宁夏石嘴山市第三中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

这是一份宁夏石嘴山市第三中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题，共2页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题； 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设Sn是等差数列{an}的前n项和, 已知a2=3, a6=11,则S7等于( ).
A. 13 B. 35 C. 49 D. 63
2. 双曲线 x24−y22=1的焦点到渐近线的距离为 ( )
A. 2 B. 2 C. 6 D.63
3.已知椭圆E x2a2+y2b2=1ab>0)的中心是坐标原点O，F是椭圆E的焦点.若椭圆E上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆E的离心率为( )
A.3−1 B.4−23 C. 12 D. 2
若抛物线 y²=2px(p＞0)的焦点与椭圆 x29+y25=1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ( )
A. x=-1 B. x=-2 C. x=2 D. x=1
5. 若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增, 则实数k的取值范围是 ( )
A. (-∞,-2] B. (-∞,-1] C. [2,+∞) D. [1,+∞)
6. 若函数 fx=xx−c²在x=2处有极大值，则常数c的值为( )
A. 2或6 B. 2 C. 6 D. 4
7.已知数列{an}满足 a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=nn∈N∗,若 bₙ=aₙ⋅aₙ₊₁,则{bₙ}的前 2022项和为( )
A.20214043 B.20224045 C.40424043 D.40444045
8. 设函数f(x)的定义域为R, 其导函数为f'(x), 且满足.f(x)>f'(x)+1, f(0)=2023,则不等式 e⁻ˣ fx>e⁻ˣ+2022 (其中e为自然对数的底数) 的解集是 ( ).
A. (2022,+∞) B. (-∞,2023) C. (0,+∞) D. (-∞,0)
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列{an}的前n项和 Sₙ=kn²+16n+k+1, 则下列选项正确的是( )
A. k=-1 B.aₙ=17−2n.
C. 当S,取得最大值时n=8 D. 当Sn取得最大值时n=9
10. 已知函数 fx=x3+12x2−4x, 则( )
A. x=1是f(x)的极小值点 B. f(x)有两个极值点
C. f(x)的极小值为1 D. f(x)在[0,2]上的最大值为2
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且 Sn=fx=−n+32,n为任意奇数n2,n为任意偶数, 则下列判断正确的是
( )
A.a₁₂=13 B. 当n为奇数时, aₙ=−n−1
C. 当n为偶数时, aₙ=n+1 D. 数列 1anan+1的前n项和等于 −3n2n+2
12. 已知函数 fx=x2ex, 下列关于f(x)的四个命题，其中真命题有( )
A. 函数f(x)在[0,1]上是增函数
B. 函数f(x)的最小值为0
C. 如果x∈[0,t]时, fxmax=4e2,则t的最小值为2
D. 函数f(x)有2个零点第 1页 共 2页
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.
13 已知等比数列{an}的公比不为1, a1=1,且a2,a4,a3成等差数列,则a3=
14. 若直线3x-4y+5=0与圆. x²+y²=r²（ r＞0)相交于A, B两点, 且∠AOB=120°(O为坐标原点), 则r= .
15. 写出曲线:y=(2x+1)eˣ过坐标原点的一条切线方程 .
16. 对于三次函数. fx=ax³+bx²+cx+da≠0,给出定义: 设f'(x)是函数y=f(x)的导数, f(x)是f'(x)的导数, 若方程. fⁿx=0有实数解x₀, 则称点(x₀,f(x₀))为函数y=f(x)的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”； 任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若 fx=13x3−12x2+3x+512, 请你根据这一发现，求：
(1) 函数f(x)的对称中心为 ;
(2) 计算 f12022+f22022+f32022+⋯+f20212022=¯.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. (10分)
已知函数 fx=x³+ax²+ba b∈R的图象过点(-1,0), 且f'(1)=-1.
(1) 求a, b的值;
(2)求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
18. (12分)
已知在各项均为正数的等差数列{an}中， a₂+a₃+a₄=21, 且(à₂-1, a₃+1, a₄+a₃构成等比数列{bₙ}的前三项.
(1) 求数列{an}, {bₙ}的通项公式;
(2) 设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.
19.(12分)
如图, 四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 1的正方形, PA上底面 ABCD, E、 F分别为AB、PC的中点.
(1) 求证: EF∥平面 PAD;
(2) 若 PA=2, 试问在线段 EF 上是否存在点 Q, 使得二面角Q-AP-D的余弦值为 55?若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.
20. (12分)
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，
(1) 求该段抛物线的方程；
(2) 当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大?
21. (12 分)
已知椭圆 C :x2a2+y2b2=1ab>0) 的离心率 e=12, 其焦点三角形面积的最大值是 3.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(0，2)的直线与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值.
22. (12分)
已知函数 fx=2lnx+ax,a∈R.
(1) 若f(x)在(0,e²]上单调递增, 求实数a的取值范围;
(2) 若 fx≤xex+1x−1恒成立，求实数a的取值范围.第 2 页 共 2页