四川省南充市2023-2024学年高二上学期数学期末模拟卷4

这是一份四川省南充市2023-2024学年高二上学期数学期末模拟卷4，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（ ）
A．20B．30C．40D．50
2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ）
A．14B．9C．4D．2
3．已知斜率为1的直线与圆相切于点P，经过点P且与垂直的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．若将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A．130B．132C．140D．144
5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则DE与平面BB1C1C所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．若动点分别在直线上移动，则中点到原点距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
8．直线过双曲线：的右焦点，在第一、第四象限交双曲线两条渐近线分别于P，Q两点，若∠OPQ＝90°（O为坐标原点），则OPQ内切圆的半径为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
9．已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A．B．C．D．最大
10．已知曲线C方程为：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则曲线C为双曲线B．若曲线C为椭圆，则其长轴长为
C．曲线C不可能为一个圆D．当时，其渐近线方程为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
12．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面 B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
13．已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=
14．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为
15．如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1．2，相邻圆环圆心水平距离为2．6，两排圆环圆心垂直距离为1．1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为 ．
16．椭圆：的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在所围区域之外，若，，则的最大值 .
四、解答题
17．如图，正三棱柱中，D是的中点，.
(1)求点C到平面的距离；(2)试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.
18．已知圆经过，，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围.
19．已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到y轴的距离为1.
（1）求抛物线C和椭圆E的方程；
（2）过抛物线C焦点的直线l与C交于A，B两点，若，求l的方程.
20．已知等差数列{}的前n项和为，且＝4，＝－5.
（1）求数列{}的通项公式；（2）若，求的值和的表达式．
21．如图，四棱锥中，平 面ABCD，平面ABCD是直角梯形，，，，，点E在AD上，且.
（1）已知点F在BC上，且，求证：平面平面；
（2）若直线PC与平面PAB所成的角为，求二面角的余弦值.
22．已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且．
(1)求椭圆F的标准方程
(2)是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.
2．C【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.
3．A【详解】圆的圆心为， 因为与垂直，直线的斜率为1，所以直线的斜率为，因为直线与圆相切于点P，经过点P且与垂直的直线为，所以直线过圆心，
所以直线的方程为，即，
4．A【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以 ，故，
5．A【详解】取AC的中点F,连接DF,BF,因为D,E分别是AC1和BB1的中点,所以DF=BE,且DF//BE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE//BF,过点F作FG垂直于BC，交BC于点G，由题意得等于直线DE与平面BB1C1C所成的角,因为AB＝1,AC＝2,BC＝,所以，CF=FA=FB=1,所以∠FBG=30°.即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A．
6．A【详解】因为,所以的中点轨迹为直线：，，因此到原点的距离的最小值是，选A.
7．D【详解】圆，圆心，半径.
由的最小值为可得，，
又，，
所以的最小值为：.
而圆心到直线的距离等于2，
即，，解得，又，所以．
8．B【详解】由双曲线标准方程可知：，
双曲线的渐近线方程为：，因此，因为∠OPQ＝90°，
所以三角形是直角三角形，，
而，解得：，由双曲线渐近线的对称性可知：
，于是有，
在直角三角形中，，由勾股定理可知：
，设OPQ内切圆的半径为，
于是有：，
即，
9．AD【详解】，又，
，，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，，
最大，故D正确；
10．AC【详解】当时，显然A正确；当，，故，所以长轴长，B不正确；因为恒成立，所以C正确；当时，方程为，其渐近线方程为，故D不正确.
11．AD【详解】由题意可得，椭圆的焦点分别为 ，，
因为 ，所以点M在以 为直径的圆上，则短半轴长为 ，所以点M在椭圆内，故A正确；
由 得，则该椭圆的长半轴长为 ，所以点M在椭圆外，故D正确.
12．ABD【详解】对A，连接，由正方体可得，且平面，则，又，所以平面，故，同理，连接，因为平面，所以，又因为，，所以，且，所以平面，故，又，所以平面，故A正确；对B，，因为点Р在线段上运动，所以，面积为定值，又到平面的距离即到平面的距离，也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对C，当点Р与重合时，与所成角分别为，此时与所成角最小，因为为正三角形，所以与所成角的最小值为，故C错误；对D，因为平面，所以当与平面所成角的正弦值最大时，与所成角的余弦值最大，此时所成角为，设棱长为，在中，，故D正确.
13．【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：
因为，
14．8【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为，
依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，
设，则，于是得，
所以线段AB的长为8.
15．/【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，
所以，，
又因为，所以，
所以．
即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.
16．6【详解】对于椭圆C，由椭圆方程得知 ，
由于 ∴ ,
即M，N分别在以和 为直径的圆上，设圆心分别为A，B，
显然当M，N分别在AB直线与圆的交点上时， 最大，
由于A，B分别是和 的中点，
所以AB是 底边 的中位线，此时=2，
，
；
17．(1)(2)平行，证明过程见解析.
【详解】（1）解：正三棱柱中，D是的中点，
所以，，
正三棱柱中，
所以
又因为正三棱柱中，侧面平面且交线为
且平面中，
所以平面，又平面，所以
设点C到平面的距离为，在三棱锥中，
，即，，
所以点C到平面的距离为.
（2）与平面的位置，证明如下：连接交于点，连接，如下图所示，
因为正三棱柱的侧面为矩形，所以为的中点，又因为为中点，所以为的中位线
所以，又因为平面，且平面，所以平面
18．(1)(2)
【详解】（1）∵圆心C在直线，
∴可设圆心坐标为，
∵圆C经过，，
∴即，解得
∴圆心坐标为，半径
故圆C的标准方程为；
（2）∵圆心C到直线l的距离且直线l圆C无公共点，
∴即，解得，
故实数k的取值范围为；
综上，圆C的标准方程为，.
19．（1），；（2）2x-y-4=0或2x+y-4=0.
【详解】解：(1)由条件得，解得，所以抛物线C方程为,椭圆E的方程为.
(2)由(1)得C的焦点为(2，0)，则直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=k(x-2)，
联立得，设，则，
又，所以，解得，所以，
所以直线l的方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0.
20．(1)；(2)，.
【详解】解：（1）等差数列的公差为，因为＝4，＝－5，
所以，解得， 则，.
(2)当时， ；
当时，. 则.
当时，；
当时，.
即.
21．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）∵，，∴，
∵底面是直角梯形，，，
∴，即，则，
∵，，∴，
∴四边形是平行四边形，则，∴，
∵底面，∴，
∵，∴平面．
又∵平面PEF，∴平面平面.
（2）∵，，∴平面，
则为直线与平面所成的角，
所以，即，
取的中点为，连接，则，
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设平面的法向量，
则，令，则
∵是平面PAB的一个法向量，
∴，
即二面角的余弦值为.
22．(1)；(2)存在点，使得为定值.
【详解】（1）设，，，椭圆方程为：，
椭圆过点，
，解得t=1，
所以椭圆F的方程是．
（2）由题可得焦点的坐标分别为，
当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，
当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，
直线AB为，
联立，得．
则，，
同理可得，，
因为，
所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，
所以，化简得，
当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，
根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值．