福建省泉州市惠安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份福建省泉州市惠安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．化简的结果正确的是（ ）
A．3B．C．4D．
2．关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．为任意实数
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起B．从地面向上抛的硬币会落下
C．射击运动员射击一次，命中环D．小明跑步速度是米秒
5．中，，，已知与相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（ ）
A．8B．10C．D．12
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．B．1C．D．2
7．某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（ ）人．
A．5B．6C．7D．8
8．如图，在中，，于D，若，则的值是（ ）
A．2B．C．D．
9．若m，n为方程的两根，则的值为（ ）
A．0B．1C．10D．15
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算：（ +1）（﹣1）= ．
12．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率是 ．
14．如图，，分别是的中点，连结交于点O，的长为 ．

15．对于任意实数，求点所在直线的解析式为 ．
16．如图，在，过点D作，交的延长线于点H．则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：．
19．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．
20．为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”．
(1)小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是 ．
(2)小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
21．“为了安全，请勿超速”．如图，在某直线路段限速60千米/小时，一条公路建成通车，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知，米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
22．如图，在中，，，，将沿方移a个单位得到．
(1)求点C到的距离；
(2)连接，当时，求a的值
23．如图，在中，．
(1)延长至点N，使得；过点N作，与的延长线交于点D（要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长至点M，使得，求证三点共线．
24．（1）如图1，是的中线，点E是边上一点，交于F，交于G．证明：平分．
（2）如图2，是的中线，点M是的中点，求的值．
（3）如图3，若，，求的值．
25．如图，，已知直线上的两点于点B
(1)如图1，若，过点C作，与直线交于点E
①判断线段满足的数量关系，并说明理由；
②若，求的长．
(2)如图2，若，试探究线段之间的数量关系．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【详解】解：A．不是同类项，不能合并，原运算错误；
B．，原运算错误；
C． ，原运算错误；
D． ，运算正确．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，根据随机事件的定义判断即可，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
【详解】解：、太阳从东边升起，是必然事件，故不符合题意；
、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，故不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，故符合题意；
、小明跑步速度是米/秒，是不可能事件，故不符合题意；
故选：．
5．A
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边成比例是解题关键．
直接利用相似三角形的性质对应边成比例，进而得出答案．
【详解】解：∵中，，
∴设其最短边是x，则，
解得：．
故选：A．
6．C
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该小组共有人，则每人需写份祝福语，根据“结果一共写了56份”，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：设该小组共有人，则每人需写份祝福语，
根据题意得，
（不符合题意），．
答：该小组共有8人．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角的正切定义．由余角的性质推出，得到，因此，由，求出，于是得到．
【详解】解：∵，于D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．A
【分析】由方程的解得定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后对变形即可解答．本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据题意得到和是解答本题的关键．
【详解】解：∵m，n为方程的两根，
∴，即；，
∴，
．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标为根据等角的余角相等，可得，依据点坐标，可得，再利用平移性质，可得点坐标，点、同在反比例函数图象上，建立关于的方程，联立方程组得、值，值即可算出．正确表示点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
设点，
，
，
四边形是矩形，
点可看作是由点平移得到的，
点可看作是点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，
，
点、都在反比例函数图象上，
，即，
，
，
，，
．
故选：．
11．1
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（ +1）（﹣1）
=（）2﹣12
=2﹣1
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式，熟记平方差公式是解答的关键．
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
13．
【分析】本题主要考查几何概率，该顾客获奖的概率等于阴影部分面积与圆面积的比．先求出在整个转盘中所占面积的比值，此比值即为获奖的概率．
【详解】解：∵阴影部分占，
∴其占整个圆面积的，
即该顾客获奖的概率为．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了三角形的重心、勾股定理逆定理、直角三角形的性质等，根据边长之间的关系以及勾股定理的逆定理可得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可以得到，再根据重心的概念可得到结果，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意，∵，
∴，
∴，
又D是的中点，
∴，
∵分别是的中点，
∴O是的重心，
∴，
故答案为：．
15．/
【分析】此题主要考查了一次函数的知识，解题的关键是理解并掌握一次函数图像上点的坐标特征．由点的坐标得出，，由此消去可得一次函数的解析式．
【详解】解：∵点，
∴，，
由，可得，
将代入，得，
整理得，
∴对于任意实数，点所在直线的解析式为．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定与性质．先根据平行线分线段成比例定理求出的长度，即可得出的长，再根据两角分别相等的两个三角形相似证得，再根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：∵，
，
，即，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
又为公共角，
，
，
即，
．
故答案为：．
17．
【分析】先利用完全平方公式、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
18．，
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
19．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，那么长方体纸盒的底面长为，宽为，根据底面积是列出方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为，
依题意得，
解得：．
当时，，不合题意，舍去，
∴．
答：减去的正方形的边长为．
20．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】（1）由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种，
∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为．
21．没有超速，理由见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键．根据题意结合锐角三角函数关系得出，，再根据等腰三角形的性质求出，得出的长，求出汽车的速度，进而得出答案．
【详解】解：此车没有超速．
理由：过C作于点H，如图所示：
∵，米，
∴（米），
（米），
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∴（米），
∵60千米/小时米/秒，
∴，
∴此车没有超速．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，平移规律：
（1）先设点C到的距离为h，利用勾股定理求出，再根据的面积，求出h即可；
（2）先根据平移规律求出，从而求出，再利用已知条件和勾股定理，列出关于a的方程，解方程即可；
解题关键是熟练应用勾股定理和平移规律．
【详解】（1）解：设点C到的距离为h，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
则，
∴点C到的距离为；
（2）解：将沿方移a个单位得到，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
化简得：，
移项得：，
解得：．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据要求画出图形；
（2）假设的延长线交的延长线于点，利用同一法证明．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）假设的延长线交的延长线于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴M，重合，
∴M，D，N共线．
24．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由是的中线，得，由证明，，得，则，从而得到，即可求证；
（2）作交于点G，由是的中线，点M是的中点，得，从而得到，则，即可求解；
（3）作交于点H，则，可得，由，可得， ，可求得，即可求得．
【详解】（1）证明：如图1，∵是的中线，
∴，
∵交AC于F，交于G，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图，作交于点G，
∵是的中线，点M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 如图，作交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查三角形的中线的定义、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．(1)①，理由见解析；②
(2)
【分析】（1）①证明得出，，结合，得出是等腰直角三角形，即可得出；
②过点A作，由①可得，，则，，设，则，根据即可求出x，进而求出；
（2）过点C作，先证明，根据相似比即可得到，，即可得出．
【详解】（1）①，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②过点A作，
由①可得，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
解得：
∴；
（2）．
过点C作，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．