全等三角形的七大模型压轴题训练（三）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

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(1)_________°；
(2)如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作，连接和，若，求证：；
(3)如图2，M为射线上一点，N为射线CA上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据和三角形内角和即可求出．
（2）过点C作交的延长线于T，连接，证明，再证明垂直平分线段，即可证明．
（3）过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，首先证明，得出再证明，得出根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）∵，
又∵，
∴
（2）证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，∴
（3）由（1）得
过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图，
∵AQ⊥AM，PC⊥BM，
∴
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∵CM＝AN，
∴
∵
∴

∴
在和中，
∵
∴
∴
∴．
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作辅助线将已知条件联系在一起是解题关键．
2．已知在四边形中，，．
(1)如图1，连接，若，则与有什么位置关系，请说明理由．
(2)如图2，若P，Q两点分别在线段上，且满足，请猜想与是否相等，并说明理由．
(3)如图3，若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，且仍然满足，请写出与的数量关系，并加以说明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)与相等，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）证，得出即可；结合求解即可；
（2）如图2，延长至点K，使，连接，证，再证即可；
（3）如图，3延长至点K，使，连接，证，再证，最后利用周角推导即可．
【详解】（1）与的位置关系为：，
理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）与相等，
理由如下：
延长至点K，使，连接，
如图2所示：
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）与的数量关系为：
，
理由如下：
延长至点K，使，连接，如图3所示：
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线进行推理证明．
3．如图，在和中，，，，的延长线交于点．
(1)求证：．
(2)过点作于点，求证：．
(3)若，，，求的度数．
(4)过点作于点，试写出，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
(4)，理由见解析
【分析】（1）只需要利用证明，即可证明；
（2）利用证明即可证明；
（3）利用三角形内角和定理结合求出，，则，由全等三角形的性质得到，即可利用三角形内角和定理得到，则 ；
（4）如图所示，过点A作于M，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：，理由如下：
如图所示，过点A作于M，连接，
∵，，
∴（全等三角形对应边上的高相等），
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
4．在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
5．已知，．
(1)如图1，当点在同一直线上时，连接，则和的位置关系是__________（填“”或“”）．
(2)把绕点旋转到如图2所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立？写出你的结论，并说明理由．
(3)在图1的基础上，将绕点旋转一定角度到如图3所示的，连接，，过点作于点，交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点，由得，由得，，从而得到；
（2）延长交于，设与交于点，由等量关系可知，从而证明，再根据三角形的内角和为，得出，得出结论仍然成立；
（3）过作于，过作交延长线于点，通过证明，得出，，得出，则，再通过证明，即可得出的值．
【详解】（1）解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图1，延长交于点，交于点，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
即；
（3）解：如图2，过作于，过作交延长线于点，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
同理可证，，
，
在与中，，
，
，．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定以及性质，等腰直角三角形的性质，由三角形内角和等于，得出其中两个角的和为来证明垂直，此整法是比较常用的证垂直的作法，学生应该掌握．
6．在四边形中，对角线平分．
【感知】如图①，当时，利用全等知识求证：．
【探究】如图②，当时，求．
【应用】如图③，当，，，于点，则______．
【答案】【感知】：证明见解析；【探究】：1∶2；【应用】1∶2．
【感知】证明，即可求证；
【探究】过点C作于点E，过点C作垂直延长线于点F，根据三角形中高相等，面积的比即为底的比即可求解；
【应用】过点C作于点F，通过设未知数找到与的长度比，即可求解．
【详解】感知：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
探究：如图②，过点C作于点E，过点C作垂直延长线于点F．
∵平分，，，
∴，
∵，，且，
∴=1∶2．
应用：如图③，过点C作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
设，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，解得：，
即：，∴，．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积比，解题的关键是牢记相关概念并正确作出辅助线．
7．在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由；
(2)在（1）的条件下，当时，那么___________度；
(3)设，．
①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)90
(3)①，理由见解析；②图见解析，
【分析】（1）由题意易证，即可利用“”证明，即得出；
（2）由全等三角形的性质得出．再根据，即得出，即；
（3）①根据（1）同理可证，即得出．再根据，即得出，即；②根据题意补全图形，再同理可证，即得出．最后结合三角形外角的性质，即可求证出，即．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，即．
在和中，，
，
；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：90；
（3）①，理由如下：
由（1）同理可证，
．
，
，
；
②补全图形，如图所示，
同理可证，
．
∵，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
8．问题提出
（1）如图①，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图①中与全等的是___________；

问题探究
（2）如图②，在中，平分，过点D作于点M，连接，，若，求证：；
问题解决
（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板，，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形．请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）裁得的四边形符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用证明即可求解；
（2）过点D作交的延长线于点N，证明，推出，结合已知推出，再证明，据此即可求解；
（3）作出如图的辅助线，利用角平分线的定义结合四边形的内角和定理推出，证明，据此即可证明结论．
【详解】解：（1），理由如下：
由作法知，，，又，
∴，
故图①中与全等的是，
故答案为：；
（2）如图，过点D作交的延长线于点N，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）符合要求，
证明：如图，过点F分别作于点G，作于点H，作于点K，

∵分别是的平分线，
∴，
∵，
∴在四边形中，
∵，，
在中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴裁得的四边形符合要求．
【点睛】本题考查了角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形的解题的关键．
9．（1）方法感悟：
如图①，在正方形中，点E、F分别为边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转90°得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为1，则的周长为______
（2）方法迁移：
如图②，若在四边形中，，，E、F分别是 上的点，且，试猜想之间有何数量关系，证明你的结论
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，B、F分别是边延长线上的点，且，试探究线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）
【答案】（1）2，（2），证明见解析，（3）
【分析】（1）根据题意得，然后根据三角形周长公式即可进行解答；
（2）延长到G，使，连接，通过证明，得出对应边相等，转化得出答案即可；
（3）在上截取，使，连接．用和（1）相同的证法，可得，则．
【详解】解：（1） ∵，
∴，
∴的周长．
（2） 证明如下：
如图，延长到G，使，连接，

，
在和中，
∵
，
在和中，
，
，
（3）结论：，
证明：如图所示，在上截取，使，连接．


∵在和中，
，
．
，
，

，，
，．
【点睛】本题考查的是三角形的几何综合题，解题关键在于去根据题意画出辅助线构造全等三角形，根据全等三角形对应边相等对应角相等的性质进行证明．
10．如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°
(1)若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数
(2)当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想．
(3)如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积．
【答案】(1)46°
(2)AB=2AD
(3)
【分析】（1）由题意可得，则有，求出，再求解即可；
（2）再AB上截取，连接ME，先证明，再证明，可得，则有；
（3）连接GE，可得到是等腰三角形，AE是GD的垂直平分线，过点C作交于点N，能够分别得到F是EN的中点，N是AE的中点，再由中线与三角形的面积关系求即可．
【详解】（1）（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）（2），理由如下：
在AB上截取，连接ME，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）（3）连接GE，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵AE是GD的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形中线与三角形的关系是解题的关键．
11．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，是中的遥望角．
①直接写出与的数量关系___________；
②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，即、可得出；②过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，运用角平分线的性质及判定定理可证，由，可得；
（2）过作交于点，过作交延长线于点，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可．
【详解】（1）解：①∵平分，即，
∴．
∵平分，即，
∴．
又∵，
∴．
②猜想：，理由如下：
如图2，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，
∵平分，，，
∴，
同理，，
∴，
∵，，
∴平分，即，
∵，
∴．
（2）证明：如图3，过作交于点，过作交延长线于点，
∵，，，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，即平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵平分，
∴是中的遥望角．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关性质是解题的关键．
12．（1）尺规作图：如图，已知，作的平分线，并在上任取一点，分别在、上各取一点，作和，使得 ．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（i）如图，在中，是直角，，、分别是、的平分线，和相交于点．请你判断并写出与之间的数量关系；
（ii）如图，在中，如果不是直角，而（i）中的其它条件不变，请问，你在（i）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）（i），（ii）成立，见解析
【分析】（1）首先作的平分线，再以为圆心，任意长为半径画弧，交、与、，利用三角形全等的判定定理可判定
（2）（i）过点作于，作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据四边形的内角和定理求出，再根据三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等求出，然后求出，然后证明得和全等，根据全等三角形对应边相等可得
（ii）过点分别作与点，于点，首先证明，再证明可得
【详解】（1）根据尺规作图的作图规则正确作出角平分线，正确作出和．
作图如下：
（2）（i）过点作于，作于，作于，
、分别是、的平分线，
，
在四边形中，，
、分别是、的平分线，且，
，
在中，，
，
，
在和中， ，，
，
（ii）存在，理由如下：如图c，
过点分别作与点，于点，
，且、分别是、的平分线，
，且是的内心，
，
是的内心，即在的角平分线上，
，
在与中，，，，
【点睛】此题考查全等三角形的判定方法和性质定理，以及复杂作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，掌握全等三角形的判定
13．已知是四边形内一点，且，，是的中点.
(1)如图，连接，，若，求证：；
(2)如图，连接，若，求证：；
(3)如图，若，，垂足为，求证：点，，在同一条直线上.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
延长到点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，并能得出：，则可得出结论；
连接，并延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论.
【详解】（1）证明：在和中，
，
（SSS），
，
，
；
（2）证明：延长到点，使，连接，

是的中点，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（SSS），
，
，
，
；
（3）证明：连接，并延长到，使，连接，

由得，
，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
点在同一条直线上．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三角形全等的判定与性质．
14．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证．
(1)独立思考：请解答王老师提出的问题．
(2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
(3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答．
“如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．”
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）过E作交延长线于M．通过证明和，即可求证；
（3）过G作交延长线于点N，通过证明和，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，∵，
∴．即．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
证明：如图，过E作交延长线于M．
∵．
∴．
∵．
∴，
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：如下图，过G作交延长线于点N．
∵，
∴，
∴，
又∵．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形．
15．已知在四边形中，，．
(1)如图1．连接，若线段平分，求的度数；
(2)如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：；
(3)如图3，若将P、Q改在、的延长线上，且仍然满足，其余条件不变，请你直接写出、、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)；理由见解析
【分析】（1）证明，得出，根据，求出即可；
（2）延长，在的延长线上截取，连接，证明，得出，，求出，证明，得出，根据，即可证明结论；
（3）在上截取，连接，证明，得出，，求出，证明，得出，即可证明．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：延长，在的延长线上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：；理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．