内蒙古赤峰市红山区联考2024届高三上学期12月考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份内蒙古赤峰市红山区联考2024届高三上学期12月考试数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则( )
A.B.iC.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．执行下面程序框图输出的( )
A.21B.34C.55D.89
4．如图所示,网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的体积为( )
A.10B.20C.30D.40
5．在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是( )
A.B.C.D.
7．五一小长假期间,旅游公司决定从6辆旅游大巴A,B,C,D,E,F中选出4辆分别开往紫蒙湖,美林谷,黄岗梁,乌兰布统四个景区承担载客任务,要求每个景区都要有一辆大巴前往,每辆大巴只开往一个景区,且这6辆大巴中A,B不去乌兰布统,则不同的选择方案共有( )
A.360B.240C.216D.168
8．若,则( )
A.B.B.D.
9．设F为抛物线的焦点,点A在C上,点,若,则( )
A.B.C.D.
10．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
11．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系,为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行,点是平衡点,位于地月连线的延长线上,设地球质量为,月球质量为,地月距离为R,点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:.设,由于的值很小,因此在近似计算中.则r的近似值为( )
A.B.C.D.
12．在三棱锥中,是等边三角形,,,且,点E是棱AB的中点,则平面PEC截三棱锥外接球所得截面的面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若双曲线的离心率为3,则此双曲线的渐近线方程__________.
14．已知向量,,若,则__________.
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则__________.
16．已知过点与曲线相切的直线有且仅有两条,则实数a的取值范围是__________.
三、解答题
17．在等差数列中,为其前n项和,且,.
（1）求数列的通过项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;
（2）测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:
17.3,18.4,20.1,20.4,21.5,23.2,24.6,24.8,25.0,25.4,
26.1,26.3,26.4,26.5,26.8,27.0,27.4,27.5,27.6,28.3
实验组:
5.4,6.6,6.8,6.9,7.8,8.2,9.4,10.0,10.4,11.2,
26.0,25.2,14.4,17.3,19.2,20.2,23.6,23.8,24.5,25.1,
(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:
(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据:
19．如图所示,在三棱锥中,平面ABC,,,
（1）求证:平面PAB;
（2）求二面角的余弦值.
20．已知椭圆的一个顶点为,焦距为.
（1）求椭圆E的方程;
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆区交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当时,求k的值.
21．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）设,讨论函数在上的单调性.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程,曲线的直角坐标方程;
（2）设,曲线,的交点为A,B,求的值.
23．已知函数.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：C
解析：由集合,,
根据集合交集的运算,可得,
故选:C.
3．答案：B
解析：执行框图程序,,,,,
判断成立,,,,
判断成立,,,,
判断成立,,,,
判断不成立,输出B的值34.
4．答案：A
解析：根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体.如图所示:
故该几何体的体积为:,
故选:A.
5．答案：C
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：B
解析：这6辆旅游大巴,A,B不去乌兰布统,则不同的选择方案共有种.
故选:B.
8．答案：A
解析：
9．答案：A
解析：
10．答案：C
解析：函数的定义域为R,,
可得为奇函数,其图象关于原点对称,可排除选项A,B;
由,可排除选项D,故选:C.
11．答案：B
解析：由,得
因为,
所以,
即,
解得,
所以.
12．答案：C
解析：在三棱锥中,是等边三角形,,,
,
则,,则有,
取PB中点O,连接CO,AO,有,
因此点O是三棱锥外接球球心,球半径,如图,
因为点E是棱AB的中点,则,
等腰底边PC上的高,
的面积,取AC中点F,连接BF,PF,
则,,而,PF,平面PBF,于是平面PBF,
在中,,,
由余弦定理得,
有,的面积,
,
显然,
令点O到平面PEC的距离为d,
因此,即,解得,
令平面PEC截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r,
则有,
所以平面PEC截三棱锥外接球所得截面面积.
13．答案：
解析：由题意知,即,在双曲线中,联立消去c得到,
所以双曲线的渐近线方程为,
故答案为:.
14．答案：
解析：向量,,
则,
又,,
解得.
15．答案：
解析：由题意,,
所以,,
所以,解得(负值舍去).
故答案为:.
16．答案：
解析：,
.
设切点为,则有,
所以过点P的切线方程为,
又点在切线上,
所以,
整理得,
由题意得方程有两个不等的正实数根.
设,则,
要使的图象与t轴的正半轴有两个不同的交点,则需.
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,解得.
即实数a的取值范围是.
故答案为:
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设等差数列的公差是,
由已知条件得,
解得,
（2）由（1）得,
18．答案：（1）1
（2）见解析
解析：（1）依题意,X的可能取值为0,1,2,
则,,,
所以X的分布列为:
故.
（2）(i)依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数,
由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可,
可得第11位数据为14.4,
后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,
故第20位为23.2,第21位数据为23.6,
所以,
故列联表为:
(ii)由(i)可得,,
所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）平面ABC,平面ABC
同理
为直角三角形
又,
为直角三角形,即
又,
平面PAB.
（2）由（1）知平面PAB
又平面PAB
以A为原点,AB为x轴,过A作与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,
,,,
设平面PAC的法向量为,
则,即
令,则,,
设平面PBC的法向量为,
则,即
令则,
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得,,又,
所以,所以椭圆方程为;
（2）依题意过点的直线为,设､,不妨令,
由,消去y整理得,
所以,解得,
所以,,
直线AB的方程为,令,解得,
直线AC的方程为,令,解得,
所以
,
所以,
即
即
即整理得,解得.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）
,即切点坐标为
又
切线斜率
切线方程为:
（2）
令
则
在上单调递增
在上恒成立
在上的单调递增
22．答案：（1）
（2）6
解析：（1）因为曲线的参数方程为(t为参数),
则①②,得,
所以曲线的普通方程为.
由,得,两边同时平方,得,
将,代入上式,
得,化简得,
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将曲线的参数方程化为(为参数),代入得,设两点对应的参数分别为,,则.
所以.
23．答案：（1）
（2）或
解析：（1）当时,.
当时,,解得:;
当时,,无解;
当时,,解得:;
综上所述:的解集为.
（2）(当且仅当时取等号),
,解得:或,
对照组
实验组
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
P
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40