2023-2024学年北京市顺义区第一学期初二数学期末试题及答案

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1. 16的平方根是（ ）
A 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方根的定义化简即可得到结果．
【详解】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根为±4．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
3. 下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式．
【详解】解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意，
故选：C．
4. 不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 摸到红球、绿球的可能性大小一样B. 这个球可能是绿球
C. 摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性D. 这个球一定是红球
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的可能性，简单的概率计算，先计算出摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为，则摸到绿球的可能性小于摸到红球的可能性，摸出的球可能是红球也有可能是蓝球，据此可得答案．
【详解】解：A、摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为，则摸到红球、绿球的可能性大小不一样，原说法错误，不符合题意；
B、随机从袋子中摸出一个球，这个球可能是绿球，原说法正确，符合题意；
C、摸到绿球的可能性小于摸到红球的可能性，原说法错误，不符合题意；
D、随机从袋子中摸出一个球，这个球不一定是红球，原说法错误，不符合题意；
故选B．
5. 若，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
6. 如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A. 不变B. 缩小到原来的
C. 缩小到原来的D. 扩大到原来的3倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得，
∴新分式缩小到原来的，
故选C．
7. 如图,数轴上的A、B、C、D四点中,与表示数的点最接近的是( )
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出≈2.236，所以-≈-2.236，根据点A、B、C、D表示的数分别为-3、-2、-1、2，即可解答．
【详解】∵≈2.236，
∴-≈-2.236，
∵点A、B、C、D表示的数分别为-3、-2、-1、2，
∴与数-表示的点最接近的是点B．
故选B．
【点睛】考查的是无理数的估算，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（ ）
A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论．
【详解】解：如下图，
分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个，
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式的值为零，则x的值为_____________．
【答案】3
【解析】
【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0且x+2≠0，
由x-3=0，解得x=3
故答案为3
10. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，
可简说成“内错角相等，两直线平行”．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
11. 若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为________（写出一个即可）．
【答案】6（只要满足大于2小于10均可）
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出第三边的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为4和6，
∴第三边长，
∴第三边长，
∴第三边的长度可以为6，
故答案为：6（只要满足大于2小于10均可）．
12. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：1．
13. 与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相等得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 学校举行“爱我中华"知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当________时，小云参加这次竞赛是必然事件．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，根据必然事件的定义，可知若女生都参加比赛时，女生小云参加比赛是必然事件，可知男生有几名．熟知必然事件的定义是关键．
【详解】解：女生小云参加这次竞赛是必然事件，
名女生都被抽取，
抽调6名学生参加比赛，
男生有2名．
故答案为：2．
15. 对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算、分式方程，解题的关键是根据新运算得出算式，再解分式方程．
【详解】解：，
，
，
解这个方程得：，
经检验是原分式方程的解，
故答案为：6．
16. 已知：如图，是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），是的外角的平分线，以点A为顶点，为一边，作，交射线于点F，连接．下列结论一定成立的是________（只填序号）．

点D在线段上 点D在线段的延长线上
①； ②是等边三角形；
③； ④的周长的最小值为．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，当点D在线段上 时，利用证明，得到， 即可证明是等边三角形，则，进而可证明，得到，如图所示，过点A作于H，则，利用勾股定理求出，由于的周长，则当点D与点H重合时，的周长最小，最小值为；当点D在线段的延长线上，同理可得，，证明，得到，，则是等边三角形，得到，进而推出，由的周长，推出的周长，据此可得答案．
【详解】解：当点D在线段上 时，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角的平分线，
∴，
∴，
∴，故①成立；
∴，
∴是等边三角形，故②成立；
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点A作于H，则，
∴，
∵的周长，
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，
∴当点D与点H重合时，的周长最小，最小值为，故④成立；
当点D在线段的延长线上，
同理可得，，
∴
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故③不一定成立；
∵的周长，
∴的周长，
∵，
∴的周长；
综上所述，，是等边三角形，的周长的最小值为，
∴一定成立的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂分别化简，进而得出答案．
【详解】原式
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据平方差公式以及立方根、平方根的性质化简即可求解．
【详解】解：
．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把原式变形，再利用平方差公式把分子分解因式，再分子与分母约分即可得到答案，
【详解】解；
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把计算括号内的分式加法，再把被除数分子，除数分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
22. 已知：如图，是上的两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据，可得，结合，根据边角边即可证明三角形全等
【详解】证明：，
即
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
（1）“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
（2）比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
【答案】（1）相等；理由见解析
（2）朝上的点数不小于3发生的可能性大
【解析】
【分析】此题考查可能性大小的比较；
（1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可．
熟练掌握概率公式的计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：相等；
因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，
所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是；
故这两个事件发生的可能性大小相等；
【小问2详解】
因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是，
朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是，
所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小于3发生的可能性大．
24. 列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个．
25. 已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：．
下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等等：
方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论；
方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论．
【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵点D是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵点D是中点，
∴；
方法二：如图，延长至点E，使得，连接，
∵点D是中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点D是中点，
∴．
26. 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
（1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：．
（2）补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）
∵直线是线段的垂直平分线，
∴．（________________________________）（填推理依据）．
∴．（________________________________）（填推理依据）．
∵，
∴．
∵中，，，
∴．（________________________________）（填推理依据）．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴（________________________________）（填推理依据）．
∴，
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴________．
∴．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可；
（2）先作出线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明．
【小问1详解】
解：已知：在中，，
求证：．
【小问2详解】
证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．
∵直线是线段的垂直平分线，
∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴．（等边对等角）
∵，
∴．
∵中，，，
∴．（直角三角形两锐角互余）
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了写出命题的已知，求证，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，直角三角形两锐角互余等等，正确根据题意作出辅助线是解题的关键．
27. 下表是a与的几组对应值：
（1）表格中________，________；
（2）借助表格解决下列问题：
①若，则________；
②若，，则________（用含有b的代数式表示c）；
③当时，直接写出与a的大小关系．
【答案】（1）；
（2）①；②；③当，；当时，；当，
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义；
（1）根据立方根定义直接计算即可；
（2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可．
由定义推导并找到规律是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，；
【小问2详解】
①与比较，被开方数扩大到1000倍，
立方根扩大到10倍
故答案为： ；
②立方根从边长，扩大到10倍，
被开方数扩大到倍
故答案为：；
③由题意得：
当，
当时，
当，
28. 已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F．
（1）若，求证：；
（2）在（1）条件下，取线段中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）证明得到，即可证明；
（2）如图所示，连接，设交于G，先由等腰直角三角形性质得到，证明，得到，可推出，由勾股定理得到，再由，可得．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图所示，连接，设交于G，
∵，，点H为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
考
生
须
知
1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡交回．
方法一
证明：如图，过点D作于点E，于点F．
方法二
证明：如图，延长至点E，使得，连接．
a
…
1
1000
1000000
…
…
x
1
y
100
…