正方体的棱长为2，则：
①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，
即，故A正确，
外接球体积为，故D错误；
②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故，
球的表面积为，故B正确；
③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，
即，球的半径为，故C正确．
故本题选：ABC.
【点睛】
本题考查几何体外接球、内切球问题，由若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，可求出球的半径或直径，属于中等题．
17．ABD
【解析】
【分析】
先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断选项A；当时，的面积最大，此时体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断选项B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断选项C；将以为轴旋转到与共面，得到，则，利用已知条件求解即可判断选项D.
【详解】
在中，，
则圆锥的母线长，半径，
对于选项A：圆锥的侧面积为：，故选项A正确；
对于选项B：当时，的面积最大，
此时，
则三棱锥体积的最大值为：，故选项B正确；
对于选项C：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与不重合，则，
又，可得，
故选项C不正确；
对于选项D：由，
得，又，
则为等边三角形，则，
将以为轴旋转到与共面，得到，
则为等边三角形，，
如图：
则，
因为，
则，
故选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了圆锥的侧面面积以及体积，取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将以为轴旋转到与共面是解决求的最小值的关键.
18．BD
【解析】
【分析】
根据圆锥的性质求解．
【详解】
由题意圆锥体积为，A错；
圆锥母线长为，侧面积为，B正确；
设圆锥内切球半径为，如图是圆锥轴截面，则其内切圆为球的大圆，则，，，C错；
圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，D正确．
故选：BD．
【点睛】
思路点睛：圆柱、圆锥、圆台的计算问题，掌握画出它们的轴截面，在轴截面中有底面圆半径，高，母线，有侧棱与底面所成的角．这个轴截面截它们的内切球得轴截面的内切圆，截外接球得轴截面的外接圆，这样关系一目了然，偏于计算．
19．ABD
【解析】
【分析】
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断A；由台体的体积公式可判断B；由台体的母线与高可判断C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断D.
【详解】
解：由，且，
可得，高，
则圆台轴截面面积为，故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，
所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，
可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，
从点到中点的最短距离为，故D正确.
故选：ABD.
20．BC
【解析】
【分析】
首先画出图形，求出正四面体的外接球半径R与内切球的半径r，然后根据，求出正四面体的棱长，然后对各选项判断即可.
【详解】
依题作出图形，如下：
设正四面体的棱长为a，
则它的外接球与内切球的球心重合，则它的外接球和内切球的球心重合，
作平面BCD，垂足为G，则G为的重心，且，
则正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，
由图可知，，解得，
，
依题可得，即，解得，故C正确；
正四面体的外接球的表面积为，故A错误；
正四面体的内切球的体积为，故B正确；
线段MN的最大值为，故D错误.
故选：BC.
21．
【解析】
【详解】
分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
22．4
【解析】
【分析】
写出侧面积表达式，求出，即可得圆台的母线长．
【详解】
解：，，
．
故答案为：4
23．
【解析】
【详解】
如图：由于是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，．填．
24．6．
【解析】
【分析】
如图，过作于，可证平面，利用体积公式计算即可.
【详解】
如图，过作于，∵长方体底面是正方形，∴中，，，又由，，∴平面，∴．
考点：棱锥体积的计算．
【点睛】
本题考查四棱锥体积的计算，关键是高的计算，需利用线面垂直来求，本题属于基础题.
25．
【解析】
【分析】
可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得，，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.
【详解】
由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，
设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，
则，得，
所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，
所以，即，解得．
所以该正二十面体的外接球表面积为，
而该正二十面体的表面积是，
所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．
故答案为：.
【点睛】
本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.
26．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，求得和的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解；
（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积．
【详解】
（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，
因为过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
可得，，且圆柱母线长，圆锥母线长，
所以圆柱的表面积为：
（2）剩下几何体的体积．
27．S侧=25，S表=25(+1).
【解析】
【分析】
侧面积即为四个边长为5的等边三角形的面积和，表面积是侧面积与底面正方形的面积和.
【详解】
∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
∴ S侧=4S△SAB=4×AB×SE=2×5×=25，S表=S侧+S底=25+25=25(+1).
28．（1）；（2）.
【解析】
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.
【详解】
（1）取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.
【点睛】
本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.
29．，
【解析】
【分析】
根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.
【详解】
如图，，在中，．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
【点睛】
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．
30．（1），大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为；（2）.
【解析】
（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出，根据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；
（2）根据体积公式计算出，即可得出比值.
【详解】
解：（1）球的表面积为，
圆锥的底面积为，解得，
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，
所以小圆锥的高为：，母线长为：；
同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；
又由这两个圆锥的底面半径相同，
∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.
（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，
球的体积为：，
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.
1．（2022·湖南·高一）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
2．（2020·河南·洛阳欧亚国际双语学校高一阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一课时练习）(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
4．（2022·全国·高一）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2019·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（文））已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
6．（2023·湖南·永州市第一中学高一期中）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津经济技术开发区第一中学高一期中）若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北·衡水市第十四中学高一期末）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·辛集中学高一期中）已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高一课时练习）四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）
A．3B．2C．1D．
11．（2020·山东·烟台二中高一阶段练习）已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是
A．16B．15C．D．
12．（2023·江苏省苏州实验中学高一期中）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河北·深州长江中学高一期中）如图，已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为若截面的面积为则正四棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·安徽安庆·高一期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．（2023·福建省宁化第一中学高一阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（ ）
A．该三棱锥的内切球半径为B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为D．该三棱锥体积为
16．（2023·湖南省邵东市第三中学高一期中）已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是（ ）
A．该正方体外接球的直径为
B．该正方体内切球的表面积为
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D．该正方体外接球的体积为
17．（2023·全国·高一课时练习）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
18．（2023·浙江·高一期中）已知圆锥底面半径为3，高为4，则（ ）
A．圆锥的体积是
B．圆锥的侧面积是
C．圆锥的内切球体积是
D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
19．（2023·广东白云·高一期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
20．（2023·福建宁德·高一期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为
三、填空题
21．（2023·全国·高一课时练习）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
22．（2023·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.
23．（2020·山东·新泰市第一中学高一期中）已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．
24．（2023·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一阶段练习）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为______cm3．
25．（2023·浙江·高一单元测试）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．
四、解答题
26．（2023·湖北·咸丰春晖学校高一阶段练习）如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
27．（2023·全国·高一课时练习）已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积､表面积.
28．（2023·全国·高一课时练习）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
29．（2020·广东·广州市第一一三中学高一期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．
30．（2023·河北·任丘市第一中学高一阶段练习）一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.
（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
2．A
【解析】
【详解】
根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，
∴，
∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，
∴．
考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
3．B
【解析】
【详解】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
4．B
【解析】
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积．
【详解】
由已知得，作下图
，连结，延长至圆上交于H，
过作交于，
则为，所以，为斜边的中点，
所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则
，则，，
则球的半径
球的表面积为
答案选D.
【点睛】
本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等．
6．C
【解析】
【分析】
由题设得到三棱锥，由已知Rt△外接圆圆心在中点上，则其外接圆半径r，三棱锥外接球半径为R，及的关系为，进而求外接球表面积.
【详解】
如下图，若，，有，
∴Rt△外接圆圆心在中点上，设外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，则：.
∴.
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．
【详解】
解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．
所以外接球的表面积为：．
故选：C
【点睛】
本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
8．A
【解析】
【分析】
由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．
【详解】
设圆锥母线为，底面半径为，
则，解得，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，
，，
，，
所以球表面积为．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．
9．C
【解析】
由余弦定理求，再由正弦定理求△的外接圆半径，又面知△的外接圆的圆心与所构成的截面必过三棱锥外接球的球心，即可求出球的半径，根据球的体积公式求体积即可.
【详解】
由，，， 则由余弦定理有：
，即，
∴由正弦定理知△的外接圆半径：，
由题意知：面，又，三棱锥的外接球半径：
，
由球的体积公式，有：，
故选：C
【点睛】
本题考查了求三棱锥外接球的体积，根据三棱锥一条棱与底面垂直，该底面的外接圆的圆心与棱所成截面过球心即可求球体的半径，进而求体积.
10．C
【解析】
【分析】
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.
【详解】
解：
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,
OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，
可得，可得，
解得PA=1,
故选C.
【点睛】
本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.
11．A
【解析】
由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.
【详解】
由题， ，
因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
故三棱柱的高
故体积
故选A
【点睛】
本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.
12．B
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．
【详解】
设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
圆柱的侧面展开图是一个正方形，
，
圆柱的侧面积为，
圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，
圆柱的表面积与侧面积的比为：，
故选：．
13．B
【解析】
【分析】
连接，交于，连接，根据截面的面积为可解得，即可求出体积.
【详解】
解：连接，交于，连接，则底面且是中点，
，，
截面的面积为，
，解得，
正四棱锥的体积为：
.
故选：B．
14．A
【解析】
【分析】
设，，由三棱锥外接球的表面积为，可得出.根据等体积法得，利用基本不等式可求得三棱锥体积的最大值.
【详解】
设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径.又平面，，
所以，所以，所以.
因为平面，，所以，，过D作，垂足为E，则平面，
所以，所以，所以，所以
，当且仅当，即，时，“=”成立，所以三棱锥体积的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关计算，等体积法的运用，属于较难题.
15．ABD
【解析】
【分析】
设是棱锥的高，则是的中心，是中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.
【详解】
如图，是棱锥的高，则是的中心，是中点，
，，故C错D正确；
，，．
，
所以，
设内切球半径为，则，，A正确；
易知外接球球心在高上，球心为，设外接球半径为，
则，解得，B正确；
故选：ABD．
【点睛】
本题考查空间几何体的内切球，外接球问题，三棱锥的体积求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题内切球的半径的求解利用等体积法求解，即：（其中为内切球半径）.
16．ABC
【解析】
【分析】
由正方体的棱长为2，分别求出正方体的外接球，正方体的内切球，与正方体的各棱相切的直径或半径，进一步求解可得：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，可判断A、D选项；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，可判断B选项；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，可判断C选项．
【详解】
若正方体的棱长为2，则：
①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，
即，故A正确，
外接球体积为，故D错误；
②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故，
球的表面积为，故B正确；
③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，
即，球的半径为，故C正确．
故本题选：ABC.
【点睛】
本题考查几何体外接球、内切球问题，由若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，可求出球的半径或直径，属于中等题．
17．ABD
【解析】
【分析】
先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断选项A；当时，的面积最大，此时体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断选项B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断选项C；将以为轴旋转到与共面，得到，则，利用已知条件求解即可判断选项D.
【详解】
在中，，
则圆锥的母线长，半径，
对于选项A：圆锥的侧面积为：，故选项A正确；
对于选项B：当时，的面积最大，
此时，
则三棱锥体积的最大值为：，故选项B正确；
对于选项C：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与不重合，则，
又，可得，
故选项C不正确；
对于选项D：由，
得，又，
则为等边三角形，则，
将以为轴旋转到与共面，得到，
则为等边三角形，，
如图：
则，
因为，
则，
故选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了圆锥的侧面面积以及体积，取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将以为轴旋转到与共面是解决求的最小值的关键.
18．BD
【解析】
【分析】
根据圆锥的性质求解．
【详解】
由题意圆锥体积为，A错；
圆锥母线长为，侧面积为，B正确；
设圆锥内切球半径为，如图是圆锥轴截面，则其内切圆为球的大圆，则，，，C错；
圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，D正确．
故选：BD．
【点睛】
思路点睛：圆柱、圆锥、圆台的计算问题，掌握画出它们的轴截面，在轴截面中有底面圆半径，高，母线，有侧棱与底面所成的角．这个轴截面截它们的内切球得轴截面的内切圆，截外接球得轴截面的外接圆，这样关系一目了然，偏于计算．
19．ABD
【解析】
【分析】
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断A；由台体的体积公式可判断B；由台体的母线与高可判断C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断D.
【详解】
解：由，且，
可得，高，
则圆台轴截面面积为，故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，
所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，
可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，
从点到中点的最短距离为，故D正确.
故选：ABD.
20．BC
【解析】
【分析】
首先画出图形，求出正四面体的外接球半径R与内切球的半径r，然后根据，求出正四面体的棱长，然后对各选项判断即可.
【详解】
依题作出图形，如下：
设正四面体的棱长为a，
则它的外接球与内切球的球心重合，则它的外接球和内切球的球心重合，
作平面BCD，垂足为G，则G为的重心，且，
则正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，
由图可知，，解得，
，
依题可得，即，解得，故C正确；
正四面体的外接球的表面积为，故A错误；
正四面体的内切球的体积为，故B正确；
线段MN的最大值为，故D错误.
故选：BC.
21．
【解析】
【详解】
分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
22．4
【解析】
【分析】
写出侧面积表达式，求出，即可得圆台的母线长．
【详解】
解：，，
．
故答案为：4
23．
【解析】
【详解】
如图：由于是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，．填．
24．6．
【解析】
【分析】
如图，过作于，可证平面，利用体积公式计算即可.
【详解】
如图，过作于，∵长方体底面是正方形，∴中，，，又由，，∴平面，∴．
考点：棱锥体积的计算．
【点睛】
本题考查四棱锥体积的计算，关键是高的计算，需利用线面垂直来求，本题属于基础题.
25．
【解析】
【分析】
可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得，，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.
【详解】
由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，
设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，
则，得，
所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，
所以，即，解得．
所以该正二十面体的外接球表面积为，
而该正二十面体的表面积是，
所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．
故答案为：.
【点睛】
本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.
26．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，求得和的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解；
（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积．
【详解】
（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，
因为过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
可得，，且圆柱母线长，圆锥母线长，
所以圆柱的表面积为：
（2）剩下几何体的体积．
27．S侧=25，S表=25(+1).
【解析】
【分析】
侧面积即为四个边长为5的等边三角形的面积和，表面积是侧面积与底面正方形的面积和.
【详解】
∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
∴ S侧=4S△SAB=4×AB×SE=2×5×=25，S表=S侧+S底=25+25=25(+1).
28．（1）；（2）.
【解析】
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.
【详解】
（1）取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.
【点睛】
本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.
29．，
【解析】
【分析】
根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.
【详解】
如图，，在中，．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
【点睛】
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．
30．（1），大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为；（2）.
【解析】
（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出，根据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；
（2）根据体积公式计算出，即可得出比值.
【详解】
解：（1）球的表面积为，
圆锥的底面积为，解得，
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，
所以小圆锥的高为：，母线长为：；
同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；
又由这两个圆锥的底面半径相同，
∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.
（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，
球的体积为：，
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.
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