重庆市第七中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

这是一份重庆市第七中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题，共6页。试卷主要包含了已知数列的前项和为，，，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是
A．4B．12C．4或12D．不确定
2．已知，，，，4，，，5，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为
A．B．9C．D．0
3．已知数列为等差数列，为等比数列的前项和，且，，，，则
A．B．C．D．
4．数学家欧拉在（三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为
A．B．C．D．
5．已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为
A．3B．C．D．2
6．已知数列的前项和为，，，且，则
A．B．C．4039D．4040
7．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为
A．B．C．D．
8．已知等差数列满足，，数列满足，记的前项和为，若对于任意的，，，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．，
二．多选题（共4小题）
9．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于、两点，则面积的最大值为
10．已知数列的前项和是，则下列结论正确的是
A．若数列为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，则数列为等差数列
C．若数列和均为等差数列，则
D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列
11．如图，已知在长方体中，，，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于，则下列说法正确的是
A．三棱锥的体积为20
B．直线与平面所成角正弦值的最大值为
C．存在唯一的点，使得平面，且
D．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
12．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，下列结论正确的是
A．在抛物线的准线上B．
C．D．面积的最小值为4
三．填空题（共4小题）
13．已知向量，2，，则向量的单位向量 ．
14．圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 ．
15．若等比数列的各项均为正数，且，则 ．
16．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“双球” ；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为3和1，球心距离，截面分别与球，球切于点，，，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
18．已知数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．如图，在平面四边形中，，，且，以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，不重合）．
（1）求证：；
（2）若平面平面，点为的重心，平面，且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
20．已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求；
（3）记，若数列中求去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．
21．如图1，在边长为2的菱形中，，点，分别是边，上的点，且，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面？证明你的结论；
（2）若平面平面，记，，试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的余弦值．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点．
（1）当垂直于轴时，求直线的方程；
（2）记△与△的面积分别为、，求的最大值．