专题04 一线三等角模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

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例题精讲
例1．（直角K字型）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
例2．（非直角K字型）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【变式训练1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【变式训练2】（1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．
【变式训练3】已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
【变式训练4】【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：；
【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求；
【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值．
课后训练
1．如图，为等边三角形，是边上一点，在上取一点，使，在边上取一点，使，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，，则BE_________CF．
②如图2，若0°