全等三角形的七大模型压轴题训练（五）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

这是一份全等三角形的七大模型压轴题训练（五）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用），文件包含全等三角形的七大模型压轴题训练五原卷版docx、全等三角形的七大模型压轴题训练五解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由．
(3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长至点，使，易得为等边三角形，证明，得到，利用求出的长即可．
（2）延长至点，使，易得为等边三角形，证明，得到，根据，即可得到；
（3）在上截取，易得为等边三角形，证明，得到，设，求出，即可得解．
【详解】（1）解：延长至点，使，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：；理由如下：
延长至点，使，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在上截取，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
2．已知D是等边三角形中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接并延长交直线于点F．
(1)如图1，若，直接写出∠CFE的度数；
(2)如图1，若，求AE的长；
(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)2
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可；
（2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可；
（3）由（2）可得，证明过程同（2）．
【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的度数为．
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴，
∴，
如图1，在上截取，使，连接，
由题意知，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2．
（3）解：；
证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值，
如图2，在上截取，使，连接，
∴同理（2）可知是等边三角形，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键．
3．如图，在等边中，点D是边上一定点，点E是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(2)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(3)如图2，若点E在射线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】(1)先计算，得到．
(2)根据，利用三线合一，证明直线是线段的垂直平分线即可．
(3)分点E在上和的延长线上 ，两种情况证明．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴°，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
（3）当点E在线段上，结论：．
理由如下：过点D作，交于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点E在线段的延长线上，结论：．
理由如下：过点D作，交于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
4．在等腰三角形中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接．
(1)如图1，若，求和的度数．
(2)如图2中，的平分线交于点M，交于点N，连接．
①补全图2；
②若，求证：．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据等边角对等角求出，根据等边三角形的性质，得到，利用三线合一，求出，，利用互余关系求出度数，根据等边对等角求出，利用求出的度数；
（2）①根据要求画出图形即可；②设，由，推出，可得，，由，推出， ， ，在中，根据，构建方程求出，再证明即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
在等边三角形中，
，．
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①补全图形，如图所示．
②证明：连接．
∵平分，
∴设，
∵，
∴．
在等边三角形中，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质．本题的综合性较强，能够灵活运用相关知识点，是解题的关键．
5．我们定义：如图1，在中，把AB绕点A按顺时针方向旋转得到，把绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线AF叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
(1)在图2、图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当是等边三角形时，与的数量关系为： ______；
②如图3，当，时，则长为______．
(2)如图4，已知在四边形内部存在点P，使得是的“旋补三角形”，且点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．请用直尺和圆规作出点P；（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
(3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)①2；②3
(2)见详解
(3)，证明见详解
【分析】（1）①根据是等边三角形，得到，，根据“旋补三角形”的定义得到，，，进而得到，，，从而得到，即可得到；
②根据“旋补三角形”得到，，，进而得到，,，从而得到，根据直角三角形的性质即可得到；
（2）作线段、的垂直平分线，交点即为点，点即为所求作的点；
（3）延长到，使得，连接、，先证明四边形是平行四边形，得到，，进而证明，，从而得到，即可得到，．
【详解】（1）解：①∵是等边三角形，
，，
是的“旋补三角形”，
，，，
，
∵是的中线，
，，
，
，
∴；
故答案为：2；
②是的“旋补三角形”，
，，，
∴，
∵，
∴,
，
，
，是的中线，
；
故答案为：3
（2）解：如图4，作线段、的垂直平分线，交点即为点，点即为所作；
证明：由作图得在四边形内部存在点P，使得是的“旋补三角形”，且点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
∴,
∴点P分别在线段的垂直平分线上，
由作图得点P即为所求作的点；
；
（3）解： ，
证明：如图1，延长到，使得，连接、，
∵是的中线，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，，
∵是的“旋补三角形”，
∴，
∴，
∴，
，
，
．
.
【点睛】本题为新定义问题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质与判定等知识，综合性较强，熟知相关定理，理解“旋补三角形”的定义并灵活应用是解题关键．
6．已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图1，当点E在正方形内部时，
①依题意补全图1；
②求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)；理由见解析
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②证明，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；
（2）连接、，延长，使，连接，延长交于点G，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：①依题意补全图1，如图所示：
②∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；理由如下：
连接、，延长，使，连接，延长交于点G，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
7．动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”．
(1)如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“