高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质精品巩固练习

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一、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
1、A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
2、φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
3、ω决定了函数的周期
二、三角函数图象变换
1、振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
2、平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
3、周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．
4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
5、三角函数图象变换中的三个注意点
（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
例如：sint=cs⁡(t-π2)或cst=sin⁡(t+π2)
（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向；
（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中
函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，
函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
三、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
题型一 根据函数图象求解析式
【例1】（2022·高一校考课时练习）函数（其中）的图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数图象可得函数的最大值为，且，所以，
因为函数的最小正周期满足，所以，故，
又点在函数的图象上，所以，
即，所以，所以，
又，所以.故选：A.
【变式1-1】（2023·北京昌平·高一统考期末）设函数的部分图象如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图象可知，
将代入得,
所以，由于，所以取，故，故选：C
【变式1-2】（2023·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）函数的部分图象如图所示， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，，
所以，即，所以.
由图象可知，当时，，
所以，，即，，
由于，所以，
所以.故选：D.
【变式1-3】（2023·四川自贡·高一统考期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数图象可知，
又，所以，解得，
将代入得到，，
因为，所以，故，解得，
所以.故选：B
题型二 同名函数图象的变换过程
【例2】（2023·江苏·高一专题练习）（多选）下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的；
B．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的.
【答案】AB
【解析】将的图像向左平移，可得函数，
再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确；
或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，可得的图像，故B正确；
对于C，横坐标缩短为原来的可得，
再向左平移可得；故C错误；
对于D，向左平移可得，
再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误.故选：AB.
【变式2-1】（2023·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ）
A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
【答案】B
【解析】先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，
再向右平移个单位得到的图像；
或者将函数图像向右平移个单位，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像.故选：B
【变式2-2】（2023·广西钦州·高一校考期中）（多选）要得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】AC
【解析】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，
得，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，
得，故B错误；
对于C，将函数的图象向左平移个单位长度，
得，故C正确；
对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，
得，故D错误.故选：AC．
【变式2-3】（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）已知函数，，则（ ）
A．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图先
B．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像
C．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像
D．将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像
【答案】C
【解析】函数，，
对于A，将的图像向右平移个单位长度得，A错误；
对于B，将的图像向右平移个单位长度得，B错误；
对于C，将的图像向右平移个单位长度得，C正确；
对于D，将的图像向右平移个单位长度得，D错误.
故选：C
【变式2-4】（2023·广西贵港·高二校联考开学考试）要得到函数的图象，需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
【答案】B
【解析】由于，
所以将函数的图象向右平移个单位长度
得到的图象．故选：B
题型三 异名函数图象的变换过程
【例3】（2023·辽宁丹东·高一统考期末）要得到的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】对于选项A：将的图像向左平移个单位长度，
得到，故A错误；
对于选项B：将的图像向右平移个单位长度，
得到，故B错误；
对于选项C：将的图像向左平移个单位长度，
得到，故C错误；
对于选项D：将的图像向右平移个单位长度，
得到，故D正确；故选：D.
【变式3-1】（2023·山西·高二校联考阶段练习）（多选）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】BC
【解析】由，
可知将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，即可得函数的图象，
又由函数的最小正周期为，
可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；所以选项BC正确.
若向左平移个单位长度，可得，故A错误；
若向右平移个单位长度，可得，故D错误；
故选：BC.
【变式3-2】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
得到，再向左平移个单位长度得，
即得到函数的图象.故选：C
【变式3-3】（2023·上海嘉定·高一校考期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（ ）
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
【答案】D
【解析】，，
函数的图象向左平移可以得到的图象.故选：D
题型四 求函数变换前(后)的解析式
【例4】（2023·内蒙古·高一统考期末）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，则，
将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以.故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高一课堂例题）把函数（，）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
所得图象的函数解析式为，
再将此函数图象向右平移个单位长度可得的图象，
即的图象，所以，.故选：B
【变式4-2】（2023·四川眉山·高一校考期中）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，
再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图像.故选：C
【变式4-3】（2023·四川南充·模拟预测）已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，故，则，
则向右平移个单位长度后得到.故选：A
题型五 图象变换前后的重合问题
【例5】（2023·北京大兴·校考三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】因为，
所以将向右平移个单位得到.故选：D
【变式5-1】（2023·陕西西安·大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将的图象向左平移个单位长度后，
得到，
则，解得，
所以当时，的最小值为.故选：C.
【变式5-2】（2022·全国·校联考模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,
向右平移（）个单位长度得的图象,
由题意得 （）
所以（）
又 ,故的最小值为, 故选：A
【变式5-3】（2023·浙江丽水·高三丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由题有，
则，得，结合，得.故选：B
题型六 由图象变换研究函数的性质
【例6】（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象.
再根据所得图象关于y轴对称，可得，即.
故当时，取最小正值是.故选：C
【变式6-1】（2023·北京怀柔·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
因为函数图象关于原点对称，，
所以，因为，所以的最小值是.故选：C.
【变式6-2】（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）（多选）已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．的一条对称轴方程为
C．的一个对称中心为 D．方程在区间上有3个实根
【答案】BD
【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
则，
时，，不是正弦函数的单调递增区间，故A错误；
由，解得的对称轴方程为，
其中，时，B选项正确；
由B选项可知，不是的对称中心，C选项错误；
时，，其中，，，
所以方程在区间上有3个实根，D选项正确.故选：BD
【变式6-3】（2023·广东广州·高一校考期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若图象在内恰有5条对称轴，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
设，由，得，
因为图象在内恰有5条对称轴，
所以，解得．故选：BCD．
题型七 三角函数图象性质的综合应用
【例7】（2023·江苏淮安·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由图可知，．因为，所以，．
代入有，
∴，
又∵，∴，∴；
（2）由题意知变换后
当时，令，即，
函数在时单调递减，此时，
函数在时单调递增，此时，
等价于有两解．
所以当时符合题意，即a的取值范围为．
【变式7-1】（2023·四川眉山·高一校考期中）如图为函数的部分图象．

（1）求函数解析式和单调递增区间；
（2）若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值，最小值
【解析】（1）由图象知，，
又则，则，将代入得，，
得，解得，
由，得当时，，所以.
令，，得，，
所以的单调递增区间为.
（2）将的图像向右平移个单位得
，
然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.
已知，则，则.
故当时，最小值为；
当时，的最大值为.
【变式7-2】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数，，，的图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由图象可得：，，所以，
又，则，所以，
代入得：，
则，，解得：，，
又，所以，故．
（2）由（1）知：，
所以，即，
又，所以，则，
令，则有恒成立，
所以， 解得：，
故的取值范围为．
【变式7-3】（2023·新疆塔城·高一塔城第一高级中学校考阶段练习）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.
（1）求函数的周期及表达式；
（2）若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为，
可知，故周期，
由周期，所以，即函数，
又由函数一条对称轴为，所以有，
又，故有，
所以函数的表达式为；
（2）由，可知，
由三角函数图像性质可得，所以，
又因为函数对任意，都有恒成立，
故只需即可，即.
故参数的取值范围为.
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0